Sistema dinámico que preserva las medidas.

Tema de estudio en teoría ergódica.

En matemáticas , un sistema dinámico que preserva la medida es un objeto de estudio en la formulación abstracta de sistemas dinámicos , y en la teoría ergódica en particular. Los sistemas que preservan medidas obedecen al teorema de recurrencia de Poincaré y son un caso especial de sistemas conservadores . Proporcionan la base matemática formal para una amplia gama de sistemas físicos y, en particular, muchos sistemas de la mecánica clásica (en particular, la mayoría de los sistemas no disipativos ), así como sistemas en equilibrio termodinámico .

Definición

Un sistema dinámico que preserva la medida se define como un espacio de probabilidad y una transformación que preserva la medida en él. Más detalladamente, es un sistema

${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$

con la siguiente estructura:

• ${\displaystyle X}$es un conjunto,
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una σ-álgebra sobre , ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu :{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]}$es una medida de probabilidad , de modo que , y , ${\displaystyle \mu (X)=1}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$
• ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$es una transformación mensurable que preserva la medida , es decir, . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {B}}\;\;\mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$

Discusión

Uno podría preguntarse por qué la medida que preserva la transformación se define en términos de la transformación inversa en lugar de la transformación directa . Esto se puede entender intuitivamente. ${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$ ${\displaystyle \mu (T(A))=\mu (A)}$

Considere la medida típica en el intervalo unitario y un mapa . Este es el mapa de Bernoulli . Ahora, distribuya una capa uniforme de pintura en el intervalo unitario y luego mapee la pintura hacia adelante. La pintura de la mitad se extiende finamente sobre todo , y la pintura de la mitad también. Las dos capas de pintura fina, colocadas juntas, recrean exactamente el mismo espesor de pintura. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle Tx=2x\mod 1={\begin{cases}2x{\text{ if }}x<1/2\\2x-1{\text{ if }}x>1/2\\\end{cases}}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1/2]}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [1/2,1]}$

De manera más general, la pintura que llegaría al subconjunto proviene del subconjunto . Para que el espesor de la pintura permanezca sin cambios (conservación de la medida), la masa de pintura entrante debe ser la misma: . ${\displaystyle A\subset [0,1]}$ ${\displaystyle T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle \mu (A)=\mu (T^{-1}(A))}$

Considere un mapeo de conjuntos de potencias : ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}:P(X)\to P(X)}$

Consideremos ahora el caso especial de mapas que preservan intersecciones, uniones y complementos (para que sea un mapa de conjuntos de Borel ) y también envían a (porque queremos que sea conservador ). Cada uno de estos mapas conservadores que preservan Borel se puede especificar mediante algún mapa sobreyectivo escribiendo . Por supuesto, también se podrían definir , pero esto no es suficiente para especificar todos los mapas posibles . Es decir, los mapas conservadores que preservan Borel no pueden, en general, escribirse en la forma . ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T^{-1}(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}(A)=T(A);}$

${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))}$Tiene la forma de un pushforward , mientras que genéricamente se le llama pullback . Casi todas las propiedades y comportamientos de los sistemas dinámicos se definen en términos de avance. Por ejemplo, el operador de transferencia se define en términos del avance del mapa de transformación ; la medida ahora puede entenderse como una medida invariante ; es solo el vector propio de Frobenius-Perron del operador de transferencia (recuerde, el vector propio FP es el vector propio más grande de una matriz; en este caso es el vector propio el que tiene el valor propio: la medida invariante). ${\displaystyle \mu (T(A))}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

Hay dos problemas de clasificación de interés. Uno, que se analiza a continuación, corrige y pregunta sobre las clases de isomorfismo de un mapa de transformación . El otro, discutido en operador de transferencia , corrige y pregunta acerca de mapas que son similares a medidas. Similares a medidas, en el sentido de que conservan las propiedades de Borel, pero ya no son invariantes; en general son disipativos y, por lo tanto, brindan información sobre los sistemas disipativos y la ruta hacia el equilibrio. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu }$

