estado de campana

Estados cuánticos de dos qubits

En la ciencia de la información cuántica , los estados de Bell o pares EPR ^{[1] :25} son estados cuánticos específicos de dos qubits que representan los ejemplos más simples de entrelazamiento cuántico . Los estados de Bell son una forma de vectores de base entrelazados y normalizados . Esta normalización implica que la probabilidad global de que la partícula se encuentre en uno de los estados mencionados es 1: . El entrelazamiento es un resultado de superposición independiente de la base . ^[2] Debido a esta superposición, la medición del qubit lo "colapsará " en uno de sus estados básicos con una probabilidad determinada. ^[1] Debido al entrelazamiento, la medición de un qubit "colapsará" el otro qubit a un estado cuya medición arrojará uno de dos valores posibles, donde el valor depende del estado de Bell en el que se encuentran inicialmente los dos qubits. Los estados de Bell se pueden generalizar a ciertos estados cuánticos de sistemas multiqubit, como el estado GHZ para tres o más subsistemas. ${\displaystyle \langle \Phi |\Phi \rangle =1}$

La comprensión de los estados de Bell es útil en el análisis de la comunicación cuántica, como la codificación superdensa y la teletransportación cuántica . ^[3] El teorema de la no comunicación impide que este comportamiento transmita información más rápido que la velocidad de la luz. ^[1]

estados de campana

Los estados de Bell son cuatro estados cuánticos específicos de dos qubits máximamente entrelazados . Están en una superposición de 0 y 1, una combinación lineal de los dos estados. Su entrelazamiento significa lo siguiente:

El qubit que posee Alice (subíndice "A") puede estar en una superposición de 0 y 1. Si Alice midiera su qubit en la base estándar, el resultado sería 0 o 1, cada uno con una probabilidad de 1/2; Si Bob (subíndice "B") también midiera su qubit, el resultado sería el mismo que para Alice. Por lo tanto, Alice y Bob aparentemente tendrían un resultado aleatorio. A través de la comunicación descubrirían que, aunque sus resultados por separado parecían aleatorios, estaban perfectamente correlacionados.

Esta correlación perfecta a distancia es especial: tal vez las dos partículas "acordaron" de antemano, cuando se formó el par (antes de que se separaran los qubits), qué resultado mostrarían en caso de una medición.

Por lo tanto, siguiendo a Einstein , Podolsky y Rosen en su famoso " artículo EPR " de 1935, falta algo en la descripción del par de qubits dada anteriormente, concretamente este "acuerdo", llamado más formalmente variable oculta . En su famoso artículo de 1964, John S. Bell demostró mediante simples argumentos de la teoría de la probabilidad que estas correlaciones (la de la base 0,1 y la de la base +,-) no pueden perfeccionarse ambas mediante el uso de cualquier " "preacuerdo" almacenado en algunas variables ocultas, pero que la mecánica cuántica predice correlaciones perfectas. En una formulación más refinada conocida como desigualdad de Bell-CHSH , se muestra que una determinada medida de correlación no puede exceder el valor 2 si se supone que la física respeta las limitaciones de la teoría local de "variables ocultas" (una especie de formulación de sentido común de cómo se transmite la información), pero ciertos sistemas permitidos en la mecánica cuántica pueden alcanzar valores tan altos como . Por tanto, la teoría cuántica viola la desigualdad de Bell y la idea de "variables ocultas" locales. ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

base de campana

Cuatro estados específicos de dos qubits con el valor máximo de se denominan "estados Bell". Se conocen como los cuatro estados de Bell de dos qubits máximamente entrelazados y forman una base máximamente entrelazada, conocida como base de Bell, del espacio de Hilbert de cuatro dimensiones para dos qubits: ^[1] ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$ (1)

${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})}$ (2)

${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})}$ (3)

${\displaystyle |\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B})}$ (4)

Creando estados de Bell mediante circuitos cuánticos

Circuito cuántico para crear el estado de Bell . ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

Aunque hay muchas formas posibles de crear estados de Bell entrelazados a través de circuitos cuánticos , la más simple toma una base computacional como entrada y contiene una puerta Hadamard y una puerta CNOT (ver imagen). Como ejemplo, el circuito cuántico que se muestra toma las dos entradas de qubit y las transforma al primer estado de Bell. Explícitamente, la puerta de Hadamard se transforma en una superposición de . Esto luego actuará como una entrada de control para la puerta CNOT, que solo invierte el objetivo (el segundo qubit) cuando el control (el primer qubit) es 1. Por lo tanto, la puerta CNOT transforma el segundo qubit de la siguiente manera . ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle .}$ ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle (|0\rangle |0\rangle +|1\rangle |0\rangle ) \over {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {(|00\rangle +|11\rangle )}{\sqrt {2}}}=|\Phi ^{+}\rangle }$

