Matriz diagonalmente dominante débilmente encadenada

Diagrama de Venn que muestra la contención de matrices diagonalmente dominantes débilmente encadenadas (WCDD) en relación con matrices débilmente dominantes diagonalmente (WDD) y estrictamente diagonalmente dominantes (SDD).

En matemáticas, las matrices diagonalmente dominantes débilmente encadenadas son una familia de matrices no singulares que incluyen las matrices estrictamente diagonalmente dominantes .

Definición

Preliminares

Decimos que la fila de una matriz compleja es estrictamente diagonalmente dominante (SDD) si . Decimos que es SDD si todas sus filas son SDD. En su lugar , débilmente diagonalmente dominante (WDD) se define con . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle |a_{ii}|>\textstyle {\sum _{j\neq i}}|a_{ij}|}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \geq }$

El gráfico dirigido asociado con una matriz compleja está dado por los vértices y aristas definidos de la siguiente manera: existe una arista de si y solo si . ${\displaystyle m\times m}$ ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$ ${\displaystyle i\rightarrow j}$ ${\displaystyle a_{ij}\neq 0}$

Definición

Se dice que una matriz cuadrada compleja es diagonalmente dominante débilmente encadenada (WCDD) si ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle A}$es WDD y
• Para cada fila que no es SDD, existe un recorrido en el gráfico dirigido que termina en una fila SDD . ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{1}\rightarrow i_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow i_{k}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i_{k}}$

Ejemplo

El gráfico dirigido asociado con la matriz WCDD en el ejemplo. La primera fila, que es SDD, está resaltada. Tenga en cuenta que, independientemente del nodo en el que comencemos, podemos encontrar un camino . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\rightarrow (i-1)\rightarrow (i-2)\rightarrow \cdots \rightarrow 1}$

La matriz ${\displaystyle m\times m}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1&1\\&-1&1\\&&\ddots &\ddots \\&&&-1&1\end{pmatrix}}}$

es WCDD.

Propiedades

No singularidad

Una matriz WCDD no es singular. ^[1]

Prueba : ^[2] Sea una matriz WCDD. Supongamos que existe un valor distinto de cero en el espacio nulo de . Sin pérdida de generalidad, que sea tal que para todos . Como es WCDD, podemos elegir un recorrido que termine en una fila SDD . ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle |x_{i_{1}}|=1\geq |x_{j}|}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i_{1}\rightarrow i_{2}\rightarrow \cdots \rightarrow i_{k}}$ ${\displaystyle i_{k}}$

Tomando módulos en ambos lados de

${\displaystyle -a_{i_{1}i_{1}}x_{i_{1}}=\sum _{j\neq i_{1}}a_{i_{1}j}x_{j}}$

y aplicando la desigualdad del triángulo se obtiene

${\displaystyle \left|a_{i_{1}i_{1}}\right|\leq \sum _{j\neq i_{1}}\left|a_{i_{1}j}\right|\left|x_{j}\right|\leq \sum _{j\neq i_{1}}\left|a_{i_{1}j}\right|,}$

y por tanto la fila no es SDD. Además, dado que es WDD, la cadena de desigualdades anterior se cumple con igualdad de modo que siempre que . Por lo tanto, . Repitiendo este argumento con , , etc., encontramos que no es SDD, una contradicción. ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle |x_{j}|=1}$ ${\displaystyle a_{i_{1}j}\neq 0}$ ${\displaystyle |x_{i_{2}}|=1}$ ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle i_{3}}$ ${\displaystyle i_{k}}$ ${\displaystyle \square }$

Recordando que una matriz irreducible es aquella cuyo grafo dirigido asociado está fuertemente conectado , un corolario trivial de lo anterior es que una matriz irreducible diagonalmente dominante (es decir, una matriz WDD irreducible con al menos una fila SDD) no es singular. ^[3]

Relación con matrices M no singulares

Los siguientes son equivalentes: ^[4]

• ${\displaystyle A}$es una matriz M WDD no singular .
• ${\displaystyle A}$es una matriz L WDD no singular ;
• ${\displaystyle A}$es una matriz L WCDD ;

De hecho, las matrices L WCDD fueron estudiadas (por James H. Bramble y BE Hubbard) ya en 1964 en un artículo de revista ^[5] en el que aparecen bajo el nombre alternativo de matrices de tipo positivo .

