Elasticidad lineal

Modelo matemático de cómo se deforman los objetos sólidos

La elasticidad lineal es un modelo matemático que muestra cómo los objetos sólidos se deforman y se someten a tensiones internas en determinadas condiciones de carga. Es una simplificación de la teoría no lineal más general de la elasticidad y una rama de la mecánica de medios continuos .

Los supuestos fundamentales de "linealización" de la elasticidad lineal son: deformaciones infinitesimales o deformaciones (o tensiones) "pequeñas" y relaciones lineales entre los componentes de tensión y deformación. Además, la elasticidad lineal es válida únicamente para estados de tensión que no produzcan fluencia .

Estas suposiciones son razonables para muchos materiales de ingeniería y escenarios de diseño de ingeniería. Por lo tanto, la elasticidad lineal se utiliza ampliamente en el análisis estructural y el diseño de ingeniería, a menudo con la ayuda del análisis de elementos finitos .

Formulación matemática

Las ecuaciones que rigen un problema de valor límite elástico lineal se basan en tres ecuaciones diferenciales parciales tensoriales para el equilibrio del momento lineal y seis relaciones infinitesimales de deformación - desplazamiento . El sistema de ecuaciones diferenciales se completa con un conjunto de relaciones constitutivas algebraicas lineales .

Forma tensorial directa

En forma tensorial directa , que es independiente de la elección del sistema de coordenadas, estas ecuaciones rectoras son: ^[1]

• Ecuación de momento de Cauchy , que es una expresión de la segunda ley de Newton . En forma convectiva se escribe como: $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}}$$
• Ecuaciones de deformación-desplazamiento : $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$$
• Ecuaciones constitutivas . Para materiales elásticos, la ley de Hooke representa el comportamiento del material y relaciona las tensiones y deformaciones desconocidas. La ecuación general de la ley de Hooke es $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},}$$

donde es el tensor de tensión de Cauchy , es el tensor de deformación infinitesimal , es el vector de desplazamiento , es el tensor de rigidez de cuarto orden , es la fuerza del cuerpo por unidad de volumen, es la densidad de masa, representa el operador nabla , representa una transpuesta , representa la segunda derivada material con respecto al tiempo, y es el producto interno de dos tensores de segundo orden (se implica la suma sobre índices repetidos). ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle (\bullet )^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle {\ddot {(\bullet )}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}}$

Forma de coordenadas cartesianas

Expresadas en términos de componentes con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares , las ecuaciones que rigen la elasticidad lineal son: ^[1]

• Ecuación de movimiento : donde el subíndice es una abreviatura de e indica , es el tensor de tensión de Cauchy, es la densidad de fuerza del cuerpo, es la densidad de masa y es el desplazamiento. $${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}}$$ ${\displaystyle {(\bullet )}_{,j}}$ ${\displaystyle \partial {(\bullet )}/\partial x_{j}}$ ${\displaystyle \partial _{tt}}$ ${\displaystyle \partial ^{2}/\partial t^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u_{i}}$
  Se trata de 3 ecuaciones independientes con 6 incógnitas independientes (tensiones).
  En notación de ingeniería, son: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$
• Ecuaciones de deformación-desplazamiento : donde es la deformación. Se trata de 6 ecuaciones independientes que relacionan deformaciones y desplazamientos con 9 incógnitas independientes (deformaciones y desplazamientos). $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})}$$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!}$
  En notación de ingeniería, son: $${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\\\gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\\\gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}}$$
• Ecuaciones constitutivas . La ecuación de la ley de Hooke es: donde es el tensor de rigidez. Se trata de 6 ecuaciones independientes que relacionan tensiones y deformaciones. El requisito de la simetría de los tensores de tensión y deformación conduce a la igualdad de muchas de las constantes elásticas, reduciendo el número de elementos diferentes a 21 ^[2] . $${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}}$$ ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}}$

Un problema de valor límite elastostático para un medio isotrópico-homogéneo es un sistema de 15 ecuaciones independientes e igual número de incógnitas (3 ecuaciones de equilibrio, 6 ecuaciones de deformación-desplazamiento y 6 ecuaciones constitutivas). Al especificar las condiciones de contorno, el problema de valor límite queda completamente definido. Para resolver el sistema se pueden adoptar dos enfoques según las condiciones de contorno del problema de valor límite: una formulación de desplazamiento y una formulación de tensión .