Para las cuatro entradas básicas de dos qubits, el circuito genera los cuatro estados de Bell (enumerados anteriormente). De manera más general, el circuito transforma la entrada de acuerdo con la ecuación ${\displaystyle |00\rangle ,|01\rangle ,|10\rangle ,|11\rangle }$

$${\displaystyle |\beta (x,y)\rangle =\left({\frac {|0,y\rangle +(-1)^{x}|1,{\bar {y}}\rangle }{\sqrt {2}}}\right),}$$

¿ Dónde está la negación de ? ^[1] ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle y}$

Propiedades de los estados de Bell

El resultado de una medición de un solo qubit en un estado Bell es indeterminado, pero al medir el primer qubit en la base z , se garantiza que el resultado de medir el segundo qubit arrojará el mismo valor (para los estados Bell) o el valor opuesto (para los estados Bell). Esto implica que los resultados de la medición están correlacionados. John Bell fue el primero en demostrar que las correlaciones de medición en Bell State son más fuertes de las que podrían existir entre sistemas clásicos. Esto sugiere que la mecánica cuántica permite procesar información más allá de lo que es posible con la mecánica clásica. Además, los estados de Bell forman una base ortonormal y, por tanto, pueden definirse con una medición adecuada. Debido a que los estados de Bell son estados entrelazados, se puede conocer información sobre todo el sistema, mientras se retiene información sobre los subsistemas individuales. Por ejemplo, el estado de Bell es un estado puro , pero el operador de densidad reducida del primer qubit es un estado mixto . El estado mixto implica que no se conoce toda la información de este primer qubit. ^[1] Los estados de Bell son simétricos o antisimétricos con respecto a los subsistemas. ^[2] Los estados de Bell están entrelazados al máximo en el sentido de que sus operadores de densidad reducida están mezclados al máximo; la generalización multipartita de los estados de Bell en este espíritu se denomina estado absolutamente entrelazado al máximo (AME) . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$

Medición del estado de campana

La medición de Bell es un concepto importante en la ciencia de la información cuántica : es una medición mecánica cuántica conjunta de dos qubits que determina en cuál de los cuatro estados de Bell se encuentran los dos qubits.

Circuito cuántico que realiza decodificación Bell. Los estados de Bell a veces se denominan pares EPR. Observe que el circuito que decodifica el estado de Bell es el adjunto al circuito que codifica o crea los estados de Bell (descrito anteriormente).

Un ejemplo útil de medición cuántica en la base de Bell se puede ver en la computación cuántica. Si se aplica una puerta CNOT a los qubits A y B, seguida de una puerta Hadamard en el qubit A, se puede realizar una medición computacional. La puerta CNOT realiza el acto de desenredar los dos qubits previamente entrelazados. Esto permite convertir la información de información cuántica a una medición de información clásica.

La medición cuántica obedece a dos principios clave. El primero, el principio de medida diferida , establece que cualquier medida puede trasladarse al final del circuito. El segundo principio, el principio de medición implícita, establece que al final de un circuito cuántico, se puede asumir la medición de cualquier cable sin terminar. ^[1]

Las siguientes son aplicaciones de las mediciones del estado de Bell:

La medición del estado de Bell es el paso crucial en la teletransportación cuántica . El co-conspirador utiliza el resultado de una medición del estado de Bell para reconstruir el estado original de una partícula teletransportada a partir de la mitad de un par entrelazado (el "canal cuántico") que previamente se compartió entre los dos extremos.

Los experimentos que utilizan las llamadas técnicas de "evolución lineal, medición local" no pueden realizar una medición completa del estado de Bell. La evolución lineal significa que el aparato de detección actúa sobre cada partícula independientemente del estado o evolución de la otra, y la medición local significa que cada partícula se localiza en un detector particular registrando un "clic" para indicar que se ha detectado una partícula. Estos dispositivos pueden construirse, por ejemplo, a partir de espejos, divisores de haz y placas onduladas, y son atractivos desde una perspectiva experimental porque son fáciles de usar y tienen una sección transversal de medición alta .

