En matemáticas , especialmente en álgebra lineal , una matriz M es una matriz cuyas entradas fuera de la diagonal son menores o iguales a cero (es decir, es una matriz Z ) y cuyos valores propios tienen partes reales no negativas . El conjunto de M -matrices no singulares es un subconjunto de la clase de P -matrices , y también de la clase de matrices inversas positivas (es decir, matrices con inversas que pertenecen a la clase de matrices positivas ). [1] El nombre matriz M aparentemente fue elegido originalmente por Alexander Ostrowski en referencia a Hermann Minkowski , quien demostró que si una matriz Z tiene todas las sumas de sus filas positivas, entonces el determinante de esa matriz es positivo. [2]
Una matriz M se define comúnmente de la siguiente manera:
Definición: Sea A una matriz Z real n × n . Es decir, A = ( a ij ) donde a ij ≤ 0 para todo i ≠ j , 1 ≤ i,j ≤ n . Entonces la matriz A también es una matriz M si se puede expresar en la forma A = sI − B , donde B = ( b ij ) con b ij ≥ 0 , para todo 1 ≤ i,j ≤ n , donde s está en al menos tan grande como el máximo de los módulos de los valores propios de B , y I es una matriz identidad.
Para la no singularidad de A , según el teorema de Perron-Frobenius , debe darse el caso de que s > ρ ( B ) . Además, para una matriz M no singular, los elementos diagonales a ii de A deben ser positivos. Aquí caracterizaremos más solo la clase de matrices M no singulares.
Se conocen muchas afirmaciones que son equivalentes a esta definición de matrices M no singulares, y cualquiera de estas afirmaciones puede servir como definición inicial de una matriz M no singular. [3] Por ejemplo, Plemmons enumera 40 de estas equivalencias. [4] Plemmons ha categorizado estas caracterizaciones en términos de sus relaciones con las propiedades de: (1) positividad de los menores principales, (2) positividad inversa y escisiones, (3) estabilidad y (4) semipositividad y dominancia diagonal. . Tiene sentido categorizar las propiedades de esta manera porque los enunciados dentro de un grupo particular están relacionados entre sí incluso cuando la matriz A es una matriz arbitraria y no necesariamente una matriz Z. Aquí mencionamos algunas caracterizaciones de cada categoría.
A continuación, ≥ denota el orden de los elementos (no el orden semidefinido positivo habitual en las matrices). Es decir, para cualquier matriz real A , B de tamaño m × n , escribimos A ≥ B (o A > B ) si a ij ≥ b ij (o a ij > b ij ) para todo i , j .
Sea A una matriz Z real de n × n , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes a que A sea una matriz M no singular :
Positividad de los menores principales
Positividad inversa y escisiones
Estabilidad
Semipositividad y dominancia diagonal.
Las principales contribuciones a la teoría de la matriz M provienen principalmente de matemáticos y economistas. Las matrices M se utilizan en matemáticas para establecer límites en valores propios y en el establecimiento de criterios de convergencia para métodos iterativos para la solución de grandes sistemas dispersos de ecuaciones lineales . Las matrices M surgen naturalmente en algunas discretizaciones de operadores diferenciales , como el laplaciano , y como tales están bien estudiadas en informática científica. Las matrices M también aparecen en el estudio de soluciones al problema de complementariedad lineal . Los problemas de complementariedad lineal surgen en la programación lineal y cuadrática , en la mecánica computacional y en el problema de encontrar el punto de equilibrio de un juego bimatriz . Por último, las matrices M aparecen en el estudio de cadenas finitas de Markov en el campo de la teoría de la probabilidad y la investigación de operaciones como la teoría de colas . Mientras tanto, los economistas han estudiado las matrices M en relación con la sustituibilidad bruta, la estabilidad de un equilibrio general y el análisis insumo-producto de Leontief en los sistemas económicos. La condición de positividad de todos los principales menores también se conoce como condición de Hawkins-Simon en la literatura económica. [5] En ingeniería, las matrices M también aparecen en los problemas de estabilidad de Lyapunov y control de retroalimentación en la teoría del control y están relacionadas con las matrices de Hurwitz . En biología computacional , las matrices M aparecen en el estudio de la dinámica de poblaciones .