Forma de coordenadas cilíndricas

En coordenadas cilíndricas ( ) las ecuaciones de movimiento son ^[1] Las relaciones de deformación-desplazamiento son y las relaciones constitutivas son las mismas que en coordenadas cartesianas, excepto que los índices , , ahora representan , , , respectivamente. ${\displaystyle r,\theta ,z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\frac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$

Forma de coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas ( ) las ecuaciones de movimiento son ^[1] ${\displaystyle r,\theta ,\phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$

Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) como las que se usan comúnmente en física : distancia radial r , ángulo polar θ ( theta ) y ángulo azimutal φ ( phi ). El símbolo ρ ( rho ) se usa a menudo en lugar de r .

El tensor de deformación en coordenadas esféricas es $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

Medios (an)isotrópicos (in)homogéneos

En medios isótropos , el tensor de rigidez da la relación entre las tensiones (tensiones internas resultantes) y las deformaciones (deformaciones resultantes). Para un medio isótropo, el tensor de rigidez no tiene una dirección preferida: una fuerza aplicada dará los mismos desplazamientos (en relación con la dirección de la fuerza) sin importar la dirección en la que se aplique la fuerza. En el caso isótropo, el tensor de rigidez puede escribirse: ^{[ cita requerida ]} donde es el delta de Kronecker , K es el módulo volumétrico (o incompresibilidad), y es el módulo de corte (o rigidez), dos módulos elásticos . Si el medio no es homogéneo, el modelo isótropo es sensato si el medio es constante por partes o débilmente no homogéneo; en el modelo suave fuertemente no homogéneo, se debe tener en cuenta la anisotropía. Si el medio es homogéneo , entonces los módulos elásticos serán independientes de la posición en el medio. La ecuación constitutiva ahora puede escribirse como: $${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})}$$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}\right).}$$

Esta expresión separa la tensión en una parte escalar a la izquierda que puede estar asociada con una presión escalar, y una parte sin traza a la derecha que puede estar asociada con fuerzas de corte. Una expresión más simple es: ^{[3] [4]} donde λ es el primer parámetro de Lamé . Dado que la ecuación constitutiva es simplemente un conjunto de ecuaciones lineales, la deformación puede expresarse como una función de las tensiones como: ^[5] que es nuevamente, una parte escalar a la izquierda y una parte de corte sin traza a la derecha. Más simplemente: donde es el coeficiente de Poisson y es el módulo de Young . $${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}}$$ $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)}$$ $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E}$

Elastostáticos

La elastostática es el estudio de la elasticidad lineal en condiciones de equilibrio, en las que todas las fuerzas sobre el cuerpo elástico suman cero y los desplazamientos no son una función del tiempo. Las ecuaciones de equilibrio son entonces En notación de ingeniería (con tau como esfuerzo cortante ), $${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0.}$$

• ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0}$

En esta sección se discutirá únicamente el caso homogéneo isótropo.

Formulación de desplazamiento

En este caso, los desplazamientos se prescriben en todas partes en el límite. En este enfoque, las deformaciones y tensiones se eliminan de la formulación, dejando los desplazamientos como las incógnitas a resolver en las ecuaciones gobernantes. Primero, las ecuaciones de deformación-desplazamiento se sustituyen en las ecuaciones constitutivas (Ley de Hooke), eliminando las deformaciones como incógnitas: La diferenciación (suponiendo que y son espacialmente uniformes) produce: La sustitución en la ecuación de equilibrio produce: o (reemplazando los índices dobles (ficticios) (=suma) k,k por j,j e intercambiando los índices, ij por, ji después de, en virtud del teorema de Schwarz ) donde y son parámetros de Lamé . De esta manera, las únicas incógnitas que quedan son los desplazamientos, de ahí el nombre de esta formulación. Las ecuaciones gobernantes obtenidas de esta manera se denominan ecuaciones elastostáticas , el caso especial de las ecuaciones de Navier-Cauchy estacionarias que se dan a continuación. $${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).}$$ $${\displaystyle \lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0}$$ $${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$

