forma de volumen

forma diferencial

En matemáticas , una forma de volumen o forma de dimensión superior es una forma diferencial de grado igual a la dimensión múltiple diferenciable . Así, en una variedad de dimensión , una forma de volumen es una forma. Es un elemento del espacio de secciones del haz de líneas , denotado como . Una variedad admite una forma de volumen que no desaparece en ninguna parte si y sólo si es orientable. Una variedad orientable tiene infinitas formas de volumen, ya que al multiplicar una forma de volumen por una función de valor real que no desaparece en ninguna parte se obtiene otra forma de volumen. En variedades no orientables, se puede definir la noción más débil de densidad . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$

Una forma de volumen proporciona un medio para definir la integral de una función en una variedad diferenciable. En otras palabras, una forma de volumen da lugar a una medida con respecto a la cual las funciones pueden integrarse mediante la integral de Lebesgue apropiada . El valor absoluto de una forma de volumen es un elemento de volumen , que también se conoce como forma de volumen retorcido o forma de pseudovolumen . También define una medida, pero existe en cualquier variedad diferenciable, orientable o no.

Las variedades de Kähler , al ser variedades complejas , están orientadas naturalmente y, por lo tanto, poseen una forma de volumen. De manera más general, el décimo poder exterior de la forma simpléctica en una variedad simpléctica es una forma de volumen. Muchas clases de variedades tienen formas de volumen canónicas: tienen una estructura adicional que permite elegir la forma de volumen preferida. Las variedades pseudo-riemannianas orientadas tienen una forma de volumen canónico asociada. ${\displaystyle n}$

Orientación

Lo siguiente solo tratará sobre la orientabilidad de variedades diferenciables (es una noción más general definida en cualquier variedad topológica).

Una variedad es orientable si tiene un atlas de coordenadas cuyas funciones de transición tienen determinantes jacobianos positivos . La selección de un atlas máximo de este tipo es una orientación en una forma de volumen en da lugar a una orientación de forma natural, como el atlas de cartas de coordenadas que envían a un múltiplo positivo de la forma de volumen euclidiana. ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$

Una forma de volumen también permite la especificación de una clase preferida de marcos sobre Llame a una base de vectores tangentes a la derecha si ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$

$${\displaystyle \omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.}$$

La colección de todos los fotogramas diestros se ve afectada por el grupo de asignaciones lineales generales en dimensiones con determinante positivo. Forman un sub-haz principal del haz marco lineal de y por lo tanto la orientación asociada a una forma de volumen da una reducción canónica del haz marco de a un sub-haz con grupo de estructura Es decir que una forma volumen da lugar a -estructura en Más reducción es claramente posible considerando marcos que tienen ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n).}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle M.}$

Así, una forma de volumen da lugar también a una estructura. A la inversa, dada una estructura, se puede recuperar una forma de volumen imponiendo ( 1 ) para los marcos lineales especiales y luego resolviendo la forma requerida exigiendo homogeneidad en sus argumentos. ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$

Una variedad es orientable si y sólo si tiene una forma de volumen que no desaparece en ninguna parte. De hecho, es una retracción de deformación ya que los reales positivos están incrustados como matrices escalares. Así, toda -estructura es reducible a una -estructura, y las -estructuras coinciden con orientaciones en Más concretamente, la trivialidad del paquete determinante es equivalente a la orientabilidad, y un paquete de líneas es trivial si y sólo si tiene una sección que no desaparece en ninguna parte. Por tanto, la existencia de una forma de volumen equivale a la orientabilidad. ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$

Relación con las medidas

Dada una forma de volumen en una variedad orientada, la densidad es una pseudoforma de volumen en la variedad no orientada que se obtiene al olvidar la orientación. Las densidades también se pueden definir de manera más general en variedades no orientables. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |\omega |}$

Cualquier pseudoforma de volumen (y por lo tanto también cualquier forma de volumen) define una medida en los conjuntos de Borel por ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .}$$

La diferencia es que mientras una medida se puede integrar en un subconjunto (Borel) , una forma de volumen solo se puede integrar en una celda orientada . En el cálculo de una sola variable , la escritura se considera una forma de volumen, no simplemente una medida, e indica "integrarse sobre la celda con la orientación opuesta, a veces denotada ". ${\textstyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$ ${\displaystyle dx}$ ${\textstyle \int _{b}^{a}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\overline {[a,b]}}}$

Además, las medidas generales no necesitan ser continuas o suaves: no necesitan estar definidas por una forma de volumen o, más formalmente, su derivada Radon-Nikodym con respecto a una forma de volumen dada no necesita ser absolutamente continua .

Divergencia

Dada una forma de volumen , se puede definir la divergencia de un campo vectorial como la función escalar única, denotada por satisfacer ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {div} X,}$

$${\displaystyle (\operatorname {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\mathbin {\!\rfloor } \omega ),}$$

derivada de Lieproducto interior o la contracciónapoyado de forma compactavariedad con límiteel teorema de Stokes ${\displaystyle L_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\mathbin {\!\rfloor } \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle \int _{M}(\operatorname {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\mathbin {\!\rfloor } \omega ,}$$

teorema de la divergencia

Los campos vectoriales solenoidales son aquellos con De la definición de la derivada de Lie se deduce que la forma de volumen se conserva bajo el flujo de un campo vectorial solenoidal. Por tanto, los campos vectoriales solenoidales son precisamente aquellos que tienen flujos que preservan el volumen. Este hecho es bien conocido, por ejemplo, en mecánica de fluidos , donde la divergencia de un campo de velocidades mide la compresibilidad de un fluido, que a su vez representa el grado en que se conserva el volumen a lo largo de los flujos del fluido. ${\displaystyle \operatorname {div} X=0.}$