Para el entrelazamiento en una sola variable de qubit, sólo tres clases distintas de cuatro estados de Bell se pueden distinguir utilizando tales técnicas ópticas lineales. Esto significa que dos estados de Bell no se pueden distinguir entre sí, lo que limita la eficiencia de los protocolos de comunicación cuántica como la teletransportación . Si se mide un estado de Bell a partir de esta clase ambigua, el evento de teletransportación falla.

Enredar partículas en múltiples variables de qubit, como (para sistemas fotónicos) la polarización y un subconjunto de dos elementos de estados de momento angular orbital , permite al experimentador rastrear una variable y lograr una medición completa del estado de Bell en la otra. ^[4] Aprovechar los llamados sistemas hiperentrelazados tiene, por tanto, una ventaja para la teletransportación. También tiene ventajas para otros protocolos como la codificación superdensa , en la que el hiperentrelazamiento aumenta la capacidad del canal.

En general, para el hiperentrelazamiento de variables, se puede distinguir entre, como máximo, clases fuera de los estados de Bell utilizando técnicas ópticas lineales. ^[5] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n+1}-1}$ ${\displaystyle 4^{n}}$

Correlaciones del estado de Bell

Las mediciones independientes realizadas en dos qubits que están entrelazados en estados de Bell se correlacionan positivamente y perfectamente si cada qubit se mide en la base correspondiente. Para el Estado, esto significa seleccionar la misma base para ambos qubits. Si un experimentador elige medir ambos qubits en un estado de Bell utilizando la misma base, los qubits aparecerían correlacionados positivamente al medir en la base, anticorrelacionados en la base ^[a] y correlacionados parcialmente (probabilísticamente) en otras bases. ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle }$ ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|+\rangle ,|-\rangle \}}$

Las correlaciones se pueden entender midiendo ambos qubits sobre la misma base y observando resultados perfectamente anticorrelacionados. De manera más general, se puede entender midiendo el primer qubit en base , el segundo qubit en base y observando resultados perfectamente correlacionados positivamente. ${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{2}=X.b_{1}}$

Relación entre las bases correlacionadas de dos qubits en el estado. ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle }$

Aplicaciones

Codificación superdensa

La codificación superdensa permite que dos personas comuniquen dos bits de información clásica enviando un solo qubit. La base de este fenómeno son los estados entrelazados o estados de Bell de un sistema de dos qubits. En este ejemplo, Alice y Bob están muy lejos el uno del otro y a cada uno se le ha asignado un qubit del estado entrelazado.

${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$.

En este ejemplo, Alice intenta comunicar dos bits de información clásica, una de cuatro cadenas de dos bits: o . Si Alice elige enviar el mensaje de dos bits , realizaría el cambio de fase en su qubit. De manera similar, si Alice quiere enviar , aplicaría una puerta NOT; si quisiera enviar , aplicaría la puerta a su qubit; y finalmente, si Alice quisiera enviar el mensaje de dos bits , no le haría nada a su qubit. Alice realiza estas transformaciones de puerta cuántica localmente, transformando el estado entrelazado inicial en uno de los cuatro estados de Bell. ${\displaystyle '00','01','10',}$ ${\displaystyle '11'}$ ${\displaystyle '01'}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle '10'}$ ${\displaystyle '11'}$ ${\displaystyle iY}$ ${\displaystyle '00'}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Los pasos siguientes muestran las transformaciones de puerta cuánticas necesarias, y los estados resultantes de Bell, que Alice necesita aplicar a su qubit para cada posible mensaje de dos bits que desee enviar a Bob.

${\displaystyle 00:I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Phi ^{+}}\rangle }$

${\displaystyle 01:Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle -|11\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Phi ^{-}}\rangle }$

${\displaystyle 10:X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|01\rangle +|10\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Psi ^{+}}\rangle }$

${\displaystyle 11:-iY=XZ={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}\longrightarrow |\psi \rangle ={\frac {|01\rangle -|10\rangle }{\sqrt {2}}}\equiv |{\Psi ^{-}}\rangle }$.

Después de que Alice aplica las transformaciones deseadas a su qubit, se lo envía a Bob. Luego, Bob realiza una medición en el estado de Bell, que proyecta el estado entrelazado en uno de los cuatro vectores base de dos qubits, uno de los cuales coincidirá con el mensaje original de dos bits que Alice estaba intentando enviar.

