Mediana (geometría)

Segmento de línea que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto

Las medianas y el centroide del triángulo .

En geometría , la mediana de un triángulo es un segmento de línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, dividiendo así dicho lado. Todo triángulo tiene exactamente tres medianas, una en cada vértice, y todas se intersecan en el baricentro del triángulo . En el caso de los triángulos isósceles y equiláteros , una mediana divide en dos cualquier ángulo en un vértice cuyos dos lados adyacentes tengan la misma longitud. El concepto de mediana se extiende a los tetraedros .

Relación con el centro de masa

Cada mediana de un triángulo pasa por el baricentro del triángulo , que es el centro de masa de un objeto infinitamente delgado de densidad uniforme que coincide con el triángulo. ^[1] Por lo tanto, el objeto se equilibraría en el punto de intersección de las medianas. El baricentro está dos veces más cerca a lo largo de cualquier mediana del lado que la mediana interseca que del vértice del que emana.

División de áreas iguales

Cada mediana divide el área del triángulo por la mitad, de ahí el nombre, y por lo tanto un objeto triangular de densidad uniforme se equilibraría en cualquier mediana. (Cualquier otra línea que divida el área del triángulo en dos partes iguales no pasa por el centroide). ^{[2] [3]} Las tres medianas dividen el triángulo en seis triángulos más pequeños de igual área .

Prueba de propiedad de áreas iguales

Consideremos un triángulo ABC . Sea D el punto medio de , E el punto medio de , F el punto medio de , y O el centroide (comúnmente denominado G ). ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$

Por definición, . Por lo tanto y , donde representa el área del triángulo  ; esto es válido porque en cada caso los dos triángulos tienen bases de igual longitud y comparten una altura común desde la base (extendida), y el área de un triángulo es igual a la mitad de su base por su altura. ${\displaystyle AD=DB,AF=FC,BE=EC}$ ${\displaystyle [ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],}$ ${\displaystyle [ABE]=[ACE]}$ ${\displaystyle [ABC]}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$

Tenemos:

${\displaystyle [ABO]=[ABE]-[BEO]}$

${\displaystyle [ACO]=[ACE]-[CEO]}$

Por lo tanto, y ${\displaystyle [ABO]=[ACO]}$ ${\displaystyle [ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]}$

Dado que , por lo tanto, . Utilizando el mismo método, se puede demostrar que . ${\displaystyle [AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]}$ ${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]}$ ${\displaystyle [AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]}$

Tres triángulos congruentes

En 2014 Lee Sallows descubrió el siguiente teorema: ^[4]

Las medianas de cualquier triángulo lo dividen en seis triángulos más pequeños de igual área, como en la figura de arriba, donde tres pares adyacentes de triángulos se encuentran en los puntos medios D, E y F. Si los dos triángulos de cada par se giran sobre su punto medio común hasta que se encuentran de modo de compartir un lado común, entonces los tres nuevos triángulos formados por la unión de cada par son congruentes.

Fórmulas que involucran las longitudes de las medianas

Las longitudes de las medianas se pueden obtener del teorema de Apolonio como: $${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}}$$ $${\displaystyle m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}}}$$ $${\displaystyle m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}}$$donde y son los lados del triángulo con sus respectivas medianas y desde sus puntos medios. ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},}$ ${\displaystyle m_{c}}$

Estas fórmulas implican las relaciones:^[5] $${\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}}}$$ $${\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}}}$$ $${\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.}$$

Otras propiedades

Sea ABC un triángulo, sea G su centroide y sean D , E y F los puntos medios de BC , CA y AB , respectivamente. Para cualquier punto P en el plano de ABC entonces ^[6] $${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

El centroide divide cada mediana en partes en una proporción de 2:1, estando el centroide dos veces más cerca del punto medio de un lado que del vértice opuesto.

Para cualquier triángulo con lados y medianas ^[7] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c},}$ $${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c\quad {\text{ and }}\quad {\tfrac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}$$

Las medianas de los lados de las longitudes y son perpendiculares si y sólo si ^[8] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}.}$

Las medianas de un triángulo rectángulo con hipotenusa satisfacen ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.}$

El área T de cualquier triángulo se puede expresar en términos de sus medianas y de la siguiente manera. Si su semisuma se denota por entonces ^[9] ${\displaystyle m_{a},m_{b}}$ ${\displaystyle m_{c}}$ ${\displaystyle \left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2}$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \left(\sigma -m_{a}\right)\left(\sigma -m_{b}\right)\left(\sigma -m_{c}\right)}}.}$$

Tetraedro

medianas de un tetraedro

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}\\=&{\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}\end{aligned}}}$

Un tetraedro es un objeto tridimensional que tiene cuatro caras triangulares . Un segmento de línea que une un vértice de un tetraedro con el centroide de la cara opuesta se llama mediana del tetraedro. Hay cuatro medianas, y todas son concurrentes en el centroide del tetraedro. ^[10] Como en el caso bidimensional, el centroide del tetraedro es el centro de masa . Sin embargo, a diferencia del caso bidimensional, el centroide divide las medianas no en una proporción de 2:1 sino en una proporción de 3:1 ( teorema de Commandino ).

Véase también

• Bisectriz de un ángulo
• Altitud (triángulo)
• Triángulo automediano

Referencias

1. Weisstein, Eric W. (2010). Enciclopedia concisa de matemáticas de la CRC, segunda edición . CRC Press. págs. 375–377. ISBN 9781420035223.
2. Bottomley, Henry. «Medianas y bisectrices de área de un triángulo». Archivado desde el original el 10 de mayo de 2019. Consultado el 27 de septiembre de 2013 .
3. Dunn, JA y Pretty, JE, "Reducir a la mitad un triángulo", Mathematical Gazette 56, mayo de 1972, 105-108. DOI 10.2307/3615256 Archivado el 5 de abril de 2023 en Wayback Machine .
4. Sallows, Lee (2014). "Un teorema del triángulo". Revista de Matemáticas . 87 (5): 381. doi :10.4169/math.mag.87.5.381. ISSN  0025-570X.
5. Déplanche, Y. (1996). Diccio fórmulas. Medianas de un triangulo. Edunsa. pag. 22.ISBN​ 978-84-7747-119-6. Consultado el 24 de abril de 2011 .
6. Problema 12015, American Mathematical Monthly, vol. 125, enero de 2018, DOI: 10.1080/00029890.2018.1397465
7. Posamentier, Alfred S., y Salkind, Charles T., Problemas desafiantes en geometría , Dover, 1996: págs. 86–87.
8. Boskoff, Homentcovschi y Suceava (2009), Gaceta Matemática , Nota 93.15.
9. Benyi, Arpad, "Una fórmula tipo Heron para el triángulo", Mathematical Gazette 87, julio de 2003, 324–326.
10. Leung, Kam-tim; y Suen, Suk-nam; "Vectores, matrices y geometría", Hong Kong University Press, 1994, págs. 53-54

Enlaces externos

• Los medianos en el corte del nudo
• Área del triángulo medio en el punto de corte del nudo
• Medianas de un triangulo Con animación interactiva
• Demostración animada de cómo construir la mediana de un triángulo con regla y compás
• Weisstein, Eric W. "Mediana del triángulo". MathWorld .