En términos de física, el sistema dinámico que preserva la medida a menudo describe un sistema físico que está en equilibrio, por ejemplo, el equilibrio termodinámico . Cabría preguntarse: ¿cómo llegó a ser así? A menudo, la respuesta es mediante agitación, mezcla , turbulencia , termalización u otros procesos similares. Si un mapa de transformación describe esta agitación, mezcla, etc., entonces el sistema es todo lo que queda, después de que todos los modos transitorios hayan desaparecido. Los modos transitorios son precisamente aquellos vectores propios del operador de transferencia que tienen un valor propio menor que uno; la medida invariante es el único modo que no decae. La tasa de caída de los modos transitorios viene dada por (el logaritmo de) sus valores propios; el valor propio corresponde a una vida media infinita. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle \mu }$

ejemplo informal

El conjunto microcanónico de la física proporciona un ejemplo informal. Consideremos, por ejemplo, un fluido, gas o plasma en una caja de ancho, largo y alto formada por átomos. Un solo átomo en esa caja podría estar en cualquier lugar y tener una velocidad arbitraria; estaría representado por un solo punto en Una colección dada de átomos sería entonces un solo punto en algún lugar del espacio. El "conjunto" es la colección de todos esos puntos, es decir, la colección de todas las cajas posibles (de las cuales hay son un número incontable e infinito). Este conjunto de todas las cajas posibles es el espacio de arriba. ${\displaystyle w\times l\times h,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle w\times l\times h\times \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (w\times l\times h)^{N}\times \mathbb {R} ^{3N}.}$ ${\displaystyle X}$

En el caso de un gas ideal , la medida viene dada por la distribución de Maxwell-Boltzmann . Es una medida de producto , en el sentido de que si es la probabilidad de que un átomo tenga posición y velocidad , entonces, para los átomos, la probabilidad es el producto de estas. Esta medida se entiende aplicable al conjunto. Entonces, por ejemplo, una de las posibles cajas del conjunto tiene todos los átomos en un lado de la caja. Se puede calcular la probabilidad de que esto ocurra, en la medida de Maxwell-Boltzmann. Será enormemente pequeño, de orden. De todas las cajas posibles en el conjunto, ésta es una fracción ridículamente pequeña. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle p_{i}(x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z})\,d^{3}x\,d^{3}p}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x,y,z,v_{x},v_{y},v_{z}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\left(2^{-3N}\right).}$

La única razón por la que éste es un "ejemplo informal" es porque escribir la función de transición es difícil e, incluso si está escrita, es difícil realizar cálculos prácticos con ella. Las dificultades se agravan si la interacción no es del tipo de una bola de billar de gas ideal, sino una interacción de Van der Waals , o alguna otra interacción adecuada para un líquido o un plasma; en tales casos, la medida invariante ya no es la distribución de Maxwell-Boltzmann. El arte de la física es encontrar aproximaciones razonables. ${\displaystyle T}$

Este sistema exhibe una idea clave de la clasificación de los sistemas dinámicos que preservan la medida: dos conjuntos, que tienen diferentes temperaturas, no son equivalentes. La entropía de un conjunto canónico determinado depende de su temperatura; Como sistemas físicos, es "obvio" que cuando las temperaturas difieren, también lo hacen los sistemas. Esto es válido en general: los sistemas con diferente entropía no son isomórficos.

Ejemplos

Ejemplo de un mapa de preservación ( medida de Lebesgue ): T  : [0,1) → [0,1), ${\displaystyle x\mapsto 2x\mod 1.}$

A diferencia del ejemplo informal anterior, los ejemplos siguientes están lo suficientemente bien definidos y manejables como para que se puedan realizar cálculos formales y explícitos.

• μ podría ser la medida del ángulo normalizado dθ/2π en el círculo unitario , y T una rotación. Ver teorema de equidistribución ;
• el plan Bernoulli ;
• la transformación de intercambio de intervalos ;
• con la definición de una medida apropiada, un subdesplazamiento de tipo finito ;
• el flujo base de un sistema dinámico aleatorio ;
• el flujo de un campo vectorial hamiltoniano en el haz tangente de una variedad lisa conectada cerrada conserva la medida (utilizando la medida inducida en los conjuntos de Borel por la forma de volumen simpléctica ) según el teorema de Liouville (hamiltoniano) ; ^[1]
• para ciertos mapas y procesos de Markov , el teorema de Krylov-Bogolyubov establece la existencia de una medida adecuada para formar un sistema dinámico que preserva la medida.

