Mayorización

Preordenar en vectores de números reales

En matemáticas , la mayorización es un preordenamiento de vectores de números reales . Para dos de estos vectores, decimos que mayoriza débilmente (o domina) desde abajo , comúnmente denotado como ${\displaystyle \mathbf {x} ,\ \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \succ _{w}\mathbf {y} ,}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}^{\downarrow }\geq \sum _{i=1}^{k}y_{i}^{\downarrow }}$Para todos , ${\displaystyle k=1,\,\dots ,\,n}$

donde denota ^la entrada más grande de . Si además satisface , decimos que mayoriza (o domina) , comúnmente denotado . La mayorización es un orden parcial para vectores cuyas entradas no son decrecientes, pero solo un preorden para vectores generales, ya que la mayorización es agnóstica al orden de las entradas en los vectores, por ejemplo, la declaración es simplemente equivalente a . ${\displaystyle x_{i}^{\downarrow }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$ ${\displaystyle (1,2)\prec (0,3)}$ ${\displaystyle (2,1)\prec (3,0)}$

La mayorización también se refiere a veces a la ordenación por entrada, por ejemplo, la función de valor real f mayoriza la función de valor real g cuando para todos en el dominio, u otras definiciones técnicas, como las medidas de mayorización en la teoría de la probabilidad . ^[1] ${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$ ${\displaystyle x}$

Condiciones equivalentes

Definición geométrica

Figura 1. Ejemplo de mayorización 2D

Porque tenemos si y sólo si está en la envoltura convexa de todos los vectores obtenidos al permutar las coordenadas de . Esto es equivalente a decir que para alguna matriz doblemente estocástica . ^{[2] : Teoría 2.1} En particular, se puede escribir como una combinación convexa de permutaciones de . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {x} ,\ \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {D} \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$

La figura 1 muestra la envoltura convexa en 2D para el vector . Observe que el centro de la envoltura convexa, que es un intervalo en este caso, es el vector . Este es el vector "más pequeño" que satisface para este vector dado . La figura 2 muestra la envoltura convexa en 3D. El centro de la envoltura convexa, que es un polígono 2D en este caso, es el vector "más pequeño" que satisface para este vector dado . ${\displaystyle \mathbf {y} =(3,\,1)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(2,\,2)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \prec \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$

Figura 2. Ejemplo de mayorización 3D

Otras definiciones

Cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera si y sólo si . ${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$

• A partir de esto podemos producir mediante una secuencia finita de "operaciones de Robin Hood" donde reemplazamos dos elementos y por y , respectivamente, para algún . ^{[2] : 11} ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}<x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}-\varepsilon }$ ${\displaystyle x_{j}+\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon \in (0,x_{i}-x_{j})}$
• Para cada función convexa , . ^{[2] : Teoría 2.9} ${\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}h(x_{i})\geq \sum _{i=1}^{d}h(y_{i})}$
  • De hecho, basta un caso especial: y, para cada t , . ^[4] ${\displaystyle \sum _{i}{x_{i}}=\sum _{i}{y_{i}}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{d}\max(0,x_{i}-t)\geq \sum _{i=1}^{d}\max(0,y_{i}-t)}$
• Para cada , . ^{[5] : Ejercicio 12.17} ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sum _{j=1}^{d}|x_{j}-t|\geq \sum _{j=1}^{d}|y_{j}-t|}$

Ejemplos

Entre los vectores no negativos con tres componentes, y sus permutaciones, se mayorizan todos los demás vectores tales que . Por ejemplo, . De manera similar, se mayoriza por todos los demás vectores de ese tipo, por lo que . ${\displaystyle (1,0,0)}$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3})}$ ${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}=1}$ ${\displaystyle (1,0,0)\succ (1/2,0,1/2)}$ ${\displaystyle (1/3,1/3,1/3)}$ ${\displaystyle (1/2,0,1/2)\succ (1/3,1/3,1/3)}$

Este comportamiento se extiende a los vectores de probabilidad de longitud general : el vector singleton mayoriza todos los demás vectores de probabilidad, y la distribución uniforme es mayorizada por todos los vectores de probabilidad.

