Matriz P

Matriz cuadrada compleja para la cual cada menor principal es positivo

En matemáticas , una matriz P es una matriz cuadrada compleja en la que todos los menores principales son positivos. Una clase estrechamente relacionada es la de las matrices P, que son la clausura de la clase de las matrices P , en la que todos los menores principales son 0. ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle \geq }$

Espectros dePAG-matrices

Por un teorema de Kellogg, ^{[1] [2]} los valores propios de las matrices P y P están acotados a partir de una cuña alrededor del eje real negativo de la siguiente manera: ${\displaystyle P_{0}}$

Si son los valores propios de una matriz P de dimensión n , donde , entonces ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$ ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle |\arg(u_{i})|<\pi -{\frac {\pi }{n}},\ i=1,...,n}$

Si , , son los valores propios de una matriz n -dimensional , entonces ${\displaystyle \{u_{1},...,u_{n}\}}$ ${\displaystyle u_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle i=1,...,n}$ ${\displaystyle P_{0}}$

${\displaystyle |\arg(u_{i})|\leq \pi -{\frac {\pi }{n}},\ i=1,...,n}$

Observaciones

La clase de matrices M no singulares es un subconjunto de la clase de matrices P. Más precisamente, todas las matrices que son a la vez matrices P y matrices Z son matrices M no singulares . La clase de matrices suficientes es otra generalización de las matrices P. ^[3]

El problema de complementariedad lineal tiene una solución única para cada vector q si y solo si M es una matriz P. ^[4] Esto implica que si M es una matriz P , entonces M es una matriz Q. ${\displaystyle \mathrm {LCP} (M,q)}$

Si el jacobiano de una función es una matriz P , entonces la función es inyectiva en cualquier región rectangular de . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una clase relacionada de interés, particularmente con referencia a la estabilidad, es la de las matrices α, a veces también denominadas αmatrices. Una matriz A es una matriz α si y solo si es una matriz P (de manera similar para las matrices α). Como , los valores propios de estas matrices están acotados a partir del eje real positivo . ${\displaystyle P^{(-)}}$ ${\displaystyle N-P}$ ${\displaystyle P^{(-)}}$ ${\displaystyle (-A)}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle \sigma (A)=-\sigma (-A)}$

Véase también

• Matriz de Hurwitz
• Problema de complementariedad lineal
• Matriz M
• Matriz Q
• Matriz Z
• Teorema de Perron-Frobenius

Notas

1. Kellogg, RB (abril de 1972). "Sobre valores propios complejos de matrices M y P". Matemática numérica . 19 (2): 170-175. doi :10.1007/BF01402527.
2. Fang, Li (julio de 1989). "Sobre los espectros de las matrices P y P0". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 119 : 1–25. doi : 10.1016/0024-3795(89)90065-7 .
3. Csizmadia, Zsolt; Illés, Tibor (2006). "Nuevos algoritmos de tipo criss-cross para problemas de complementariedad lineal con matrices suficientes" (pdf) . Optimization Methods and Software . 21 (2): 247–266. doi :10.1080/10556780500095009. MR  2195759.
4. Murty, Katta G. (enero de 1972). "Sobre el número de soluciones al problema de complementariedad y las propiedades de expansión de los conos complementarios" (PDF) . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 5 (1): 65–108. doi :10.1016/0024-3795(72)90019-5. hdl : 2027.42/34188 .
5. Vendaval, David; Nikaido, Hukukane (10 de diciembre de 2013). "La matriz jacobiana y la univalencia global de mapeos". Annalen Matemáticas . 159 (2): 81–93. doi :10.1007/BF01360282.

Referencias

• Csizmadia, Zsolt; Illés, Tibor (2006). "Nuevos algoritmos de tipo criss-cross para problemas de complementariedad lineal con matrices suficientes" (pdf) . Optimization Methods and Software . 21 (2): 247–266. doi :10.1080/10556780500095009. MR  2195759.
• David Gale y Hukukane Nikaido , La matriz jacobiana y la univalencia global de las aplicaciones, Math. Ann. 159:81-93 (1965) doi :10.1007/BF01360282
• Li Fang, Sobre los espectros de las matrices P y P, Álgebra lineal y sus aplicaciones 119:1-25 (1989) ${\displaystyle P_{0}}$
• RB Kellogg, Sobre valores propios complejos de matrices M y P , Numer. Math. 19:170-175 (1972)