Generalización a grupos y monoides.

La definición de un sistema dinámico que preserva la medida se puede generalizar al caso en el que T no es una transformación única que se itera para dar la dinámica del sistema, sino que es un monoide (o incluso un grupo , en cuyo caso tenemos la acción de un grupo sobre el espacio de probabilidad dado) de transformaciones T _s  : X → X parametrizadas por s ∈ Z (o R , o N ∪ {0}, o [0, +∞)), donde cada transformación T _s satisface los mismos requisitos que T arriba. ^[1] En particular, las transformaciones obedecen a las reglas:

• ${\displaystyle T_{0}=\mathrm {id} _{X}:X\rightarrow X}$, la función de identidad en X ;
• ${\displaystyle T_{s}\circ T_{t}=T_{t+s}}$, siempre que todos los términos estén bien definidos ;
• ${\displaystyle T_{s}^{-1}=T_{-s}}$, siempre que todos los términos estén bien definidos.

El caso anterior, más simple, encaja en este marco al definir T _s = T ^s para s ∈ N .

Homomorfismos

Se puede definir el concepto de homomorfismo y de isomorfismo .

Considere dos sistemas dinámicos y . Luego un mapeo ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$

${\displaystyle \varphi :X\to Y}$

es un homomorfismo de sistemas dinámicos si satisface las siguientes tres propiedades:

1. El mapa es mensurable . ${\displaystyle \varphi \ }$
2. Para cada uno , uno tiene . ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu (\varphi ^{-1}B)=\nu (B)}$
3. Para casi todos , uno tiene . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \varphi (Tx)=S(\varphi x)}$

Entonces el sistema se llama factor de . ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}},\nu ,S)}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T)}$

El mapa es un isomorfismo de sistemas dinámicos si, además, existe otro mapeo ${\displaystyle \varphi \;}$

${\displaystyle \psi :Y\to X}$

eso también es un homomorfismo, que satisface

1. pues -casi todos , uno tiene ; ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x=\psi (\varphi x)}$
2. para casi todos , uno tiene . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y=\varphi (\psi y)}$

Por tanto, se puede formar una categoría de sistemas dinámicos y sus homomorfismos.

Puntos genéricos

Un punto x ∈ X se llama punto genérico si la órbita del punto se distribuye uniformemente según la medida.

Nombres simbólicos y generadores.

Considere un sistema dinámico y sea Q = { Q ₁ , ..., Q _k } una partición de X en k conjuntos disjuntos por pares medibles. Dado un punto x ∈ X , claramente x pertenece sólo a uno de los Q _i . De manera similar, el punto iterado T ⁿ x también puede pertenecer solo a una de las partes. El nombre simbólico de x , con respecto a la partición Q , es la secuencia de números enteros { a _n } tal que ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle T^{n}x\in Q_{a_{n}}.}$

El conjunto de nombres simbólicos con respecto a una partición se denomina dinámica simbólica del sistema dinámico. Una partición Q se llama generador o partición generadora si μ-casi cada punto x tiene un nombre simbólico único.

Operaciones en particiones

Dada una partición Q = { Q ₁ , ..., Q _k } y un sistema dinámico , defina el retroceso en T de Q como ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle T^{-1}Q=\{T^{-1}Q_{1},\ldots ,T^{-1}Q_{k}\}.}$

Además, dadas dos particiones Q = { Q ₁ , ..., Q _k } y R = { R ₁ , ..., R _m }, defina su refinamiento como

${\displaystyle Q\vee R=\{Q_{i}\cap R_{j}\mid i=1,\ldots ,k,\ j=1,\ldots ,m,\ \mu (Q_{i}\cap R_{j})>0\}.}$

Con estas dos construcciones, el refinamiento de un retroceso iterado se define como

${\displaystyle {\begin{aligned}\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q&=\{Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\\&{}\qquad {\mbox{ where }}i_{\ell }=1,\ldots ,k,\ \ell =0,\ldots ,N,\ \\&{}\qquad \qquad \mu \left(Q_{i_{0}}\cap T^{-1}Q_{i_{1}}\cap \cdots \cap T^{-N}Q_{i_{N}}\right)>0\}\\\end{aligned}}}$

que juega un papel crucial en la construcción de la entropía teórica de la medida de un sistema dinámico.

