estado separable

Estados cuánticos que no están entrelazados

En mecánica cuántica , los estados separables son estados cuánticos multipartitos que pueden escribirse como una combinación convexa de estados producto. Los estados del producto son estados cuánticos multipartitos que se pueden escribir como un producto tensorial de estados en cada espacio. La intuición física detrás de estas definiciones es que los estados del producto no tienen correlación entre los diferentes grados de libertad, mientras que los estados separables pueden tener correlaciones, pero todas esas correlaciones pueden explicarse como debidas a una variable aleatoria clásica, en contraposición a un entrelazamiento.

En el caso especial de los estados puros, la definición se simplifica: un estado puro es separable si y sólo si es un estado producto.

Se dice que un estado está entrelazado si no es separable. En general, determinar si un estado es separable no es sencillo y el problema se clasifica como NP-difícil .

Separabilidad de los sistemas bipartitos

Consideremos primero los estados compuestos con dos grados de libertad, denominados estados bipartitos . Según un postulado de la mecánica cuántica, estos pueden describirse como vectores en el espacio del producto tensorial . En esta discusión nos centraremos en el caso de los espacios de Hilbert y su dimensión finita. ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

estados puros

Sean y bases ortonormales para y , respectivamente. Una base para es entonces , o en notación más compacta . A partir de la definición misma del producto tensorial, cualquier vector de norma 1, es decir, un estado puro del sistema compuesto, se puede escribir como ${\displaystyle \{|{a_{i}}\rangle \}_{i=1}^{n}\subset H_{1}}$ ${\displaystyle \{|{b_{j}}\rangle \}_{j=1}^{m}\subset H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle \{|{a_{i}}\rangle \otimes |{b_{j}}\rangle \}}$ ${\displaystyle \{|a_{i}b_{j}\rangle \}}$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i,j}c_{i,j}(|a_{i}\rangle \otimes |b_{j}\rangle )=\sum _{i,j}c_{i,j}|a_{i}b_{j}\rangle ,}$

donde es una constante. Si se puede escribir como un tensor simple , es decir, en la forma con un estado puro en el i -ésimo espacio, se dice que es un estado producto y, en particular, separable . De lo contrario se llama enredado . Tenga en cuenta que, aunque las nociones de producto y estados separables coinciden para los estados puros, no lo hacen en el caso más general de los estados mixtos. ${\displaystyle c_{i,j}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

Los estados puros están entrelazados si y sólo si sus estados parciales no son puros . Para ver esto, escriba la descomposición de Schmidt como ${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{k=1}^{r_{\psi }}{\sqrt {p_{k}}}(|u_{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ),}$

donde son números reales positivos, es el rango de Schmidt de , y y son conjuntos de estados ortonormales en y , respectivamente. El Estado está enredado si y sólo si . Al mismo tiempo, el estado parcial tiene la forma. ${\displaystyle {\sqrt {p_{k}}}>0}$ ${\displaystyle r_{\psi }}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \{|u_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{1}}$ ${\displaystyle \{|v_{k}\rangle \}_{k=1}^{r_{\psi }}\subset H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle r_{\psi }>1}$

${\displaystyle \rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(|\psi \rangle \!\langle \psi |)=\sum _{k=1}^{r_{\psi }}p_{k}\,|u_{k}\rangle \!\langle u_{k}|.}$

Se deduce que es puro --- es decir, es proyección con rango unitario --- si y sólo si , lo que equivale a ser separable. ${\displaystyle \rho _{A}}$ ${\displaystyle r_{\psi }=1}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Físicamente, esto significa que no es posible asignar un estado definido (puro) a los subsistemas, que deberían describirse como conjuntos estadísticos de estados puros, es decir, como matrices de densidad . Por tanto , un estado puro está entrelazado si y sólo si la entropía de von Neumann del estado parcial es distinta de cero. ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \!\langle \psi |}$ ${\displaystyle \rho _{A}\equiv \operatorname {Tr} _{B}(\rho )}$

Formalmente, la incrustación de un producto de estados en el espacio del producto viene dada por la incrustación de Segre . ^[1] Es decir, un estado puro mecánico-cuántico es separable si y sólo si está en la imagen de la incrustación de Segre.

La discusión anterior se puede extender al caso en el que el espacio de estados es de dimensión infinita y prácticamente no cambia nada. ^{[ se necesita aclaración ]}

Estados mixtos

Consideremos el caso del estado mixto. Un estado mixto del sistema compuesto se describe mediante una matriz de densidad que actúa sobre . ρ es separable si existe , y que son estados mixtos de los respectivos subsistemas tales que ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$ ${\displaystyle p_{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}}$

dónde

${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$

De lo contrario se llama estado entrelazado. Podemos asumir sin pérdida de generalidad en la expresión anterior que y son todas proyecciones de rango 1, es decir, representan conjuntos puros de los subsistemas apropiados. De la definición se desprende claramente que la familia de estados separables es un conjunto convexo . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$

Observe que, nuevamente a partir de la definición del producto tensorial, cualquier matriz de densidad, de hecho cualquier matriz que actúe sobre el espacio de estados compuesto, puede escribirse trivialmente en la forma deseada, si eliminamos el requisito de que y son en sí mismos estados y Si estos requisitos son satisfecho, entonces podemos interpretar el estado total como una distribución de probabilidad sobre estados de productos no correlacionados . ${\displaystyle \{\rho _{1}^{k}\}}$ ${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$ ${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1.}$

En términos de canales cuánticos , se puede crear un estado separable de cualquier otro estado mediante acciones locales y comunicación clásica, mientras que un estado entrelazado no puede.

