Medida firmada

Noción generalizada de medida en matemáticas

En matemáticas , la medida con signo es una generalización del concepto de medida (positiva) al permitir que la función de un conjunto tome valores negativos , es decir, adquiera signo .

Definición

Existen dos conceptos ligeramente diferentes de medida con signo, según se permita o no que adopte valores infinitos. Por lo general, las medidas con signo solo pueden adoptar valores reales finitos , mientras que algunos libros de texto permiten que adopten valores infinitos. Para evitar confusiones, en este artículo se denominarán a estos dos casos "medidas con signo finitas" y "medidas con signo extendidas".

Dado un espacio medible (es decir, un conjunto con una σ-álgebra sobre él), una medida con signo extendida es una función de conjunto tal que y es σ-aditiva , es decir, satisface la igualdad para cualquier secuencia de conjuntos disjuntos en La serie de la derecha debe converger absolutamente cuando el valor del lado izquierdo es finito. Una consecuencia es que una medida con signo extendida puede tomar o como valor, pero no ambos. La expresión no está definida ^[1] y debe evitarse. ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ $${\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty -\infty }$

Una medida con signo finito (también conocida como medida real ) se define de la misma manera, excepto que solo se le permite tomar valores reales. Es decir, no puede tomar o ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle -\infty .}$

Las medidas finitas con signo forman un espacio vectorial real , mientras que las medidas extendidas con signo no lo hacen porque no están cerradas bajo la adición. Por otra parte, las medidas son medidas extendidas con signo, pero en general no son medidas finitas con signo.

Ejemplos

Consideremos una medida no negativa en el espacio ( X , Σ) y una función medible f : X → R tal que ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty .}$

Entonces, una medida con signo finito viene dada por

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu (x)}$

para todo A en Σ.

Esta medida con signo solo acepta valores finitos. Para permitir que acepte +∞ como valor, es necesario reemplazar la suposición de que f es absolutamente integrable por la condición más relajada

${\displaystyle \int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty ,}$

donde f ⁻ ( x ) = max(− f ( x ), 0) es la parte negativa de f .

Propiedades

Lo que sigue son dos resultados que implicarán que una medida con signo extendida es la diferencia de dos medidas no negativas, y una medida con signo finita es la diferencia de dos medidas no negativas finitas.

El teorema de descomposición de Hahn establece que, dada una medida con signo μ , existen dos conjuntos medibles P y N tales que:

1. P ∪ N = X y P ∩ N = ∅;
2. μ ( E ) ≥ 0 para cada E en Σ tal que E ⊆ P — en otras palabras, P es un conjunto positivo ;
3. μ ( E ) ≤ 0 para cada E en Σ tal que E ⊆ N — es decir, N es un conjunto negativo.

Además, esta descomposición es única hasta sumar o restar conjuntos μ - nulos de P y N.

Consideremos entonces dos medidas no negativas μ ⁺ y μ ⁻ definidas por

${\displaystyle \mu ^{+}(E)=\mu (P\cap E)}$

y

${\displaystyle \mu ^{-}(E)=-\mu (N\cap E)}$

para todos los conjuntos mensurables E , es decir, E en Σ.

Se puede comprobar que tanto μ ⁺ como μ ⁻ son medidas no negativas, en las que una toma solo valores finitos, y se denominan parte positiva y parte negativa de μ , respectivamente. Se tiene que μ = μ ⁺ − μ ⁻ . La medida | μ | = μ ⁺ + μ ⁻ se denomina variación de μ , y su valor máximo posible, || μ || = | μ |( X ), se denomina variación total de  μ .

Esta consecuencia del teorema de descomposición de Hahn se denomina descomposición de Jordan . Las medidas μ ⁺ , μ ⁻ y | μ | son independientes de la elección de P y N en el teorema de descomposición de Hahn.

El espacio de las medidas firmadas

La suma de dos medidas finitas con signo es una medida finita con signo, como lo es el producto de una medida finita con signo por un número real, es decir, son cerradas bajo combinaciones lineales . De ello se deduce que el conjunto de medidas finitas con signo en un espacio medible ( X , Σ) es un espacio vectorial real ; esto contrasta con las medidas positivas, que solo son cerradas bajo combinaciones cónicas y, por lo tanto, forman un cono convexo pero no un espacio vectorial. Además, la variación total define una norma con respecto a la cual el espacio de medidas finitas con signo se convierte en un espacio de Banach . Este espacio tiene aún más estructura, ya que se puede demostrar que es una red de Banach completa de Dedekind y, al hacerlo, se puede demostrar que el teorema de Radon-Nikodym es un caso especial del teorema espectral de Freudenthal .

Si X es un espacio compacto separable, entonces el espacio de medidas de Baire con signo finito es el dual del espacio de Banach real de todas las funciones reales continuas en X , por el teorema de representación de Riesz–Markov–Kakutani .

Véase también

• Desplazamiento angular
• Medida compleja
• Medida espectral
• Medida vectorial
• Teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani
• Longitud de arco con signo
• Área firmada
• Distancia firmada
• Volumen firmado
• Variación total

Notas

1. Consulte el artículo " Recta de números reales extendida " para obtener más información.

Referencias

• Bartle, Robert G. (1966), Los elementos de la integración , Nueva York: John Wiley and Sons , Zbl  0146.28201
• Bhaskara Rao, KPS; Bhaskara Rao, M. (1983), Teoría de cargas: un estudio de medidas finitamente aditivas, Matemáticas puras y aplicadas, Londres: Academic Press , ISBN 0-12-095780-9, Zbl0516.28001 ​
• Cohn, Donald L. (1997) [1980], Teoría de la medida, Boston: Birkhäuser Verlag , ISBN 3-7643-3003-1, Zbl0436.28001 ​
• Diestel, JE; Uhl, JJ Jr. (1977), Medidas vectoriales, Encuestas y monografías matemáticas, vol. 15, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-1515-6, Zbl  0369.46039
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1959), Operadores lineales. Parte I: Teoría general. Parte II: Teoría espectral. Operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert. Parte III: Operadores espectrales. , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 6, Nueva York y Londres: Interscience Publishers , pp. XIV+858, ISBN 0-471-60848-3, Zbl0084.10402 ​
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1963), Operadores lineales. Parte I: Teoría general. Parte II: Teoría espectral. Operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert. Parte III: Operadores espectrales. , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 7, Nueva York y Londres: Interscience Publishers , págs. IX+859–1923, ISBN 0-471-60847-5, Zbl0128.34803 ​
• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1971), Operadores lineales. Parte I: Teoría general. Parte II: Teoría espectral. Operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert. Parte III: Operadores espectrales. , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 8, Nueva York y Londres: Interscience Publishers , págs. XIX+1925–2592, ISBN 0-471-60846-7, Zbl  0243.47001
• Zaanen, Adriaan C. (1996), Introducción a la teoría del operador en espacios de Riesz , Springer Publishing , ISBN 3-540-61989-5

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