Criterio de rango

En mecánica cuántica , en particular en información cuántica , el criterio de rango es una condición necesaria que debe satisfacer un estado para ser separable . En otras palabras, es un criterio de separabilidad .

El resultado

Consideremos un sistema mecánico cuántico compuesto por n subsistemas. El espacio de estados H de dicho sistema es el producto tensorial de los de los subsistemas, es decir . ${\displaystyle H=H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{n}}$

Para simplificar, asumiremos que todos los espacios de estados relevantes son de dimensión finita.

El criterio se lee de la siguiente manera: si ρ es un estado mixto separable que actúa sobre H , entonces el rango de ρ está abarcado por un conjunto de vectores de producto.

Prueba

En general, si una matriz M tiene la forma , el rango de M , Ran(M) , está contenido en el espacio lineal de . Por otra parte, también podemos demostrar que se encuentra en Ran(M) , para todo i . Supongamos sin pérdida de generalidad i = 1 . Podemos escribir , donde T es hermítica y semidefinida positiva. Hay dos posibilidades: ${\displaystyle M=\sum _{i}v_{i}v_{i}^{*}}$ ${\displaystyle \;\{v_{i}\}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle M=v_{1}v_{1}^{*}+T}$

1) abarca Ker(T) . Claramente, en este caso, Ran(M) . ${\displaystyle \{v_{1}\}\subset }$ ${\displaystyle v_{1}\in }$

2) Observe que 1) es verdadero si y solo si Ker(T) abarca , donde denota complemento ortogonal. Por hermiticidad de T , esto es lo mismo que Ran(T) abarca . Entonces, si 1) no se cumple, la intersección Ran(T) abarca no está vacía, es decir, existe algún número complejo α tal que . Entonces ${\displaystyle \;^{\perp }\subset }$ ${\displaystyle \{v_{1}\}^{\perp }}$ ${\displaystyle \perp }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle \{v_{1}\}^{\perp }}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \{v_{1}\}}$ ${\displaystyle \;Tw=\alpha v_{1}}$

${\displaystyle Mw=\langle w,v_{1}\rangle v_{1}+Tw=(\langle w,v_{1}\rangle +\alpha )v_{1}.}$

Por lo tanto se encuentra en Ran(M) . ${\displaystyle v_{1}}$

Por lo tanto, Ran(M) coincide con el intervalo lineal de . El criterio de rango es un caso especial de este hecho. ${\displaystyle \;\{v_{i}\}}$

Una matriz de densidad ρ que actúa sobre H es separable si y solo si puede escribirse como

${\displaystyle \rho =\sum _{i}\psi _{1,i}\psi _{1,i}^{*}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}\psi _{n,i}^{*}}$

donde es un estado puro (no normalizado) en el j -ésimo subsistema. Esto también es ${\displaystyle \psi _{j,i}\psi _{j,i}^{*}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}(\psi _{1,i}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i})(\psi _{1,i}^{*}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}^{*}).}$

Pero esta es exactamente la misma forma que M de arriba, con el estado del producto vectorial reemplazando a . Entonces se sigue inmediatamente que el rango de ρ es el rango lineal de estos estados del producto. Esto prueba el criterio. ${\displaystyle \psi _{1,i}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$

Referencias

• P. Horodecki, "Criterio de separabilidad y estados mixtos inseparables con transposición parcial positiva", Physics Letters A 232 , (1997).