Entropía de la teoría de la medida

La entropía de una partición se define como ^{[2] [3]} ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

${\displaystyle H({\mathcal {Q}})=-\sum _{Q\in {\mathcal {Q}}}\mu (Q)\log \mu (Q).}$

La entropía teórica de la medida de un sistema dinámico con respecto a una partición Q = { Q ₁ , ..., Q _k } se define entonces como ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}})=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}H\left(\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}{\mathcal {Q}}\right).}$

Finalmente, la métrica de Kolmogorov-Sinai o entropía teórica de la medida de un sistema dinámico se define como ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )}$

${\displaystyle h_{\mu }(T)=\sup _{\mathcal {Q}}h_{\mu }(T,{\mathcal {Q}}).}$

donde el supremo se toma sobre todas las particiones finitas mensurables. Un teorema de Yakov Sinai en 1959 muestra que el supremo en realidad se obtiene en particiones que son generadoras. Así, por ejemplo, la entropía del proceso de Bernoulli es log 2, ya que casi todo número real tiene una expansión binaria única . Es decir, se puede dividir el intervalo unitario en los intervalos [0, 1/2) y [1/2, 1]. Todo número real x es menor que 1/2 o no; y lo mismo ocurre con la parte fraccionaria de 2 ⁿ x .

Si el espacio X es compacto y está dotado de una topología, o es un espacio métrico, entonces también se puede definir la entropía topológica .

Si es una medida ergódica, que se expande por trozos, y de Markov sobre , y es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, entonces tenemos la fórmula de Rokhlin ^[4] (sección 4.3 y sección 12.3 ^[5] ): ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle h_{\mu }(T)=\int \ln |dT/dx|\mu (dx)}$$

mapa logístico

Ergódico significa que implica que tiene medida total o medida cero. La expansión por partes y Markov significa que hay una partición de en un número finito de intervalos abiertos, de modo que para algunos , en cada intervalo abierto. Markov significa que para cada uno de esos intervalos abiertos, o o . ${\displaystyle T^{-1}(A)=A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle |T'|\geq 1+\epsilon }$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=\emptyset }$ ${\displaystyle T(I_{i})\cap I_{i}=I_{i}}$

Teoremas de clasificación y anticlasificación.

Una de las principales actividades en el estudio de los sistemas de conservación de medidas es su clasificación según sus propiedades. Es decir, sea un espacio de medidas y sea el conjunto de todos los sistemas que preservan medidas . Un isomorfismo de dos transformaciones define una relación de equivalencia. El objetivo es entonces describir la relación . Se han obtenido varios teoremas de clasificación; pero, curiosamente, también se han encontrado varios teoremas anticlasificación. Los teoremas de anticlasificación establecen que hay más de un número contable de clases de isomorfismos y que una cantidad contable de información no es suficiente para clasificar los isomorfismos. ^{[6] [7]} ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)}$ ${\displaystyle S\sim T}$ ${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subset U\times U.}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

El primer teorema de anticlasificación, debido a Hjorth, establece que si está dotado de la topología débil , entonces el conjunto no es un conjunto de Borel . ^[8] Hay una variedad de otros resultados anticlasificación. Por ejemplo, reemplazando el isomorfismo con la equivalencia Kakutani , se puede demostrar que hay incontables transformaciones ergódicas que preservan medidas equivalentes no Kakutani de cada tipo de entropía. ^[9] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$

Estos contrastan con los teoremas de clasificación. Éstas incluyen:

• Se han clasificado las transformaciones ergódicas que preservan la medida con un espectro puntual puro. ^[10]
• Los cambios de Bernoulli se clasifican por su entropía métrica. ^{[11] [12] [13]} Consulte la teoría de Ornstein para obtener más información.

