LOCC

Método en computación y comunicación cuántica.

Paradigma LOCC: las partes no pueden intercambiar partículas de forma coherente. Sólo se permiten operaciones locales y comunicación clásica.

LOCC , u operaciones locales y comunicación clásica , es un método en la teoría de la información cuántica donde se realiza una operación local (de producto) en una parte del sistema, y ​​donde el resultado de esa operación se "comunica" de manera clásica a otra parte donde normalmente hay otra parte local. La operación se realiza condicionada a la información recibida.

Propiedades matemáticas

La definición formal del conjunto de operaciones LOCC es complicada debido al hecho de que las operaciones locales posteriores dependen en general de toda la comunicación clásica anterior y debido al número ilimitado de rondas de comunicación. Para cualquier número finito se puede definir el conjunto de operaciones LOCC que se pueden lograr con rondas de comunicación clásica. El conjunto se vuelve estrictamente mayor cada vez que se aumenta y hay que tener cuidado de definir el límite de infinitas rondas. En particular, el conjunto LOCC no es topológicamente cerrado, es decir, hay operaciones cuánticas que LOCC pueden aproximar arbitrariamente pero que no son en sí mismas LOCC. ^[1] ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

Un LOCC de una ronda es un instrumento cuántico , para el cual los mapas completamente positivos (CPM) que no aumentan la traza son locales para todos los resultados de medición , es decir, y hay un sitio tal que sólo en el mapa no se conserva la traza. Esto significa que el instrumento puede ser realizado por la parte en el sitio que aplica el instrumento (local) y comunica el resultado clásico a todas las demás partes, las cuales luego realizan (condicionadas a ) operaciones cuánticas locales (deterministas) que preservan la traza . ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}\right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j}({\cal {E}}_{x}^{j})}$ ${\displaystyle j=K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}^{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}=\bigotimes _{j\not =K}({\cal {T_{j}^{x}}})\otimes {\cal {E}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {E}}_{x}^{K}\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\cal {T}}_{x}^{j}}$

Entonces se definen recursivamente como aquellas operaciones que se pueden realizar siguiendo una operación con una operación. Aquí se permite que el partido que realice las siguientes operaciones dependa del resultado de las rondas anteriores. Además, también permitimos el "grano grueso", es decir, descartar parte de la información clásica codificada en los resultados de la medición (de todas las rondas). ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{1}}$

La unión de todas las operaciones se denota por y contiene instrumentos que se pueden aproximar cada vez mejor con más rondas LOCC. Su cierre topológico contiene todas esas operaciones. ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}}$ ${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}$

Se puede demostrar que todos estos conjuntos son diferentes: ^[1]

${\displaystyle \operatorname {LOCC} _{r}\subset \operatorname {LOCC} _{r+1}\subset \operatorname {LOCC} _{\mathbb {N} }\subset {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }}$

El conjunto de todas las operaciones LOCC está contenido en el conjunto de todas las operaciones separables . contiene todas las operaciones que se pueden escribir utilizando operadores Kraus que tienen todas las formas de producto, es decir, ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$ ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$

${\displaystyle {\cal {E}}(\rho )=\sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}\rho (K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger },}$

con . No todas las operaciones son LOCC, ${\displaystyle \sum _{l}K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N}(K_{1}^{l}\otimes K_{2}^{l}\dots \otimes K_{N})^{\dagger }=1}$ ${\displaystyle \operatorname {SEP} }$

${\displaystyle {\overline {\operatorname {LOCC} }}_{\mathbb {N} }\subset \operatorname {SEP} ,}$

es decir, hay ejemplos que no se pueden implementar localmente incluso con infinitas rondas de comunicación. ^[1]

Los LOCC son las "operaciones libres" en las teorías de recursos del entrelazamiento : el entrelazamiento no se puede producir a partir de estados separables con LOCC y si las partes locales, además de poder realizar todas las operaciones LOCC, también cuentan con algunos estados entrelazados, pueden realizar más operaciones que con LOCC solo.