Teletransportación cuántica

La teletransportación cuántica es la transferencia de un estado cuántico a distancia. Se ve facilitado por el entrelazamiento entre A, el dador, y B, el receptor de este estado cuántico. Este proceso se ha convertido en un tema de investigación fundamental para la comunicación y la computación cuánticas. Más recientemente, los científicos han estado probando sus aplicaciones en la transferencia de información a través de fibras ópticas. ^[6] El proceso de teletransportación cuántica se define de la siguiente manera:

Alice y Bob comparten un par EPR y cada uno tomó un qubit antes de separarse. Alice debe entregar un qubit de información a Bob, pero no conoce el estado de este qubit y solo puede enviarle información clásica a Bob.

Se realiza paso a paso de la siguiente manera:

1. Alice envía sus qubits a través de una puerta CNOT .
2. Luego, Alice envía el primer qubit a través de una puerta Hadamard .
3. Alice mide sus qubits, obtiene uno de cuatro resultados y envía esta información a Bob.
4. Dadas las mediciones de Alice, Bob realiza una de cuatro operaciones en su mitad del par EPR y recupera el estado cuántico original. ^[1]

El siguiente circuito cuántico describe la teletransportación:

Circuito cuántico para teletransportar un qubit

Criptografía cuántica

La criptografía cuántica es el uso de propiedades de la mecánica cuántica para codificar y enviar información de forma segura. La teoría detrás de este proceso es el hecho de que es imposible medir el estado cuántico de un sistema sin perturbarlo. Esto se puede utilizar para detectar escuchas ilegales dentro de un sistema.

La forma más común de criptografía cuántica es la distribución de claves cuánticas . Permite que dos partes produzcan una clave secreta aleatoria compartida que se puede utilizar para cifrar mensajes. Su clave privada se crea entre las dos partes a través de un canal público. ^[1]

La criptografía cuántica puede considerarse un estado de entrelazamiento entre dos sistemas multidimensionales, también conocido como entrelazamiento de dos qudit (dígitos cuánticos). ^[2]

Ver también

• Experimentos de prueba de campana
• la desigualdad de bell
• Paradoja del EPR
• estado de GHZ
• Codificación superdensa
• Teletransportación cuántica
• Criptografía cuántica
• circuitos cuánticos
• Estado diagonal de campana

Notas

1. ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle -|11\rangle )}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|+\rangle _{A}+|-\rangle _{A})(|+\rangle _{B}+|-\rangle _{B})-(|+\rangle _{A}-|-\rangle _{A})(|+\rangle _{B}-|-\rangle _{B}))}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}(|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle +|--\rangle -|++\rangle +|+-\rangle +|-+\rangle -|--\rangle )}$ ${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+-\rangle +|-+\rangle )}$

Referencias

1. Nielsen, Michael (2010). Computación cuántica e información cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781139495486.
2. Sych, Denis (7 de enero de 2009). "Una base completa de los estados de Bell generalizados". Nueva Revista de Física . 11 (1): 013006. Código bibliográfico : 2009NJPh...11a3006S. doi : 10.1088/1367-2630/11/1/013006 - vía IOP Science.
3. Zaman, Fakhar; Jeong, Youngmin (2 de octubre de 2018). "Análisis contrafactual del estado de Bell". Informes científicos . 8 (1): 14641. Código bibliográfico : 2018NatSR...814641Z. doi : 10.1038/s41598-018-32928-8 . PMC 6168595 . PMID  30279547. 
4. Kwiat, Weinfurter. "Análisis del estado de Bell integrado"
5. Pisenti, Gaebler, Lynn. "Distinguibilidad de estados de campana hiperentrelazados mediante evolución lineal y medición local"
6. Huo, Meiru (19 de octubre de 2018). "Teletransportación cuántica determinista a través de canales de fibra". Avances científicos . 4 (10): eas9401. Código Bib : 2018SciA....4.9401H. doi : 10.1126/sciadv.aas9401 . PMC 6195333 . PMID  30345350. 

• Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2000), Computación cuántica e información cuántica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63503-5, págs.25.
• Kaye, Phillip; Laflamme, Raymond ; Mosca, Michele (2007), Introducción a la computación cuántica , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-857049-3, págs.75.
• Sobre la paradoja de Einstein Podolsky y Rosen , Bell System Technical Journal , 1964.