Estado de Greenberger–Horne–Zeilinger

Estado cuántico "altamente entrelazado" de 3 o más qubits

Generación del estado GHZ de 3 qubit utilizando puertas lógicas cuánticas .

En física , en el área de la teoría de la información cuántica , un estado de Greenberger-Horne-Zeilinger ( estado GHZ ) es un cierto tipo de estado cuántico entrelazado que involucra al menos tres subsistemas (estados de partículas, qubits o qudits ). La versión de cuatro partículas fue estudiada por primera vez por Daniel Greenberger , Michael Horne y Anton Zeilinger en 1989, y la versión de tres partículas fue introducida por N. David Mermin en 1990. ^{[1] [2] [3]} Se han observado propiedades extremadamente no clásicas del estado, que contradicen las nociones intuitivas de localidad y causalidad. Se teoriza que los estados GHZ para grandes cantidades de qubits brindan un rendimiento mejorado para la metrología en comparación con otros estados de superposición de qubits. ^[4]

Definición

El estado GHZ es un estado cuántico entrelazado para 3 qubits y su estado es

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|000\rangle +|111\rangle }{\sqrt {2}}}.}$

Generalización

El estado GHZ generalizado es un estado cuántico entrelazado de M > 2 subsistemas. Si cada sistema tiene dimensión , es decir, el espacio de Hilbert local es isomorfo a , entonces el espacio de Hilbert total de un sistema -partito es . Este estado GHZ también se denomina estado GHZ cudit -partito. Su fórmula como producto tensorial es ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {tot}}=(\mathbb {C} ^{d})^{\otimes M}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{i=0}^{d-1}|i\rangle \otimes \cdots \otimes |i\rangle ={\frac {1}{\sqrt {d}}}(|0\rangle \otimes \cdots \otimes |0\rangle +\cdots +|d-1\rangle \otimes \cdots \otimes |d-1\rangle )}$.

En el caso de que cada uno de los subsistemas sea bidimensional, es decir para una colección de M qubits, se lee

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}}.}$

Propiedades

No existe una medida estándar de entrelazamiento multipartito porque existen diferentes tipos de entrelazamiento multipartito que no son mutuamente convertibles. No obstante, muchas medidas definen el estado GHZ como el estado de máxima entrelazamiento . ^{[ cita requerida ]}

Otra propiedad importante del estado GHZ es que al tomar la traza parcial sobre uno de los tres sistemas se obtiene

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{3}\left[\left({\frac {|000\rangle +|111\rangle }{\sqrt {2}}}\right)\left({\frac {\langle 000|+\langle 111|}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {(|00\rangle \langle 00|+|11\rangle \langle 11|)}{2}},}$

que es un estado mixto no entrelazado . Tiene ciertas correlaciones de dos partículas (qubit), pero estas son de naturaleza clásica . Por otro lado, si midiéramos uno de los subsistemas de tal manera que la medición distinga entre los estados 0 y 1, dejaríamos atrás o , que son estados puros no entrelazados. Esto es diferente del estado W , que deja entrelazamientos bipartitos incluso cuando medimos uno de sus subsistemas. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle |00\rangle }$ ${\displaystyle |11\rangle }$

El estado GHZ no es biseparable ^[5] y es el representante de una de las dos clases no biseparables de estados de 3 qubits que no se pueden transformar (ni siquiera probabilísticamente) entre sí mediante operaciones cuánticas locales , siendo el otro el estado W , . ^[6] Por lo tanto , y representan dos tipos muy diferentes de entrelazamiento para tres o más partículas. ^[7] El estado W es, en cierto sentido, "menos entrelazado" que el estado GHZ; sin embargo, ese entrelazamiento es, en cierto sentido, más robusto frente a mediciones de una sola partícula, en el sentido de que, para un estado W de N qubits, queda un estado entrelazado de ( N  − 1) qubits después de una medición de una sola partícula. Por el contrario, ciertas mediciones en el estado GHZ lo colapsan en una mezcla o un estado puro. ${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle =(|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle )/{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle }$

Los experimentos en el estado GHZ conducen a sorprendentes correlaciones no clásicas (1989). Las partículas preparadas en este estado conducen a una versión del teorema de Bell , que muestra la inconsistencia interna de la noción de elementos de la realidad introducida en el famoso artículo de Einstein-Podolsky-Rosen . La primera observación de laboratorio de las correlaciones GHZ fue realizada por el grupo de Anton Zeilinger (1998), quien recibió una parte del Premio Nobel de Física de 2022 por este trabajo. ^[8] Siguieron muchas observaciones más precisas. Las correlaciones se pueden utilizar en algunas tareas de información cuántica . Estas incluyen la criptografía cuántica multipartícipe (1998) y las tareas de complejidad de la comunicación (1997, 2004).

Entrelazamiento por pares

Aunque una medición de la tercera partícula del estado GHZ que distingue los dos estados da como resultado un par no entrelazado, una medición a lo largo de una dirección ortogonal puede dejar atrás un estado de Bell con el máximo entrelazamiento . Esto se ilustra a continuación.

