Mayorización

Reserva en vectores de números reales.

En matemáticas , la mayorización es un preorden de vectores de números reales . Para dos de estos vectores, decimos que mayoriza débilmente (o domina) desde abajo , comúnmente denotado cuando ${\displaystyle \mathbf {x} ,\ \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \succ _{w}\mathbf {y} ,}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}^{\downarrow }\geq \sum _{i=1}^{k}y_{i}^{\downarrow }}$para todos , ${\displaystyle k=1,\,\dots ,\,n}$

donde x _i ^↓ denota la i- ^ésima entrada más grande de x . Si satisface además , decimos que mayoriza (o domina) , lo que comúnmente se denota . La mayorización es un orden parcial para vectores cuyas entradas no son decrecientes, pero sólo un preorden para vectores generales, ya que la mayorización es independiente del orden de las entradas en los vectores, por ejemplo, la declaración es simplemente equivalente a . ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$ ${\displaystyle (1,2)\prec (0,3)}$ ${\displaystyle (2,1)\prec (3,0)}$

Mayorizar también a veces se refiere al orden de entrada, por ejemplo, la función de valor real f mayoriza la función de valor real g cuando está para todos en el dominio, u otras definiciones técnicas, como medidas de mayorización en teoría de probabilidad . ^[1] ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle x}$

Condiciones equivalentes

Definición geométrica

Figura 1. Ejemplo de mayorización 2D

Porque tenemos si y sólo si está en el casco convexo de todos los vectores obtenidos al permutar las coordenadas de . Esto equivale a decir lo mismo para alguna matriz doblemente estocástica . ^{[2] : Thm. 2.1} En particular, puede escribirse como una combinación convexa de permutaciones de . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {x} ,\ \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {D} \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

La Figura 1 muestra el casco convexo en 2D para el vector . Observe que el centro del casco convexo, que en este caso es un intervalo, es el vector . Este es el vector "más pequeño" que satisface este vector dado . La Figura 2 muestra el casco convexo en 3D. El centro del casco convexo, que en este caso es un polígono 2D, es el vector "más pequeño" que satisface este vector dado . ${\displaystyle \mathbf {y} =(3,\,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(2,\,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$

Figura 2. Ejemplo de mayorización 3D

Otras definiciones

Cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera si y sólo si . ${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$

• Podemos producir mediante una secuencia finita de "operaciones de Robin Hood" donde reemplazamos dos elementos y con y , respectivamente, por algunos . ^{[2] : 11} ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}<x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}-\varepsilon }$ ${\displaystyle x_{j}+\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \in (0,x_{i}-x_{j})}$
• Para cada función convexa , . ^{[2] : Thm. 2.9} ${\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}h(x_{i})\geq \sum _{i=1}^{d}h(y_{i})}$
  • De hecho, basta un caso especial: y, para cada t , . ^[4] ${\displaystyle \sum _{i}{x_{i}}=\sum _{i}{y_{i}}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}\max(0,x_{i}-t)\geq \sum _{i=1}^{d}\max(0,y_{i}-t)}$
• Para cada , . ^{[5] : Ejercicio 12.17} ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{d}|x_{j}-t|\geq \sum _{j=1}^{d}|y_{j}-t|}$

Ejemplos

Entre los vectores no negativos con tres componentes, y sus permutaciones, mayorizan todos los demás vectores tales que . Por ejemplo, . De manera similar, está mayorizado por todos los demás vectores similares, por lo que . ${\displaystyle (1,0,0)}$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3})}$ ${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}=1}$ ${\displaystyle (1,0,0)\succ (1/2,0,1/2)}$ ${\displaystyle (1/3,1/3,1/3)}$ ${\displaystyle (1/2,0,1/2)\succ (1/3,1/3,1/3)}$

Este comportamiento se extiende a los vectores de probabilidad de longitud general : el vector singleton mayoriza todos los demás vectores de probabilidad, y la distribución uniforme es mayorizada por todos los vectores de probabilidad.

convexidad de Schur

Se dice que una función es convexa de Schur cuando implica . Por lo tanto, las funciones Schur-convexas traducen el orden de los vectores a un orden estándar en . De manera similar, Schur es cóncavo cuando implica ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )\geq f(\mathbf {y} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )\leq f(\mathbf {y} ).}$

