Función Schur-convexa

En matemáticas, una función Schur-convexa , también conocida como S-convexa , función isotónica y función que preserva el orden, es una función que para todas aquellas que están mayorizadas por , se tiene que . Las funciones Schur-convexas, que reciben su nombre de Issai Schur , se utilizan en el estudio de la mayorización . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)\leq f(y)}$

Una función f es 'Schur-cóncava' si su negativo, − f , es Schur-convexo.

Propiedades

Toda función que sea convexa y simétrica (bajo permutaciones de los argumentos) es también Schur-convexa.

Toda función Schur-convexa es simétrica, pero no necesariamente convexa. ^[1]

Si es (estrictamente) Schur-convexo y es (estrictamente) monótonamente creciente, entonces es (estrictamente) Schur-convexo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\circ f}$

Si es una función convexa definida en un intervalo real, entonces es Schur-convexa. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g(x_{i})}$

Criterio de Schur-Ostrowski

Si f es simétrica y existen todas las primeras derivadas parciales, entonces f es Schur-convexa si y sólo si

${\displaystyle (x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0}$a pesar de ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

se cumple para todos . ^[2] ${\displaystyle 1\leq i,j\leq d}$

Ejemplos

• ${\displaystyle f(x)=\min(x)}$es Schur-cóncava mientras que es Schur-convexa. Esto se puede ver directamente en la definición. ${\displaystyle f(x)=\max(x)}$
• La función de entropía de Shannon es cóncava de Schur. ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}}$
• La función de entropía de Rényi también es cóncava de Schur.
• ${\displaystyle x\mapsto \sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1}$es Schur-convexo si , y Schur-cóncavo si . ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k\in (0,1)}$
• La función es Schur-cóncava, cuando suponemos que todas . De la misma manera, todas las funciones simétricas elementales son Schur-cóncavas, cuando . ${\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}>0}$ ${\displaystyle x_{i}>0}$
• Una interpretación natural de la mayorización es que si entonces está menos dispersa que . Por lo tanto, es natural preguntarse si las medidas estadísticas de variabilidad son funciones Schur-convexas. La varianza y la desviación estándar son funciones Schur-convexas, mientras que la desviación absoluta mediana no lo es. ${\displaystyle x\succ y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• Un ejemplo de probabilidad: si son variables aleatorias intercambiables , entonces la función es Schur-convexa en función de , asumiendo que existen las expectativas. ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle {\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}}$ ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$
• El coeficiente de Gini es estrictamente convexo de Schur.

Referencias

1. Roberts, A. Wayne; Varberg, Dale E. (1973). Funciones convexas . Nueva York: Academic Press. p. 258. ISBN. 9780080873725.
2. E. Peajcariaac, Josip; L. Tong, Y. (3 de junio de 1992). Funciones convexas, ordenamientos parciales y aplicaciones estadísticas . Academic Press. pág. 333. ISBN 9780080925226.

Véase también

• Función cuasiconvexa