Convexidad de Schur

Se dice que una función es convexa en Schur cuando implica . Por lo tanto, las funciones convexas de Schur traducen el ordenamiento de los vectores a un ordenamiento estándar en . De manera similar, ¿es cóncava en Schur cuando implica ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )\geq f(\mathbf {y} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \succ \mathbf {y} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )\leq f(\mathbf {y} ).}$

Un ejemplo de una función Schur-convexa es la función max, . Las funciones Schur-convexas son necesariamente simétricas, es decir, las entradas de su argumento pueden cambiarse sin modificar el valor de la función. Por lo tanto, las funciones lineales, que son convexas, no son Schur-convexas a menos que sean simétricas. Si una función es simétrica y convexa, entonces es Schur-convexa. ${\displaystyle \max(\mathbf {x} )=x_{1}^{\downarrow }}$

Generalizaciones

La mayorización se puede generalizar al ordenamiento de Lorenz , un orden parcial de las funciones de distribución . Por ejemplo, una distribución de riqueza es mayor que otra si su curva de Lorenz se encuentra por debajo de la otra. Por lo tanto, una distribución de riqueza mayor que la de Lorenz tiene un coeficiente de Gini más alto y tiene más disparidad de ingresos . ^[6]

El preorden de mayoración se puede extender naturalmente a las matrices de densidad en el contexto de la información cuántica . ^{[5] [7]} En particular, exactamente cuándo (donde denota el espectro del estado ). ${\displaystyle \rho \succ \rho '}$ ${\displaystyle \mathrm {spec} [\rho ]\succ \mathrm {spec} [\rho ']}$ ${\displaystyle \mathrm {spec} }$

De manera similar, se puede decir que un operador hermítico , , mayoriza a otro, , si el conjunto de valores propios de mayoriza al de . ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

Véase también

• Desigualdad de Muirhead
• La desigualdad de Karamata
• Función Schur-convexa
• Teorema de Schur-Horn que relaciona las entradas diagonales de una matriz con sus valores propios.
• Para números enteros positivos , la mayorización débil se denomina orden de dominancia .
• Orden de Leximin

Notas

1. Talagrand, Michel (1996-07-01). "Mayorización de medidas: el encadenamiento genérico". Anales de probabilidad . 24 (3). doi : 10.1214/aop/1065725175 . ISSN  0091-1798.
2. Barry C. Arnold. "Mayorización y orden de Lorenz: una breve introducción". Springer-Verlag Lecture Notes in Statistics, vol. 43, 1987.
3. Xingzhi, Zhan (2003). "El teorema agudo de Rado para las mayorizaciones". The American Mathematical Monthly . 110 (2): 152–153. doi :10.2307/3647776. JSTOR  3647776.
4. Publicación del 3 de julio de 2005 de fleeing_guest en el hilo "La desigualdad de Karamata", foros de la comunidad de AoPS . Archivado el 11 de noviembre de 2020.
5. Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2010). Computación cuántica e información cuántica (2.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00217-3.OCLC 844974180  .
6. Marshall, Albert W. (2011). "14, 15". Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones. Ingram Olkin, Barry C. Arnold (2.ª ed.). Nueva York: Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0-387-68276-1.OCLC 694574026  .
7. Wehrl, Alfred (1 de abril de 1978). "Propiedades generales de la entropía". Reseñas de Física Moderna . 50 (2): 221–260. Bibcode :1978RvMP...50..221W. doi :10.1103/RevModPhys.50.221.

Referencias

• J. Karamata. "Sur une inegalite relativo aux fonctions convexes". Publ. Matemáticas. Univ. Belgrado  1, 145-158, 1932.
• GH Hardy, JE Littlewood y G. Pólya, Desigualdades , 2.ª edición, 1952, Cambridge University Press, Londres.
• Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones Albert W. Marshall, Ingram Olkin , Barry Arnold, segunda edición. Springer Series in Statistics. Springer, Nueva York, 2011. ISBN 978-0-387-40087-7 
• Un homenaje al libro de Marshall y Olkin "Desigualdades: teoría de la mayorización y sus aplicaciones"
• Análisis de matrices (1996) Rajendra Bhatia, Springer, ISBN 978-0-387-94846-1 
• Temas de análisis matricial (1994) Roger A. Horn y Charles R. Johnson, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1 
• Funciones de mayorización y matriz monótona en comunicaciones inalámbricas (2007) Eduard Jorswieck y Holger Boche, Now Publishers, ISBN 978-1-60198-040-3 
• La clase magistral de Cauchy Schwarz (2004) J. Michael Steele, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54677-5 

Enlaces externos

• Especialización en MathWorld
• Especialización en PlanetMath

Software

• Código OCTAVE / MATLAB para comprobar la mayorización