Un ejemplo de función Schur-convexa es la función máxima, . Las funciones convexas de Schur son necesariamente simétricas y las entradas de su argumento se pueden cambiar sin modificar el valor de la función. Por tanto, las funciones lineales, que son convexas, no son convexas de Schur a menos que sean simétricas. Si una función es simétrica y convexa, entonces es Schur-convexa. ${\displaystyle \max(\mathbf {x} )=x_{1}^{\downarrow }}$

Generalizaciones

La mayorización se puede generalizar al orden de Lorenz , un orden parcial de funciones de distribución . Por ejemplo, una distribución de riqueza es Lorenz mayor que otra si su curva de Lorenz está por debajo de la otra. Como tal, una distribución de riqueza mayor de Lorenz tiene un coeficiente de Gini más alto y una mayor disparidad de ingresos . ^[6]

El preorden de mayorización puede extenderse naturalmente a matrices de densidad en el contexto de la información cuántica . ^{[5] [7]} En particular, exactamente cuándo (donde indica el espectro del estado ). ${\displaystyle \rho \succ \rho '}$ ${\displaystyle \mathrm {spec} [\rho ]\succ \mathrm {spec} [\rho ']}$ ${\displaystyle \mathrm {spec} }$

De manera similar, se puede decir que un operador hermitiano , mayoriza a otro, si el conjunto de valores propios de mayoriza el de . ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

Ver también

• La desigualdad de Muirhead
• La desigualdad de Karamata
• Función Schur-convexa
• Teorema de Schur-Horn que relaciona las entradas diagonales de una matriz con sus valores propios.
• Para números enteros positivos , la mayorización débil se denomina orden de dominancia .
• orden leximina

Notas

1. Talagrand, Michel (1 de julio de 1996). "Medidas mayorizadoras: el encadenamiento genérico". Los anales de la probabilidad . 24 (3). doi : 10.1214/aop/1065725175 . ISSN  0091-1798.
2. Barry C. Arnold. "La mayorización y la orden de Lorenz: una breve introducción". Notas de conferencias de estadística de Springer-Verlag, vol. 43, 1987.
3. Xingzhi, Zhan (2003). "El agudo teorema de Rado para las mayorizaciones". El Mensual Matemático Estadounidense . 110 (2): 152-153. doi :10.2307/3647776. JSTOR  3647776.
4. Publicación del 3 de julio de 2005 de Fleeting_guest en el hilo "La desigualdad de Karamata", foros de la comunidad de AoPS . Archivado el 11 de noviembre de 2020.
5. Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2010). Computación cuántica e información cuántica (2ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-00217-3. OCLC  844974180.
6. Marshall, Albert W. (2011). "14, 15". Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones. Ingram Olkin, Barry C. Arnold (2ª ed.). Nueva York: Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0-387-68276-1. OCLC  694574026.
7. Wehrl, Alfred (1 de abril de 1978). "Propiedades generales de la entropía". Reseñas de Física Moderna . 50 (2): 221–260. Código Bib : 1978RvMP...50..221W. doi :10.1103/RevModPhys.50.221.

Referencias

• J. Karamata. "Sur une inegalite relativo aux fonctions convexes". Publ. Matemáticas. Univ. Belgrado  1, 145-158, 1932.
• GH Hardy, JE Littlewood y G. Pólya, Inequalities , 2.ª edición, 1952, Cambridge University Press, Londres.
• Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones Albert W. Marshall, Ingram Olkin , Barry Arnold, segunda edición. Serie Springer en Estadística. Springer, Nueva York, 2011. ISBN 978-0-387-40087-7 
• Un homenaje al libro de Marshall y Olkin "Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones"
• Análisis matricial (1996) Rajendra Bhatia, Springer, ISBN 978-0-387-94846-1 
• Temas de análisis matricial (1994) Roger A. Horn y Charles R. Johnson, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1 
• Mayorización y funciones matriciales monótonas en comunicaciones inalámbricas (2007) Eduard Jorswieck y Holger Boche, Now Publishers, ISBN 978-1-60198-040-3 
• La clase magistral de Cauchy Schwarz (2004) J. Michael Steele, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54677-5 

enlaces externos

• Mayorización en MathWorld
• Mayorización en PlanetMath

Software

• Código OCTAVE / MATLAB para verificar la mayorización