Además, si es una matriz L WCDD, podemos limitar su inversa de la siguiente manera: ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle \left\Vert A^{-1}\right\Vert _{\infty }\leq \sum _{i}\left[a_{ii}\prod _{j=1}^{i}(1-u_{j})\right]^{-1}}$   dónde   ${\displaystyle u_{i}={\frac {1}{\left|a_{ii}\right|}}\sum _{j=i+1}^{n}\left|a_{ij}\right|.}$

Tenga en cuenta que siempre es cero y que el lado derecho del límite anterior es siempre que una o más de las constantes sean uno. ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle u_{i}}$

Se conocen límites más estrictos para la inversa de una matriz L WCDD. ^{[7] [8] [9] [10]}

Aplicaciones

Debido a su relación con las matrices M (ver arriba), las matrices WCDD aparecen con frecuencia en aplicaciones prácticas. A continuación se ofrece un ejemplo.

Esquemas numéricos monótonos

Las matrices L WCDD surgen naturalmente de esquemas de aproximación monótona para ecuaciones diferenciales parciales .

Por ejemplo, considere el problema de Poisson unidimensional

${\displaystyle u^{\prime \prime }(x)+g(x)=0}$   para   ${\displaystyle x\in (0,1)}$

con condiciones de contorno de Dirichlet . Dejando ser una cuadrícula numérica (para algún positivo que divide la unidad), un esquema monótono en diferencias finitas para el problema de Poisson toma la forma de ${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$ ${\displaystyle \{0,h,2h,\ldots ,1\}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle -{\frac {1}{h^{2}}}A{\vec {u}}+{\vec {g}}=0}$   dónde   ${\displaystyle [{\vec {g}}]_{j}=g(jh)}$

y

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2&-1\\&-1&2&-1\\&&\ddots &\ddots &\ddots \\&&&-1&2&-1\\&&&&-1&2\end{pmatrix}}.}$

Tenga en cuenta que es una matriz L WCDD. ${\displaystyle A}$

Referencias

1. Shivakumar, PN; Masticar, Kim Ho (1974). "Una condición suficiente para que los determinantes no desaparezcan" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 43 (1): 63. doi : 10.1090/S0002-9939-1974-0332820-0 . ISSN  0002-9939.
2. Azimzadeh, parsiada; Forsyth, Peter A. (2016). "Matrices débilmente encadenadas, iteración de políticas y control de impulsos". Revista SIAM de Análisis Numérico . 54 (3): 1341-1364. arXiv : 1510.03928 . doi :10.1137/15M1043431. ISSN  0036-1429. S2CID  29143430.
3. Cuerno, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge.
4. Azimzadeh, parsiada (2019). "Una prueba rápida y estable para comprobar si una matriz débilmente dominante en diagonal es una matriz M no singular". Matemáticas de la Computación . 88 (316): 783–800. arXiv : 1701.06951 . Código Bib : 2017arXiv170106951A. doi : 10.1090/mcom/3347. S2CID  3356041.
5. Zarza, James H.; Hubbard, BE (1964). "Sobre un análogo en diferencias finitas de un problema elíptico que no es diagonalmente dominante ni de tipo no negativo". Revista de Física Matemática . 43 : 117-132. doi : 10.1002/sapm1964431117.
6. Shivakumar, PN; Williams, José J.; Sí, Qiang; Marinov, Corneliu A. (1996). "Sobre límites de dos caras relacionados con matrices M débilmente dominantes en diagonal con aplicación a la dinámica de circuitos digitales". Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones de Matrices . 17 (2): 298–312. doi :10.1137/S0895479894276370. ISSN  0895-4798.
7. Cheng, Guang-Hui; Huang, Ting-Zhu (2007). "Un límite superior para ‖ A − 1 ‖ ∞ {\displaystyle \Vert A^{-1}\Vert _{\infty }} de matrices M estrictamente diagonalmente dominantes". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 426 (2–3): 667–673. doi : 10.1016/j.laa.2007.06.001 . ISSN  0024-3795.
8. Li, Wen (2008). "La norma del infinito ligada a la inversa de matrices dominantes diagonales no singulares". Letras de Matemática Aplicada . 21 (3): 258–263. doi : 10.1016/j.aml.2007.03.018 . ISSN  0893-9659.
9. Wang, Ping (2009). "Un límite superior para ‖ A − 1 ‖ ∞ {\displaystyle \Vert A^{-1}\Vert _{\infty }} de matrices M estrictamente diagonalmente dominantes". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 431 (5–7): 511–517. doi : 10.1016/j.laa.2009.02.037 . ISSN  0024-3795.
10. Huang, Ting-Zhu; Zhu, Yan (2010). "Estimación de ‖ A − 1 ‖ ∞ {\displaystyle \Vert A^{-1}\Vert _{\infty }} para matrices M diagonalmente dominantes débilmente encadenadas". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 432 (2–3): 670–677. doi : 10.1016/j.laa.2009.09.012 . ISSN  0024-3795.