Derivación de ecuaciones de Navier-Cauchy en estado estacionario en notación de ingeniería

En primer lugar, se considerará la dirección . Sustituyendo las ecuaciones de deformación-desplazamiento en la ecuación de equilibrio en la dirección , tenemos ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \sigma _{x}=2\mu \varepsilon _{x}+\lambda (\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})=2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)}$$ $${\displaystyle \tau _{xy}=\mu \gamma _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)}$$ $${\displaystyle \tau _{xz}=\mu \gamma _{zx}=\mu \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)}$$

Luego, sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación de equilibrio en la dirección -, tenemos ${\displaystyle x\,\!}$ $${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\mu {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\lambda \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)+\mu {\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)+F_{x}=0}$$

Suponiendo que y son constantes, podemos reorganizar y obtener: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{x}=0}$$

Siguiendo el mismo procedimiento para la -dirección y -dirección tenemos ${\displaystyle y\,\!}$ ${\displaystyle z\,\!}$ $${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{y}=0}$$ $${\displaystyle \left(\lambda +\mu \right){\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right)+F_{z}=0}$$

Estas últimas 3 ecuaciones son las ecuaciones estables de Navier-Cauchy, que también se pueden expresar en notación vectorial como $${\displaystyle (\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}}$$

Una vez calculado el campo de desplazamiento, los desplazamientos se pueden reemplazar en las ecuaciones de deformación-desplazamiento para resolver las deformaciones, que luego se utilizan en las ecuaciones constitutivas para resolver las tensiones.

La ecuación biarmónica

La ecuación elastostática puede escribirse: $${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.}$$

Tomando la divergencia de ambos lados de la ecuación elastostática y asumiendo que las fuerzas del cuerpo tienen divergencia cero (homogéneas en el dominio) ( ) tenemos ${\displaystyle F_{i,i}=0\,\!}$ $${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.}$$

Observando que los índices sumados no necesitan coincidir y que las derivadas parciales conmutan, se ve que los dos términos diferenciales son los mismos y tenemos: de lo cual concluimos que: $${\displaystyle \alpha ^{2}u_{j,iij}=0}$$ $${\displaystyle u_{j,iij}=0.}$$

Tomando el Laplaciano de ambos lados de la ecuación elastostática, y suponiendo además , tenemos ${\displaystyle F_{i,kk}=0\,\!}$ $${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.}$$

De la ecuación de divergencia, el primer término de la izquierda es cero (Nota: nuevamente, los índices sumados no necesitan coincidir) y tenemos: de lo cual concluimos que: o, en notación libre de coordenadas, que es simplemente la ecuación biarmónica en . $${\displaystyle \beta ^{2}u_{i,kkmm}=0}$$ $${\displaystyle u_{i,kkmm}=0}$$ ${\displaystyle \nabla ^{4}\mathbf {u} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$

Formulación de estrés

En este caso, las tracciones superficiales se prescriben en todas partes del límite de la superficie. En este enfoque, las deformaciones y los desplazamientos se eliminan dejando las tensiones como incógnitas que deben resolverse en las ecuaciones que rigen. Una vez que se encuentra el campo de tensiones, las deformaciones se encuentran utilizando las ecuaciones constitutivas.

Hay seis componentes independientes del tensor de tensión que deben determinarse, pero en la formulación del desplazamiento, solo hay tres componentes del vector de desplazamiento que deben determinarse. Esto significa que hay algunas restricciones que deben imponerse al tensor de tensión, para reducir el número de grados de libertad a tres. Usando las ecuaciones constitutivas, estas restricciones se derivan directamente de las restricciones correspondientes que deben cumplirse para el tensor de deformación, que también tiene seis componentes independientes. Las restricciones sobre el tensor de deformación se derivan directamente de la definición del tensor de deformación como una función del campo del vector de desplazamiento, lo que significa que estas restricciones no introducen nuevos conceptos o información. Son las restricciones sobre el tensor de deformación las que se entienden más fácilmente. Si el medio elástico se visualiza como un conjunto de cubos infinitesimales en el estado no deformado, entonces después de que el medio se deforma, un tensor de deformación arbitrario debe producir una situación en la que los cubos distorsionados todavía encajen entre sí sin superponerse. En otras palabras, para una deformación dada, debe existir un campo vectorial continuo (el desplazamiento) a partir del cual se pueda derivar ese tensor de deformación. Las restricciones sobre el tensor de deformación que se requieren para asegurar que este sea el caso fueron descubiertas por Saint Venant y se denominan " ecuaciones de compatibilidad de Saint Venant ". Se trata de 81 ecuaciones, 6 de las cuales son ecuaciones independientes no triviales, que relacionan los diferentes componentes de la deformación. Se expresan en notación de índice como: En notación de ingeniería, son: $${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\end{aligned}}}$$

