Solución de Michell

Ecuación de elasticidad

En mecánica de medios continuos , la solución de Michell es una solución general a las ecuaciones de elasticidad en coordenadas polares ( ) desarrolladas por John Henry Michell en 1899. ^[1] La solución es tal que los componentes de tensión tienen la forma de una serie de Fourier en . ${\displaystyle r,\theta }$ ${\displaystyle \theta }$

Michell demostró que la solución general se puede expresar en términos de una función de tensión de Airy de la forma Los términos y definen un estado nulo trivial de tensión y se ignoran. $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (r,\theta )&=A_{0}r^{2}+B_{0}r^{2}\ln(r)+C_{0}\ln(r)\\&+\left(I_{0}r^{2}+I_{1}r^{2}\ln(r)+I_{2}\ln(r)+I_{3}\right)\theta \\&+\left(A_{1}r+B_{1}r^{-1}+B_{1}'r\theta +C_{1}r^{3}+D_{1}r\ln(r)\right)\cos \theta \\&+\left(E_{1}r+F_{1}r^{-1}+F_{1}'r\theta +G_{1}r^{3}+H_{1}r\ln(r)\right)\sin \theta \\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(A_{n}r^{n}+B_{n}r^{-n}+C_{n}r^{n+2}+D_{n}r^{-n+2}\right)\cos(n\theta )\\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(E_{n}r^{n}+F_{n}r^{-n}+G_{n}r^{n+2}+H_{n}r^{-n+2}\right)\sin(n\theta )\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A_{1}r\cos \theta }$ ${\displaystyle E_{1}r\sin \theta }$

Componentes del estrés

Los componentes de la tensión se pueden obtener sustituyendo la solución de Michell en las ecuaciones de tensión en términos de la función de tensión de Airy (en coordenadas cilíndricas ). A continuación se muestra una tabla de componentes de la tensión. ^[2]

Componentes de desplazamiento

Los desplazamientos se pueden obtener a partir de la solución de Michell utilizando las relaciones tensión-deformación y deformación-desplazamiento . A continuación se presenta una tabla de componentes de desplazamiento correspondientes a los términos de la función de tensión de Airy para la solución de Michell. En esta tabla ${\displaystyle (u_{r},u_{\theta })}$

${\displaystyle \kappa ={\begin{cases}3-4~\nu &{\rm {for~plane~strain}}\\{\cfrac {3-\nu }{1+\nu }}&{\rm {for~plane~stress}}\\\end{cases}}}$

donde es el coeficiente de Poisson , y es el módulo de corte . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mu }$

Nótese que un desplazamiento de cuerpo rígido se puede superponer a la solución de Michell de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&=A~\cos \theta +B~\sin \theta \\u_{\theta }&=-A~\sin \theta +B~\cos \theta +C~r\\\end{aligned}}}$

para obtener un campo de desplazamiento admisible.

Véase también

• Elasticidad lineal
• Solución flamante
• Juan Henry Michell

Referencias

1. Michell, JH (1 de abril de 1899). "Sobre la determinación directa de la tensión en un sólido elástico, con aplicación a la teoría de placas". Proc. London Math. Soc . 31 (1): 100–124. doi :10.1112/plms/s1-31.1.100.
2. JR Barber, 2002, Elasticidad: 2.ª edición , Kluwer Academic Publishers.