Juego de bimatriz

En teoría de juegos , un juego bimatricial es un juego simultáneo para dos jugadores en el que cada uno tiene un número finito de acciones posibles. El nombre proviene del hecho de que la forma normal de un juego de este tipo puede describirse mediante dos matrices : la matriz que describe los pagos del jugador 1 y la matriz que describe los pagos del jugador 2. ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

El jugador 1 suele denominarse "jugador de fila" y el jugador 2 "jugador de columna". Si el jugador 1 tiene acciones posibles y el jugador 2 tiene acciones posibles, entonces cada una de las dos matrices tiene filas por columnas. Cuando el jugador de fila selecciona la acción -ésima y el jugador de columna selecciona la acción -ésima, la recompensa para el jugador de fila es y la recompensa para el jugador de columna es . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A[i,j]}$ ${\displaystyle B[i,j]}$

Los jugadores también pueden jugar estrategias mixtas . Una estrategia mixta para el jugador de la fila es un vector no negativo de longitud tal que: . De manera similar, una estrategia mixta para el jugador de la columna es un vector no negativo de longitud tal que: . Cuando los jugadores juegan estrategias mixtas con vectores y , el pago esperado del jugador de la fila es: y del jugador de la columna: . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{m}x_{i}=1}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}y_{j}=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{\mathsf {T}}Ay}$ ${\displaystyle x^{\mathsf {T}}By}$

Equilibrio de Nash en juegos bimatriciales

Todo juego bimatricial tiene un equilibrio de Nash en estrategias (posiblemente) mixtas. Encontrar dicho equilibrio de Nash es un caso especial del problema de complementariedad lineal y se puede hacer en tiempo finito mediante el algoritmo de Lemke-Howson . ^[1]

Hay una reducción del problema de encontrar un equilibrio de Nash en un juego bimatriz al problema de encontrar un equilibrio competitivo en una economía con utilidades de Leontief . ^[2]

Términos relacionados

Un juego de suma cero es un caso especial de un juego bimatriz en el que . ${\displaystyle A+B=0}$

Referencias

1. Chandrasekaran, R. "Bimatrix games" (PDF) . Consultado el 17 de diciembre de 2015 .
2. Codenotti, Bruno; Saberi, Amin; Varadarajan, Kasturi; Ye, Yinyu (2006). "Las economías de Leontief codifican juegos de dos jugadores de suma no nula". Actas del decimoséptimo simposio anual ACM-SIAM sobre algoritmos discretos - SODA '06 . p. 659. doi :10.1145/1109557.1109629. ISBN 0898716055.