Casos especiales

grupos de mentiras

Para cualquier grupo de Lie , se puede definir una forma de volumen natural mediante traducción. Es decir, si es un elemento de entonces se puede definir una forma invariante a la izquierda según dónde está la traducción a la izquierda. Como corolario, todo grupo de Lie es orientable. Esta forma de volumen es única hasta un escalar, y la medida correspondiente se conoce como medida de Haar . ${\displaystyle \omega _{e}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{e}^{*}G,}$ ${\displaystyle \omega _{g}=L_{g^{-1}}^{*}\omega _{e},}$ ${\displaystyle L_{g}}$

Variedades simplécticas

Cualquier variedad simpléctica (o incluso cualquier variedad casi simpléctica ) tiene una forma de volumen natural. Si es una variedad -dimensional con forma simpléctica, entonces no es cero en ninguna parte como consecuencia de la no degeneración de la forma simpléctica. Como corolario, cualquier variedad simpléctica es orientable (de hecho, orientada). Si la variedad es a la vez simpléctica y riemanniana, entonces las dos formas de volumen concuerdan si la variedad es Kähler . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \omega ^{n}}$

Forma de volumen de Riemann

Cualquier variedad pseudo-riemanniana orientada (incluida la de Riemann ) tiene una forma de volumen natural. En coordenadas locales , se puede expresar como

$${\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}}$$

1-formaspaquete cotangentedeterminantetensor métrico ${\displaystyle dx^{i}}$ ${\displaystyle |g|}$

La forma de volumen se denota de diversas formas por

$${\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\varepsilon ={\star }(1).}$$

Aquí, la estrella de Hodge , por lo tanto la última forma, enfatiza que la forma de volumen es el dual de Hodge del mapa constante en la variedad, que es igual al tensor de Levi-Civita. ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle {\star }(1),}$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Aunque la letra griega se utiliza con frecuencia para indicar la forma del volumen, esta notación no es universal; el símbolo suele tener muchos otros significados en geometría diferencial (como una forma simpléctica). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Invariantes de una forma de volumen.

Las formas de volumen no son únicas; Forman un torsor sobre funciones que no desaparecen en el colector, de la siguiente manera. Dada una función que no desaparece y una forma de volumen es una forma de volumen. Por el contrario, dadas dos formas de volumen, su relación es una función que no desaparece (positiva si definen la misma orientación, negativa si definen orientaciones opuestas). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle f\omega }$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \omega ,\omega ',}$

En coordenadas, ambas son simplemente una función distinta de cero multiplicada por la medida de Lebesgue , y su relación es la relación de las funciones, que es independiente de la elección de las coordenadas. Intrínsecamente, es la derivada de Radón-Nikodym con respecto a En una variedad orientada, la proporcionalidad de dos formas de volumen cualesquiera puede considerarse como una forma geométrica del teorema de Radón-Nikodym . ${\displaystyle \omega '}$ ${\displaystyle \omega .}$

Sin estructura local

Una forma de volumen en una variedad no tiene estructura local en el sentido de que no es posible en conjuntos abiertos pequeños distinguir entre la forma de volumen dada y la forma de volumen en el espacio euclidiano (Kobayashi 1972). Es decir, para cada punto hay una vecindad abierta de y un difeomorfismo de sobre un conjunto abierto de modo que la forma del volumen es el retroceso de a lo largo ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$ ${\displaystyle \varphi .}$

Como corolario, si y son dos variedades, cada una con formas de volumen, entonces para cualquier punto hay vecindades abiertas de y de y un mapa tal que la forma de volumen restringida a la vecindad regresa a la forma de volumen restringida a la vecindad : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \omega _{M},\omega _{N},}$ ${\displaystyle m\in M,n\in N,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}.}$

En una dimensión, se puede demostrar así: dada una forma de volumen en definir ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

$${\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega .}$$

Luego, la medidavuelve ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =f^{*}dx.}$ ${\displaystyle \omega =f'\,dx.}$ ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1},}$

Estructura global: volumen

Una forma de volumen en una variedad conectada tiene un único invariante global, a saber, el volumen (general), que se indica como invariante en los mapas que preservan la forma del volumen; esto puede ser infinito, como para la medida de Lebesgue en En una variedad desconectada, el volumen de cada componente conectado es el invariante. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu (M),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

En símbolos, si es un homeomorfismo de variedades que retrocede hasta entonces ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle \omega _{N}}$ ${\displaystyle \omega _{M},}$

$${\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)\,}$$

Las formas de volumen también se pueden retirar bajo mapas de cobertura , en cuyo caso multiplican el volumen por la cardinalidad de la fibra (formalmente, por integración a lo largo de la fibra). En el caso de una cubierta de lámina infinita (como ), una forma de volumen en una variedad de volumen finito regresa a una forma de volumen en una variedad de volumen infinito. ${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}$

Ver también

• Sistema de coordenadas cilíndricas § Elementos de línea y volumen.
• Medida (matemáticas)  – Generalización de masa, longitud, área y volumen
• La métrica de Poincaré proporciona una revisión de la forma del volumen en el plano complejo.
• Sistema de coordenadas esféricas § Integración y diferenciación en coordenadas esféricas

Referencias

• Kobayashi, S. (1972), Grupos de transformación en geometría diferencial , Clásicos de las matemáticas, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC  31374337.
• Spivak, Michael (1965), Cálculo de variedades , Reading, Massachusetts: WA Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9.