Las deformaciones en esta ecuación se expresan entonces en términos de las tensiones utilizando las ecuaciones constitutivas, lo que produce las restricciones correspondientes en el tensor de tensiones. Estas restricciones en el tensor de tensiones se conocen como ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell : En la situación especial en la que la fuerza del cuerpo es homogénea, las ecuaciones anteriores se reducen a ^[6] $${\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.}$$ $${\displaystyle (1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.}$$

Una condición necesaria, pero insuficiente, para la compatibilidad en esta situación es o . ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij,kk\ell \ell }=0}$

Estas restricciones, junto con la ecuación de equilibrio (o ecuación de movimiento para la elastodinámica) permiten calcular el campo tensorial de tensiones. Una vez calculado el campo de tensiones a partir de estas ecuaciones, las deformaciones se pueden obtener a partir de las ecuaciones constitutivas, y el campo de desplazamiento a partir de las ecuaciones de deformación-desplazamiento.

Una técnica de solución alternativa es expresar el tensor de tensión en términos de funciones de tensión que automáticamente dan una solución a la ecuación de equilibrio. Las funciones de tensión obedecen entonces a una única ecuación diferencial que corresponde a las ecuaciones de compatibilidad.

Soluciones para casos elastostáticos

Solución de Thomson: fuerza puntual en un medio isotrópico infinito

La solución más importante de la ecuación de Navier-Cauchy o elastostática es la de una fuerza que actúa en un punto en un medio isotrópico infinito. Esta solución fue encontrada por William Thomson (más tarde Lord Kelvin) en 1848 (Thomson 1848). Esta solución es análoga a la ley de Coulomb en electrostática . Se da una derivación en Landau & Lifshitz. ^{[7] : §8} Definiendo donde es el coeficiente de Poisson, la solución puede expresarse como donde es el vector de fuerza que se aplica en el punto, y es una función de Green tensorial que puede escribirse en coordenadas cartesianas como: $${\displaystyle a=1-2\nu }$$ $${\displaystyle b=2(1-\nu )=a+1}$$ ${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle u_{i}=G_{ik}F_{k}}$$ ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle G_{ik}}$ $${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]}$$

También puede escribirse de forma compacta como: y puede escribirse explícitamente como: $${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]}$$ $${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xy}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {yx}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {yz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {zx}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {zy}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

En coordenadas cilíndricas ( ) se puede escribir como: donde r es la distancia total al punto. ${\displaystyle \rho ,\phi ,z\,\!}$ $${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}&0&{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho z}{r^{2}}}\\0&1-{\frac {1}{2b}}&0\\{\frac {1}{2b}}{\frac {z\rho }{r^{2}}}&0&1-{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

Resulta especialmente útil escribir el desplazamiento en coordenadas cilíndricas para una fuerza puntual dirigida a lo largo del eje z. Al definir y como vectores unitarios en las direcciones y respectivamente se obtiene: ${\displaystyle F_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]}$$

Se puede observar que existe un componente del desplazamiento en la dirección de la fuerza, que disminuye, como es el caso del potencial en electrostática, como 1/ r para valores grandes de r . También hay un componente adicional dirigido por ρ .