Teorema del generador finito de Krieger ^[14]  (Krieger 1970)  :  dado un sistema dinámico en un espacio de Lebesgue de medida 1, donde es invertible, preserva la medida y ergódico. ${\textstyle T}$

Si se trata de algún número entero , entonces el sistema tiene un generador de tamaño. ${\displaystyle h_{T}\leq \ln k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Si la entropía es exactamente igual a , entonces existe dicho generador si el sistema es isomorfo al desplazamiento de Bernoulli en símbolos con medidas iguales. ${\displaystyle \ln k}$ ${\displaystyle k}$

Ver también

• Teorema de Krylov-Bogolyubov sobre la existencia de medidas invariantes
• Teorema de recurrencia de Poincaré  : ciertos sistemas dinámicos eventualmente volverán a (o se aproximarán) a su estado inicial

Referencias

1. Walters, Peter (2000). Una introducción a la teoría ergódica . Saltador. ISBN 0-387-95152-0.
2. Sinaí, Ya. G. (1959). "Sobre la noción de entropía de un sistema dinámico". Doklady Akademii Nauk SSSR . 124 : 768–771.
3. Sinaí, Ya. G. (2007). "Entropía métrica del sistema dinámico" (PDF) .
4. El teorema de Shannon-McMillan-Breiman
5. Pollicott, Marcos; Yuri, Michiko (1998). Sistemas dinámicos y teoría ergódica. Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57294-1.
6. Capataz, Mateo; Weiss, Benjamín (2019). "De odómetros a sistemas circulares: un teorema de estructura global". Revista de dinámica moderna . 15 : 345–423. arXiv : 1703.07093 . doi :10.3934/jmd.2019024. S2CID  119128525.
7. Capataz, Mateo; Weiss, Benjamín (2022). "Las medidas que preservan los difeomorfismos del toro son inclasificables". Revista de la Sociedad Matemática Europea . 24 (8): 2605–2690. arXiv : 1705.04414 . doi : 10.4171/JEMS/1151 .
8. Hjorth, G. (2001). "Sobre invariantes para transformaciones que preservan medidas". Fondo. Matemáticas . 169 (1): 51–84. doi : 10.4064/FM169-1-2 . S2CID  55619325.
9. Ornstein, D .; Rudolf, D.; Weiss, B. (1982). Equivalencia de medida preservando las transformaciones . Memoria. Sociedad Matemática Estadounidense. vol. 37.ISBN​ 0-8218-2262-4.
10. Halmos, P.; von Neumann, J. (1942). "Métodos de operador en mecánica clásica. II". Anales de Matemáticas . (2). 43 (2): 332–350. doi :10.2307/1968872. JSTOR  1968872.
11. Sinaí, Ya. (1962). "Un isomorfismo débil de transformaciones con medida invariante". Doklady Akademii Nauk SSSR . 147 : 797–800.
12. Ornstein, D. (1970). "Los desplazamientos de Bernoulli con la misma entropía son isomórficos". Avances en Matemáticas . 4 (3): 337–352. doi : 10.1016/0001-8708(70)90029-0 .
13. Katok, A.; Hasselblatt, B. (1995). "Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos". Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones . vol. 54. Prensa de la Universidad de Cambridge.
14. Downarowicz, Tomasz (2011). Entropía en sistemas dinámicos . Nuevas monografías matemáticas. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 106.ISBN​ 978-0-521-88885-1.

Otras lecturas

• Michael S. Keane, "Teoría ergódica y subcambios de tipo finito", (1991), que aparece como Capítulo 2 en Teoría ergódica, dinámica simbólica y espacios hiperbólicos , Tim Bedford, Michael Keane y Caroline Series, Eds. Prensa de la Universidad de Oxford, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Proporciona una introducción expositiva, con ejercicios y referencias extensas). 
• Lai-Sang Young , "Entropy in Dynamical Systems" (pdf; ps), que aparece como capítulo 16 en Entropy , Andreas Greven, Gerhard Keller y Gerald Warnecke, eds. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey (2003). ISBN 0-691-11338-6 
• T. Schürmann e I. Hoffmann, La entropía de billares extraños dentro de n-simplex. J. Física. A 28(17), página 5033, 1995. Documento PDF (ofrece un ejemplo más complicado de un sistema dinámico que preserva medidas).