Cuando los espacios de estados son de dimensión infinita, las matrices de densidad se reemplazan por operadores de clase de traza positiva con traza 1, y un estado es separable si puede aproximarse, en norma de traza, mediante estados de la forma anterior.

Si solo hay un elemento distinto de cero , entonces el estado se puede expresar de la misma manera y se llama estado simplemente separable o producto . Una propiedad del estado del producto es que, en términos de entropía , ${\displaystyle p_{k}}$ ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$

${\displaystyle S(\rho )=S(\rho _{1})+S(\rho _{2}).}$

Ampliando al caso multipartito

La discusión anterior se generaliza fácilmente al caso de un sistema cuántico que consta de más de dos subsistemas. Supongamos que un sistema tiene n subsistemas y tiene espacio de estados . Un estado puro es separable si toma la forma ${\displaystyle H=H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{n}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle \in H}$

${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes |\psi _{n}\rangle .}$

De manera similar, un estado mixto ρ que actúa sobre H es separable si es una suma convexa

${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \cdots \otimes \rho _{n}^{k}.}$

O, en el caso de dimensión infinita, ρ es separable si puede aproximarse en la norma de traza mediante estados de la forma anterior.

Criterio de separabilidad

El problema de decidir si un estado es separable en general se denomina a veces problema de separabilidad.en teoría de la información cuántica . Se considera un problema difícil. Se ha demostrado que es NP-duro en muchos casos ^{[2] [3]} y se cree que lo es en general. Se puede obtener cierta apreciación de esta dificultad si se intenta resolver el problema empleando el enfoque de fuerza bruta directa, para una dimensión fija. Vemos que el problema rápidamente se vuelve intratable, incluso para dimensiones bajas. Por tanto, se requieren formulaciones más sofisticadas. El problema de la separabilidad es un tema de investigación actual.

Un criterio de separabilidad es una condición necesaria que debe satisfacer un estado para ser separable. En los casos de baja dimensión ( 2 X 2 y 2 X 3 ), el criterio de Peres-Horodecki es en realidad una condición necesaria y suficiente para la separabilidad. Otros criterios de separabilidad incluyen (pero no se limitan a) el criterio de rango , el criterio de reducción y aquellos basados ​​en relaciones de incertidumbre. ^{[4] [5] [6] [7]} Ver ref. ^[8] para una revisión de los criterios de separabilidad en sistemas de variables discretas.

En sistemas de variable continua también se aplica el criterio de Peres-Horodecki . Específicamente, Simon ^[9] formuló una versión particular del criterio de Peres-Horodecki en términos de los momentos de segundo orden de operadores canónicos y demostró que es necesario y suficiente para estados gaussianos en modo - (ver Ref. ^[10] para un enfoque diferente pero esencialmente equivalente). Más tarde se descubrió ^[11] que la condición de Simon también es necesaria y suficiente para los estados gaussianos en modo, pero ya no es suficiente para los estados gaussianos en modo. La condición de Simon se puede generalizar teniendo en cuenta los momentos de orden superior de los operadores canónicos ^{[12] [13]} o utilizando medidas entrópicas. ^{[14] [15]} ${\displaystyle 1\oplus 1}$ ${\displaystyle 1\oplus n}$ ${\displaystyle 2\oplus 2}$

Caracterización mediante geometría algebraica.

La mecánica cuántica puede modelarse sobre un espacio proyectivo de Hilbert , y el producto categórico de dos de esos espacios es la incrustación de Segre . En el caso bipartito, un estado cuántico es separable si y sólo si se encuentra en la imagen de la incrustación de Segre. Jon Magne Leinaas , Jan Myrheim y Eirik Ovrum en su artículo "Aspectos geométricos del entrelazamiento" ^[16] describen el problema y estudian la geometría de los estados separables como un subconjunto de las matrices de estados generales. Este subconjunto tiene alguna intersección con el subconjunto de estados que mantienen el criterio de Peres-Horodecki. En este artículo, Leinaas et al. También proporcione un enfoque numérico para probar la separabilidad en el caso general.

Prueba de separabilidad

La prueba de separabilidad en el caso general es un problema NP-difícil. ^{[2] [3]} Leinaas et al. ^[16] formuló un algoritmo probabilístico iterativo para probar si un estado dado es separable. Cuando el algoritmo tiene éxito, proporciona una representación explícita y aleatoria del estado dado como un estado separable. De lo contrario, proporciona la distancia del estado dado desde el estado separable más cercano que puede encontrar.