Ejemplos

Las operaciones LOCC son útiles para la preparación del estado , la discriminación del estado y las transformaciones de entrelazamiento .

Preparación estatal

A Alice y Bob se les da un sistema cuántico en estado de producto . Su tarea es producir el estado separable . Esto no se puede lograr únicamente con operaciones locales, ya que no pueden producir las correlaciones (clásicas) presentes en . Sin embargo, con LOCC (con una ronda de comunicación) se puede preparar: Alice lanza una moneda imparcial (que muestra cara o cruz cada una con un 50% de probabilidad) y lanza su qubit (a ) si la moneda muestra "cruz", de lo contrario es dejado sin cambios. Luego envía el resultado del lanzamiento de la moneda (información clásica) a Bob, quien también lanza su qubit si recibe el mensaje "cruz". El estado resultante es . En general, todos los estados separables (y sólo estos) se pueden preparar a partir de estados de un producto únicamente con operaciones LOCC. ^[1] ${\displaystyle |00\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$ ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|00\rangle \langle 00|+{\frac {1}{2}}|11\rangle \langle 11|}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |1\rangle _{A}}$ ${\displaystyle \rho }$

Discriminación estatal

Dados dos estados cuánticos en un espacio de Hilbert bipartito o multipartito , la tarea es determinar cuál de los dos (o más) estados posibles es. Como ejemplo sencillo, consideremos los dos estados de Bell. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\cal {H}}={\cal {H}}_{A}\otimes {\cal {H}}_{B}\otimes \dots {\cal {H}}_{Z}}$ ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}}$

${\displaystyle |\psi _{1}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\right)}$

${\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right)}$

Digamos que el sistema de dos qubits está separado, donde el primer qubit se le da a Alice y el segundo a Bob. Sin comunicación, Alice y Bob no pueden distinguir los dos estados, ya que para todas las mediciones locales todas las estadísticas de medición son exactamente iguales (ambos estados tienen la misma matriz de densidad reducida). Por ejemplo, supongamos que Alice mide el primer qubit y obtiene el resultado 0. Dado que es igualmente probable que este resultado ocurra (con una probabilidad del 50%) en cada uno de los dos casos, no obtiene ninguna información sobre qué par de Bell le dieron. y lo mismo se aplica a Bob si realiza alguna medición. Pero ahora dejemos que Alice envíe su resultado a Bob a través de un canal clásico. Ahora Bob puede comparar su resultado con el de ella y, si son iguales, puede concluir que el par dado lo era , ya que sólo esto permite un resultado de medición conjunto . Así, con LOCC y dos mediciones estos dos estados se pueden distinguir perfectamente. Tenga en cuenta que con mediciones globales ( no locales o entrelazadas ), una sola medición (en el espacio conjunto de Hilbert ) es suficiente para distinguir estos dos estados (mutuamente ortogonales ). ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}}$

Hay estados cuánticos que no se pueden distinguir con las operaciones LOCC. ^[2]

Transformaciones de entrelazamiento

Si bien los LOCC no pueden generar estados entrelazados a partir de estados de productos, pueden usarse para transformar estados entrelazados en otros estados entrelazados. La restricción a LOCC limita severamente qué transformaciones son posibles.

Conversión de entrelazamiento

Nielsen ^[3] ha derivado una condición general para determinar si un estado puro de un sistema cuántico bipartito puede transformarse en otro utilizando únicamente LOCC. Los detalles completos se pueden encontrar en el documento al que se hizo referencia anteriormente; los resultados se resumen aquí.