Solución de Boussinesq-Cerruti: fuerza puntual en el origen de un semiespacio isótropo infinito

Otra solución útil es la de una fuerza puntual que actúa sobre la superficie de un semiespacio infinito. Fue derivada por Boussinesq ^[8] para la fuerza normal y por Cerruti para la fuerza tangencial y se da una derivación en Landau & Lifshitz. ^{[7] : §8} En este caso, la solución se escribe nuevamente como un tensor de Green que tiende a cero en el infinito, y el componente del tensor de tensión normal a la superficie se anula. Esta solución puede escribirse en coordenadas cartesianas como [recuerde: y , = coeficiente de Poisson]: ${\displaystyle a=(1-2\nu )}$ ${\displaystyle b=2(1-\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}{\begin{bmatrix}{\frac {b}{r}}+{\frac {x^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ax^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {xy}{r^{3}}}-{\frac {axy}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}\\{\frac {yx}{r^{3}}}-{\frac {ayx}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {y^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ay^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {yz}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}\\{\frac {zx}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}&{\frac {zy}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {z^{2}}{r^{3}}}\end{bmatrix}}}$$

Otras soluciones

• Fuerza puntual dentro de un semiespacio isótropo infinito. ^[9]
• Fuerza puntual sobre una superficie de un semiespacio isótropo. ^[6]
• Contacto de dos cuerpos elásticos: la solución de Hertz (ver código Matlab). ^[10] Véase también la página sobre Mecánica de contactos .

Elastodinámica en términos de desplazamientos

La elastodinámica es el estudio de las ondas elásticas y se ocupa de la elasticidad lineal con la variación en el tiempo. Una onda elástica es un tipo de onda mecánica que se propaga en materiales elásticos o viscoelásticos . La elasticidad del material proporciona la fuerza restauradora de la onda. Cuando se producen en la Tierra como resultado de un terremoto u otra perturbación, las ondas elásticas suelen denominarse ondas sísmicas .

La ecuación del momento lineal es simplemente la ecuación de equilibrio con un término inercial adicional: $${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.}$$

Si el material se rige por la ley de Hooke anisotrópica (con el tensor de rigidez homogéneo en todo el material), se obtiene la ecuación de desplazamiento de la elastodinámica : $${\displaystyle \left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.}$$

Si el material es isótropo y homogéneo, se obtiene la ecuación de Navier-Cauchy (general o transitoria) : $${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad {\text{or}}\quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.}$$

La ecuación de onda elastodinámica también se puede expresar como donde es el operador diferencial acústico y es delta de Kronecker . $${\displaystyle \left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}$$ $${\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}$$ ${\displaystyle \delta _{kl}}$

En medios isótropos , el tensor de rigidez tiene la forma donde es el módulo volumétrico (o incompresibilidad), y es el módulo de corte (o rigidez), dos módulos elásticos . Si el material es homogéneo (es decir, el tensor de rigidez es constante en todo el material), el operador acústico se convierte en: $${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})}$$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})}$$

Para las ondas planas , el operador diferencial anterior se convierte en el operador algebraico acústico : donde son los valores propios de con vectores propios paralelos y ortogonales a la dirección de propagación , respectivamente. Las ondas asociadas se denominan ondas elásticas longitudinales y transversales . En la literatura sismológica, las ondas planas correspondientes se denominan ondas P y ondas S (véase Onda sísmica ). $${\displaystyle A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})}$$ $${\displaystyle \alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho }$$ ${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$

Elastodinámica en términos de tensiones

La eliminación de desplazamientos y deformaciones de las ecuaciones rectoras conduce a la ecuación de Ignaczak de elastodinámica ^[11]. $${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}$$

En el caso de isotropía local, esto se reduce a $${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left({\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}$$

Las principales características de esta formulación incluyen: (1) evita gradientes de flexibilidad pero introduce gradientes de densidad de masa; (2) es derivable de un principio variacional; (3) es ventajosa para manejar problemas de valores iniciales en la frontera de tracción, (4) permite una clasificación tensorial de ondas elásticas, (5) ofrece un rango de aplicaciones en problemas de propagación de ondas elásticas; (6) puede extenderse a la dinámica de sólidos clásicos o micropolares con campos interactuantes de diversos tipos (termoelásticos, porosos saturados de fluidos, piezoelectroelásticos...) así como medios no lineales.

