matriz monótona

Una matriz cuadrada real es monótona (en el sentido de Collatz ) si para todos los vectores reales , implica , donde está el orden de los elementos en . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Av\geq 0}$ ${\displaystyle v\geq 0}$ ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Propiedades

Una matriz monótona no es singular. ^[1]

Prueba : Sea una matriz monótona y supongamos que existe con . Luego, por monotonicidad, y , y por tanto . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle Ax=0}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle -x\geq 0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle \square }$

Sea una matriz cuadrada real. es monótono si y sólo si . ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{-1}\geq 0}$

Prueba : Supongamos que es monótono. Denota por la -ésima columna de . Entonces, es el -ésimo vector de base estándar y, por tanto, por monotonicidad. Para la dirección inversa, supongamos que se admite una inversa tal que . Entonces, si , , y por tanto es monótono. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle Ax}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{-1}\geq 0}$ ${\displaystyle Ax\geq 0}$ ${\displaystyle x=A^{-1}Ax\geq A^{-1}0=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \square }$

Ejemplos

La matriz es monótona, con inversa . De hecho, esta matriz es una matriz M (es decir, una matriz L monótona ). ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&-2\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&2\\0&1\end{smallmatrix}}\right)}$

Sin embargo, tenga en cuenta que no todas las matrices monótonas son matrices M. Un ejemplo es , cuyo inverso es . ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}-1&3\\2&-4\end{smallmatrix}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}2&3/2\\1&1/2\end{smallmatrix}}\right)}$

Ver también

• matriz M
• Matriz diagonalmente dominante débilmente encadenada

Referencias

1. Mangasarian, OL (1968). "Caracterizaciones de matrices reales de tipo monótono" (PDF) . Revisión SIAM . 10 (4): 439–441. doi :10.1137/1010095. ISSN  0036-1445.