Ver también

• Testigo de enredo

Referencias

1. Gharahi, Masoud; Mancini, Stefano; Ottaviani, Giorgio (1 de octubre de 2020). "Clasificación de estructura fina del entrelazamiento multiqubit mediante geometría algebraica". Investigación de revisión física . 2 (4): 043003. arXiv : 1910.09665 . Código Bib : 2020PhRvR...2d3003G. doi : 10.1103/PhysRevResearch.2.043003 . S2CID  204824024.
2. Gurvits, L., Complejidad determinista clásica del problema de Edmonds y entrelazamiento cuántico, en Actas del 35º Simposio ACM sobre Teoría de la Computación, ACM Press, Nueva York, 2003.
3. Sevag Gharibian, Dureza NP fuerte del problema de separabilidad cuántica, Información y computación cuánticas, vol. 10, núms. 3 y 4, págs. 343-360, 2010. arXiv:0810.4507.
4. Hofmann, Holger F.; Takeuchi, Shigeki (22 de septiembre de 2003). "La violación de las relaciones de incertidumbre local como firma de entrelazamiento". Revisión física A. 68 (3): 032103. arXiv : quant-ph/0212090 . Código Bib : 2003PhRvA..68c2103H. doi : 10.1103/PhysRevA.68.032103. S2CID  54893300.
5. Gühne, Otfried (18 de marzo de 2004). "Caracterización del entrelazamiento a través de relaciones de incertidumbre". Cartas de revisión física . 92 (11): 117903. arXiv : quant-ph/0306194 . Código Bib : 2004PhRvL..92k7903G. doi :10.1103/PhysRevLett.92.117903. PMID  15089173. S2CID  5696147.
6. Gühne, Otfried; Lewenstein, Maciej (24 de agosto de 2004). "Relaciones entrópicas de incertidumbre y entrelazamiento". Revisión física A. 70 (2): 022316. arXiv : quant-ph/0403219 . Código Bib : 2004PhRvA..70b2316G. doi : 10.1103/PhysRevA.70.022316. S2CID  118952931.
7. Huang, Yichen (29 de julio de 2010). "Criterios de entrelazamiento mediante relaciones de incertidumbre de función cóncava". Revisión física A. 82 (1): 012335. Código bibliográfico : 2010PhRvA..82a2335H. doi : 10.1103/PhysRevA.82.012335.
8. Gühne, Otfried; Tóth, Géza (2009). "Detección de enredos". Informes de Física . 474 (1–6): 1–75. arXiv : 0811.2803 . Código Bib : 2009PhR...474....1G. doi :10.1016/j.physrep.2009.02.004. S2CID  119288569.
9. Simón, R. (2000). "Criterio de separabilidad de Peres-Horodecki para sistemas variables continuos". Cartas de revisión física . 84 (12): 2726–2729. arXiv : quant-ph/9909044 . Código Bib : 2000PhRvL..84.2726S. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2726. PMID  11017310. S2CID  11664720.
10. Duan, Lu-Ming; Giedke, G.; Cirac, JI; Zoller, P. (2000). "Criterio de inseparabilidad para sistemas variables continuos". Cartas de revisión física . 84 (12): 2722–2725. arXiv : quant-ph/9908056 . Código bibliográfico : 2000PhRvL..84.2722D. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2722. PMID  11017309. S2CID  9948874.
11. Werner, RF; Lobo, MM (2001). "Estados gaussianos entrelazados vinculados". Cartas de revisión física . 86 (16): 3658–3661. arXiv : quant-ph/0009118 . Código bibliográfico : 2001PhRvL..86.3658W. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.3658. PMID  11328047. S2CID  20897950.
12. Shchukin, E.; Vogel, W. (2005). "Criterios de inseparabilidad para estados cuánticos bipartitos continuos". Cartas de revisión física . 95 (23): 230502. arXiv : quant-ph/0508132 . Código Bib : 2005PhRvL..95w0502S. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.230502. PMID  16384285. S2CID  28595936.
13. Hillery, Mark; Zubairy, M. Suhail (2006). "Condiciones de entrelazamiento para estados de dos modos". Cartas de revisión física . 96 (5): 050503. arXiv : quant-ph/0507168 . Código bibliográfico : 2006PhRvL..96e0503H. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.050503. PMID  16486912. S2CID  43756465.
14. Walborn, S.; Taketani, B.; Salles, A.; Toscano, F.; de Matos Filho, R. (2009). "Criterios de entrelazamiento entrópico para variables continuas". Cartas de revisión física . 103 (16): 160505. arXiv : 0909.0147 . Código bibliográfico : 2009PhRvL.103p0505W. doi : 10.1103/PhysRevLett.103.160505. PMID  19905682. S2CID  10523704.
15. Yichen Huang (octubre de 2013). "Detección de entrelazamientos: complejidad y criterios entrópicos de Shannon". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 59 (10): 6774–6778. doi :10.1109/TIT.2013.2257936. S2CID  7149863.
16. "Aspectos geométricos del entrelazamiento", Physical Review A 74, 012313 (2006)

enlaces externos

• Aplicación web "StateSeparator"