Funciones del estrés

En elasticidad lineal , las ecuaciones que describen la deformación de un cuerpo elástico sujeto únicamente a fuerzas superficiales (o fuerzas corporales que podrían expresarse como potenciales) en el límite son (usando la notación de índice ) la ecuación de equilibrio:

${\displaystyle \sigma _{ij,i}=0\,}$

donde es el tensor de tensión y las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell: ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}=0}$

Una solución general de estas ecuaciones puede expresarse en términos del tensor de tensión de Beltrami . Las funciones de tensión se derivan como casos especiales de este tensor de tensión de Beltrami que, aunque menos general, a veces dará lugar a un método más manejable de solución para las ecuaciones elásticas.

Funciones de estrés de Beltrami

Se puede demostrar ^[1] que una solución completa de las ecuaciones de equilibrio puede escribirse como

${\displaystyle \sigma =\nabla \times \Phi \times \nabla }$

Usando notación de índice:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{ikm}\varepsilon _{jln}\Phi _{kl,mn}}$

donde es un campo tensorial arbitrario de segundo rango que es al menos dos veces diferenciable, y se conoce como el tensor de tensión de Beltrami . ^[1] Sus componentes se conocen como funciones de tensión de Beltrami . es el pseudotensor de Levi-Civita , con todos los valores iguales a cero excepto aquellos en los que los índices no se repiten. Para un conjunto de índices no repetidos, el valor del componente será +1 para permutaciones pares de los índices y -1 para permutaciones impares. Y es el operador Nabla . Para que el tensor de tensión de Beltrami satisfaga las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell además de las ecuaciones de equilibrio, se requiere además que sea al menos cuatro veces continuamente diferenciable. ${\displaystyle \Phi _{mn}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \Phi _{mn}}$

Funciones de estrés de Maxwell

Las funciones de tensión de Maxwell se definen asumiendo que el tensor de tensión de Beltrami está restringido a tener la forma. ^[2] ${\displaystyle \Phi _{mn}}$

${\displaystyle \Phi _{ij}={\begin{bmatrix}A&0&0\\0&B&0\\0&0&C\end{bmatrix}}}$

El tensor de tensión que obedece automáticamente la ecuación de equilibrio ahora puede escribirse como: ^[2]

La solución al problema elastostático consiste ahora en hallar las tres funciones de tensión que dan un tensor de tensión que obedece a las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell para la tensión. Sustituyendo las expresiones para la tensión en las ecuaciones de Beltrami-Michell se obtiene la expresión del problema elastostático en términos de las funciones de tensión: ^[3]

${\displaystyle \nabla ^{4}A+\nabla ^{4}B+\nabla ^{4}C=3\left({\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}\right)/(2-\nu ),}$

Estos también deben producir un tensor de tensión que obedezca las condiciones de contorno especificadas.

Función de estrés aéreo

La función de tensión de Airy es un caso especial de las funciones de tensión de Maxwell, en el que se supone que A=B=0 y C es una función de x e y únicamente. ^[2] Por lo tanto, esta función de tensión solo se puede utilizar para problemas bidimensionales. En la literatura sobre elasticidad, la función de tensión suele representarse mediante y las tensiones se expresan como ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}~;~~\sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}~;~~\sigma _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}-(f_{x}y+f_{y}x)}$

¿Dónde y son los valores de las fuerzas corporales en la dirección relevante? ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle f_{y}}$

En coordenadas polares las expresiones son:

${\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial r^{2}}}~;~~\sigma _{r\theta }=\sigma _{\theta r}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \theta }}\right)}$

Funciones de estrés de Morera

Las funciones de tensión de Morera se definen asumiendo que el tensor de tensión de Beltrami está restringido a tener la forma ^[2] ${\displaystyle \Phi _{mn}}$

${\displaystyle \Phi _{ij}={\begin{bmatrix}0&C&B\\C&0&A\\B&A&0\end{bmatrix}}}$

La solución del problema elastostático consiste ahora en hallar las tres funciones de tensión que dan un tensor de tensión que obedece a las ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell. Sustituyendo las expresiones para la tensión en las ecuaciones de Beltrami-Michell se obtiene la expresión del problema elastostático en términos de las funciones de tensión: ^[4]

Función de estrés de Prandtl

La función de tensión de Prandtl es un caso especial de las funciones de tensión de Morera, en el que se supone que A=B=0 y C es una función de x e y únicamente. ^[4]

Véase también

• Elasticidad (física)
• Módulo elástico
• Teoría de la deformación infinitesimal
• Elasticidad lineal
• Mecánica de sólidos
• Estrés (mecánica)

Notas

1. Sadd, Martin H. (2005). Elasticidad: teoría, aplicaciones y números. Elsevier Science & Technology Books. pág. 363. ISBN 978-0-12-605811-6.
2. Sadd, MH (2005) Elasticidad: teoría, aplicaciones y números , Elsevier, pág. 364
3. Knops (1958) pág. 327
4. Sadd, MH (2005) Elasticidad: teoría, aplicaciones y números , Elsevier, pág. 365

Referencias

• Sadd, Martin H. (2005). Elasticidad: teoría, aplicaciones y números . Nueva York: Elsevier Butterworth-Heinemann. ISBN 0-12-605811-3.OCLC 162576656  .
• Knops, RJ (1958). "Sobre la variación del coeficiente de Poisson en la solución de problemas elásticos". Revista trimestral de mecánica y matemáticas aplicadas . 11 (3). Oxford University Press: 326–350. doi :10.1093/qjmam/11.3.326.