El estado GHZ de 3 qubit se puede escribir como

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|000\rangle +|111\rangle \right)={\frac {1}{2}}\left(|00\rangle +|11\rangle \right)\otimes |+\rangle +{\frac {1}{2}}\left(|00\rangle -|11\rangle \right)\otimes |-\rangle ,}$

donde la tercera partícula se escribe como una superposición en la base X (a diferencia de la base Z ) como y . ${\displaystyle |0\rangle =(|+\rangle +|-\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |1\rangle =(|+\rangle -|-\rangle )/{\sqrt {2}}}$

Una medición del estado GHZ a lo largo de la base X para la tercera partícula produce entonces , si se midió, o , si se midió. En el último caso, la fase se puede rotar aplicando una compuerta cuántica Z para dar , mientras que en el primer caso, no se aplican transformaciones adicionales. En cualquier caso, el resultado de las operaciones es un estado de Bell máximamente entrelazado. ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle =(|00\rangle +|11\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{-}\rangle =(|00\rangle -|11\rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |-\rangle }$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$

Este ejemplo ilustra que, dependiendo de qué medición se realice, el estado de GHZ es más sutil de lo que parece a primera vista: una medición a lo largo de una dirección ortogonal, seguida de una transformación cuántica que depende del resultado de la medición, puede dejar atrás un estado máximamente entrelazado .

Aplicaciones

Los estados GHZ se utilizan en varios protocolos en comunicación cuántica y criptografía, por ejemplo, en el intercambio de secretos ^[9] o en el acuerdo bizantino cuántico .

Véase también

• Teorema de Bell
• Teoría de variables ocultas locales
• Estado del MEDIODÍA
• Pseudotelepatía cuántica

Referencias

1. Greenberger, Daniel M.; Horne, Michael A.; Zeilinger, Anton (1989). "Más allá del teorema de Bell". En Kafatos, M. (ed.). Teorema de Bell, teoría cuántica y concepciones del universo . Dordrecht: Kluwer. p. 69. arXiv : 0712.0921 . Código Bibliográfico :2007arXiv0712.0921G.
2. Mermin, N. David (1 de agosto de 1990). "Revisitando los misterios cuánticos". American Journal of Physics . 58 (8): 731–734. Bibcode :1990AmJPh..58..731M. doi :10.1119/1.16503. ISSN  0002-9505. S2CID  119911419.
3. Caves, Carlton M. ; Fuchs, Christopher A.; Schack, Rüdiger (20 de agosto de 2002). "Estados cuánticos desconocidos: la representación cuántica de De Finetti". Journal of Mathematical Physics . 43 (9): 4537–4559. arXiv : quant-ph/0104088 . Bibcode :2002JMP....43.4537C. doi :10.1063/1.1494475. ISSN  0022-2488. S2CID  17416262. Mermin fue el primero en señalar las interesantes propiedades de este estado de tres sistemas, siguiendo el ejemplo de DM Greenberger, M. Horne y A. Zeilinger [...] donde se propuso un estado similar de cuatro sistemas.
4. Eldredge, Zachary; Foss-Feig, Michael; Gross, Jonathan A.; Rolston, SL; Gorshkov, Alexey V. (23 de abril de 2018). "Protocolos de medición óptimos y seguros para redes de sensores cuánticos". Physical Review A . 97 (4): 042337. arXiv : 1607.04646 . Código Bibliográfico :2018PhRvA..97d2337E. doi :10.1103/PhysRevA.97.042337. PMC 6513338 . PMID  31093589. 
5. Un estado puro de partes se llama biseparable , si se puede encontrar una partición de las partes en dos subconjuntos disjuntos no vacíos y con tales que , es decir, es un estado producto con respecto a la partición . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cup B=\{1,\dots ,N\}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle _{A}\otimes |\gamma \rangle _{B}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle A|B}$
6. W. Dür; G. Vidal y JI Cirac (2000). "Tres qubits pueden entrelazarse de dos maneras no equivalentes". Phys. Rev. A . 62 (6): 062314. arXiv : quant-ph/0005115 . Bibcode :2000PhRvA..62f2314D. doi :10.1103/PhysRevA.62.062314. S2CID  16636159.
7. Piotr Migdał; Javier Rodriguez-Laguna; Maciej Lewenstein (2013), "Clases de entrelazamiento de estados qudit simétricos de permutación: las operaciones simétricas son suficientes", Physical Review A , 88 (1): 012335, arXiv : 1305.1506 , Bibcode :2013PhRvA..88a2335M, doi :10.1103/PhysRevA.88.012335, S2CID  119536491
8. "Antecedentes científicos del Premio Nobel de Física 2022" (PDF) . El Premio Nobel . 4 de octubre de 2022.
9. Mark Hillery; Vladimír Bužek; André Berthiaume (1998), "Intercambio de secretos cuánticos", Physical Review A , 59 (3): 1829–1834, arXiv : quant-ph/9806063 , Bibcode :1999PhRvA..59.1829H, doi :10.1103/PhysRevA.59.1829, S2CID  55165469