Considere dos partículas en un espacio de dimensión de Hilbert con estados de partículas y con descomposiciones de Schmidt. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}}}|i_{A}\rangle \otimes |i_{B}\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{i}{\sqrt {\omega _{i}'}}|i_{A}'\rangle \otimes |i_{B}'\rangle }$

Los 's se conocen como coeficientes de Schmidt . Si están ordenados de mayor a menor (es decir, con ), entonces solo se pueden transformar usando operaciones locales únicamente si y solo si para todos en el rango. ${\displaystyle {\sqrt {\omega _{i}}}}$ ${\displaystyle \omega _{1}>\omega _{d}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq d}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}\leq \sum _{i=1}^{k}\omega _{i}'}$

En notación más concisa:

${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow |\phi \rangle \quad {\text{iff}}\quad \omega \prec \omega '}$

Esta es una condición más restrictiva que el hecho de que las operaciones locales no puedan aumentar las medidas de enredo . Es muy posible que y tengan la misma cantidad de entrelazamiento, pero no es posible convertir uno en el otro e incluso esa conversión en cualquier dirección es imposible porque ningún conjunto de coeficientes de Schmidt mayoriza al otro. Para grandes , si todos los coeficientes de Schmidt son distintos de cero, la probabilidad de que un conjunto de coeficientes sea mayor que el otro se vuelve insignificante. Por lo tanto, en general, la probabilidad de que cualquier estado arbitrario sea convertible en otro vía LOCC se vuelve insignificante. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Las operaciones descritas hasta ahora son deterministas, es decir, tienen éxito con una probabilidad del 100%. Si uno está satisfecho con las transformaciones probabilísticas , son posibles muchas más transformaciones utilizando LOCC. ^[4] Estas operaciones se denominan LOCC estocásticas (SLOCC). En particular, para estados multipartidistas, se estudia la convertibilidad bajo SLOCC para obtener una visión cualitativa de las propiedades de entrelazamiento de los estados involucrados. ^[5]

Más allá de LOCC: conversión catalítica

Si los estados entrelazados están disponibles como recurso, estos, junto con LOCC, permiten una clase mucho mayor de transformaciones. Este es el caso incluso si estos estados de recursos no se consumen en el proceso (como ocurre, por ejemplo, en la teletransportación cuántica ). Por tanto, las transformaciones se denominan catálisis por entrelazamiento . ^[6] En este procedimiento, la conversión de un estado inicial a un estado final que es imposible con LOCC se hace posible tomando un producto tensor del estado inicial con un "estado catalizador" y requiriendo que este estado todavía esté disponible en el final del proceso de conversión. Es decir, el estado del catalizador no se modifica mediante la conversión y luego se puede eliminar, dejando sólo el estado final deseado. Considere los estados, ${\displaystyle |c\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\sqrt {0.4}}|00\rangle +{\sqrt {0.4}}|11\rangle +{\sqrt {0.1}}|22\rangle +{\sqrt {0.1}}|33\rangle }$

${\displaystyle |\phi \rangle ={\sqrt {0.5}}|00\rangle +{\sqrt {0.25}}|11\rangle +{\sqrt {0.25}}|22\rangle }$

${\displaystyle |c\rangle ={\sqrt {0.6}}\mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.4}}\mid \downarrow \downarrow \rangle }$

Estos estados se escriben en forma de descomposición de Schmidt y en orden descendente. Comparamos la suma de los coeficientes de y ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

En la tabla se pone el color rojo si , se pone el color verde si , y se deja el color blanco si . Después de construir la tabla, uno puede saber fácilmente si y son convertibles mirando el color en la dirección. LOCC puede convertirlo si el color es todo verde o blanco, y LOCC puede convertirlo si el color es todo rojo o blanco. Cuando la tabla presenta colores rojo y verde, los estados no son convertibles. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}>\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}<\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}\omega _{i}=\sum _{i=0}^{k}\omega '_{i}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Ahora consideramos los estados del producto y : ${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.24}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.24}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.16}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \\&+{\sqrt {0.06}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.06}}|33\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.04}}|33\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|\phi \rangle |c\rangle &={\sqrt {0.30}}|00\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.20}}|00\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|11\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle +{\sqrt {0.15}}|22\rangle \mid \uparrow \uparrow \rangle \\&+{\sqrt {0.10}}|11\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle +{\sqrt {0.10}}|22\rangle \mid \downarrow \downarrow \rangle \end{aligned}}}$

Del mismo modo, confeccionamos la tabla:

Los colores en la dirección son todos verdes o blancos, por lo tanto, según el teorema de Nielsen, el LOCC puede convertirlos . El estado del catalizador se elimina después de la conversión. Finalmente nos encontramos por el LOCC. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle |\psi \rangle |c\rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle |c\rangle }$ ${\displaystyle |c\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle {\overset {|c\rangle }{\rightarrow }}|\phi \rangle }$

Si se permiten correlaciones entre el sistema y el catalizador, las transformaciones catalíticas entre estados puros bipartitos se caracterizan mediante la entropía de entrelazamiento . ^[7] Más detalladamente, un estado puro se puede convertir en otro estado puro mediante LOCC catalítico si y sólo si ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle S(\psi ^{A})\geq S(\phi ^{A})}$,

donde es la entropía de von Neumann , y y son los estados reducidos de y , respectivamente. En general, la conversión no es exacta, pero puede realizarse con una precisión arbitraria. La cantidad de correlaciones entre el sistema y el catalizador también puede hacerse arbitrariamente pequeña. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \psi ^{A}}$ ${\displaystyle \phi ^{A}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$

Ver también

• Teletransportación cuántica

Referencias

1. , E.; Leung, D.; Mancinska, L.; Ozols, M.; Invierno, A. (2012). "Todo lo que siempre quiso saber sobre LOCC (pero tenía miedo de preguntar)". Comunitario. Matemáticas. Física . 328 (1): 303. arXiv : 1210.4583 . Código Bib : 2014CMaPh.328..303C. doi :10.1007/s00220-014-1953-9. S2CID  118478457.
2. Charles H. Bennett; David P. DiVincenzo; Cristóbal A. Fuchs; Tal Mor; Eric lluvias; Peter W. Shor; Juan A. Smolin; William K. Wootters (1999). "No localidad cuántica sin entrelazamiento". Física. Rev. A. 59 (2): 1070-1091. arXiv : quant-ph/9804053 . Código bibliográfico : 1999PhRvA..59.1070B. doi :10.1103/PhysRevA.59.1070. S2CID  15282650.
3. MA Nielsen (1999). "Condiciones para una clase de transformaciones de entrelazamiento". Física. Rev. Lett . 83 (2): 436–439. arXiv : quant-ph/9811053 . Código Bib : 1999PhRvL..83..436N. doi : 10.1103/PhysRevLett.83.436. S2CID  17928003.
4. Guifré Vidal (2000). "Monótonos de enredo". J.Mod. Optar . 47 (2–3): 355. arXiv : quant-ph/9807077 . Código Bib : 2000JMOp...47..355V. doi : 10.1080/09500340008244048. S2CID  119347961.
5. G. Gour; NR Wallach (2013). "Clasificación del entrelazamiento multipartito de toda dimensionalidad finita". Física. Rev. Lett . 111 (6): 060502. arXiv : 1304.7259 . Código bibliográfico : 2013PhRvL.111f0502G. doi : 10.1103/PhysRevLett.111.060502. PMID  23971544. S2CID  1570745.
6. D. Jonatán; MB Plenio (1999). "Manipulación local asistida por entrelazamiento de estados cuánticos puros". Física. Rev. Lett . 83 (17): 3566–3569. arXiv : quant-ph/9905071 . Código bibliográfico : 1999PhRvL..83.3566J. doi : 10.1103/PhysRevLett.83.3566. S2CID  392419.
7. Kondra, Tulja Varun; Datta, Chandan; Streltsov, Alejandro (5 de octubre de 2021). "Transformaciones catalíticas de estados entrelazados puros". Cartas de revisión física . 127 (15): 150503. arXiv : 2102.11136 . Código bibliográfico : 2021PhRvL.127o0503K. doi :10.1103/PhysRevLett.127.150503. PMID  34678004. S2CID  237532098.

Otras lecturas

• https://quantiki.org/wiki/LOCC/locc-operaciones
• Nielsen MA (1999). "Condiciones para una clase de transformaciones por entrelazamiento". Física. Rev. Lett . 83 (2): 436–439. arXiv : quant-ph/9811053 . Código bibliográfico : 1999PhRvL..83..436N. doi :10.1103/physrevlett.83.436. S2CID  17928003.