Medios homogéneos anisotrópicos

Para los medios anisotrópicos, el tensor de rigidez es más complicado. La simetría del tensor de tensión significa que hay como máximo 6 elementos diferentes de tensión. De manera similar, hay como máximo 6 elementos diferentes del tensor de deformación . Por lo tanto, el tensor de rigidez de cuarto orden puede escribirse como una matriz (un tensor de segundo orden). La notación de Voigt es la representación estándar para los índices tensoriales, ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ ${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}}$$

Con esta notación, se puede escribir la matriz de elasticidad para cualquier medio linealmente elástico como: $${\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Como se muestra, la matriz es simétrica, lo que es resultado de la existencia de una función de densidad de energía de deformación que satisface . Por lo tanto, hay como máximo 21 elementos diferentes de . ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}$

El caso especial isótropo tiene 2 elementos independientes: $${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0\\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatrix}}.}$$

El caso anisotrópico más simple, el de simetría cúbica, tiene 3 elementos independientes: $${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.}$$

El caso de isotropía transversal , también llamada anisotropía polar, (con un solo eje (el 3-eje) de simetría) tiene 5 elementos independientes: $${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Cuando la isotropía transversal es débil (es decir, cercana a la isotropía), una parametrización alternativa que utiliza los parámetros de Thomsen es conveniente para las fórmulas de velocidades de onda.

El caso de la ortotropía (la simetría de un ladrillo) tiene 9 elementos independientes: $${\displaystyle C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

Elastodinámica

La ecuación de onda elastodinámica para medios anisotrópicos se puede expresar como donde es el operador diferencial acústico y es delta de Kronecker . $${\displaystyle (\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}$$ $${\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}$$ ${\displaystyle \delta _{kl}}$

Ondas planas y ecuación de Christoffel

Una onda plana tiene la forma con de longitud unitaria. Es una solución de la ecuación de onda con forzamiento cero, si y solo si y constituyen un par autovalor/autovector del operador algebraico acústico. Esta condición de propagación (también conocida como ecuación de Christoffel ) puede escribirse como donde denota la dirección de propagación y es la velocidad de fase. $${\displaystyle \mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}\,\!}$ ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$ $${\displaystyle A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.}$$ $${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}}$ ${\displaystyle c=\omega /{\sqrt {\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} }}}$

Véase también

• El método de Castigliano
• Ecuación de Cauchy del momento
• Teorema de Clapeyron
• Mecánica de contacto
• Deformación
• Elasticidad (física)
• GRADELA
• Ley de Hooke
• Teoría de la deformación infinitesimal
• Solución de Michell
• Plasticidad (física)
• Problema de los señores
• Sistema de resorte
• Estrés (mecánica)
• Funciones del estrés

Referencias

1. Slaughter, William S. (2002). La teoría linealizada de la elasticidad. Boston, MA: Birkhäuser Boston. doi :10.1007/978-1-4612-0093-2. ISBN 978-1-4612-6608-2.
2. Belen'kii; Salaev (1988). "Efectos de deformación en cristales de capas". Uspekhi Fizicheskikh Nauk . 155 (5): 89-127. doi : 10.3367/UFNr.0155.198805c.0089 .
3. Aki, Keiiti ; Richards, Paul G. (2002). Sismología cuantitativa (2.ª ed.). Mill Valley, California: University Science Books. ISBN 978-1-891389-63-4.
4. Mecánica de medios continuos para ingenieros 2001 Mase, Ec. 5.12-2
5. Sommerfeld, Arnold (1964). Mecánica de cuerpos deformables . Nueva York: Academic Press.
6. tribonet (16 de febrero de 2017). «Deformación elástica». Tribología . Consultado el 16 de febrero de 2017 .
7. Landau, LD ; Lifshitz, EM (1986). Teoría de la elasticidad (3.ª ed.). Oxford, Inglaterra: Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2633-X.
8. Boussinesq, José (1885). Aplicación de potencias al estudio del equilibrio y movimiento de sólidos elásticos. París, Francia: Gauthier-Villars.
9. Mindlin, RD (1936). "Fuerza en un punto en el interior de un sólido semiinfinito". Física . 7 (5): 195–202. Código Bibliográfico :1936Physi...7..195M. doi :10.1063/1.1745385. Archivado desde el original el 23 de septiembre de 2017.
10. Hertz, Heinrich (1882). "Contacto entre cuerpos sólidos elásticos". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 92 .
11. Ostoja-Starzewski, M. , (2018), Ecuación de Ignaczak de elastodinámica , Matemáticas y mecánica de sólidos. doi :10.1177/1081286518757284