Flujo base (sistemas dinámicos aleatorios)

En matemáticas , el flujo base de un sistema dinámico aleatorio es el sistema dinámico definido en el espacio de probabilidad de "ruido" que describe cómo "avanzar rápidamente" o "rebobinar" el ruido cuando uno desea cambiar el momento en el que "inicia" el sistema dinámico aleatorio.

Definición

En la definición de un sistema dinámico aleatorio, se da una familia de mapas en un espacio de probabilidad . El sistema dinámico que preserva la medida se conoce como el flujo base del sistema dinámico aleatorio. Los mapas se conocen a menudo como mapas de desplazamiento, ya que "desplazan" el tiempo. El flujo base suele ser ergódico . ${\displaystyle \vartheta _{s}:\Omega \to \Omega }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ,\vartheta )}$ ${\displaystyle \vartheta _{s}}$

El parámetro puede elegirse para que se ejecute ${\displaystyle s}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$(un sistema dinámico de tiempo continuo de dos lados);
• ${\displaystyle [0,+\infty )\subsetneq \mathbb {R} }$(un sistema dinámico de tiempo continuo unilateral);
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$(un sistema dinámico de tiempo discreto de dos lados);
• ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$(un sistema dinámico de tiempo discreto unilateral).

Cada mapa es obligatorio ${\displaystyle \vartheta _{s}}$

• ser una función medible : para todos , ${\displaystyle ({\mathcal {F}},{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \vartheta _{s}^{-1}(E)\in {\mathcal {F}}}$
• para preservar la medida : para todos , . ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (\vartheta _{s}^{-1}(E))=\mathbb {P} (E)}$

Además, como familia, los mapas satisfacen las relaciones ${\displaystyle \vartheta _{s}}$

• ${\displaystyle \vartheta _{0}=\mathrm {id} _{\Omega }:\Omega \to \Omega }$, la función identidad en ; ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \vartheta _{s}\circ \vartheta _{t}=\vartheta _{s+t}}$para todos y para los cuales se definen las tres aplicaciones en esta expresión. En particular, si existe. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \vartheta _{s}^{-1}=\vartheta _{-s}}$ ${\displaystyle -s}$

En otras palabras, los mapas forman un monoide conmutativo (en los casos y ) o un grupo conmutativo (en los casos y ). ${\displaystyle \vartheta _{s}}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$ ${\displaystyle s\in [0,+\infty )}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$

Ejemplo

En el caso de un sistema dinámico aleatorio impulsado por un proceso de Wiener , donde es el espacio de Wiener clásico de dos lados , el flujo base estaría dado por ${\displaystyle W:\mathbb {R} \times \Omega \to X}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle \vartheta _{s}:\Omega \to \Omega }$

${\displaystyle W(t,\vartheta _{s}(\omega ))=W(t+s,\omega )-W(s,\omega )}$.

Esto se puede leer como que "el ruido comienza en el tiempo en lugar del tiempo 0". ${\displaystyle \vartheta _{s}}$ ${\displaystyle s}$

Referencias