Matriz de Hurwitz

Elemento de matriz algebraica para analizar un polinomio por sus coeficientes

En matemáticas , una matriz de Hurwitz , o matriz de Routh-Hurwitz , en ingeniería, matriz de estabilidad , es una matriz cuadrada real estructurada construida con coeficientes de un polinomio real.

Matriz de Hurwitz y criterio de estabilidad de Hurwitz

Es decir, dado un polinomio real

${\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}}$

La matriz cuadrada ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

Se denomina matriz de Hurwitz a la correspondiente al polinomio . Adolf Hurwitz estableció en 1895 que un polinomio real con es estable (es decir, todas sus raíces tienen parte real estrictamente negativa) si y solo si todos los menores principales de la matriz son positivos: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{0}>0}$ ${\displaystyle H(p)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Los menores se llaman determinantes de Hurwitz . De manera similar, si entonces el polinomio es estable si y solo si los menores principales tienen signos alternados comenzando con uno negativo. ${\displaystyle \Delta _{k}(p)}$ ${\displaystyle a_{0}<0}$

Matrices estables de Hurwitz

En ingeniería y teoría de estabilidad , una matriz cuadrada se denomina matriz de Hurwitz si cada valor propio de tiene una parte real estrictamente negativa , es decir, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Re} [\lambda _{i}]<0\,}$

para cada valor propio . también se llama matriz estable , porque entonces la ecuación diferencial ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$

es asintóticamente estable , es decir, como ${\displaystyle x(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty .}$

Si es una función de transferencia (con valores matriciales) , entonces se llama Hurwitz si los polos de todos los elementos de tienen una parte real negativa. Nótese que no es necesario que para un argumento específico sea una matriz de Hurwitz, ni siquiera necesita ser cuadrada. La conexión es que si es una matriz de Hurwitz, entonces el sistema dinámico ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(s),}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

tiene una función de transferencia de Hurwitz.

Cualquier punto fijo hiperbólico (o punto de equilibrio ) de un sistema dinámico continuo es localmente asintóticamente estable si y sólo si el jacobiano del sistema dinámico es estable según el método de Hurwitz en el punto fijo.

La matriz de estabilidad de Hurwitz es una parte crucial de la teoría de control . Un sistema es estable si su matriz de control es una matriz de Hurwitz. Los componentes reales negativos de los valores propios de la matriz representan una retroalimentación negativa . De manera similar, un sistema es inherentemente inestable si alguno de los valores propios tiene componentes reales positivos, que representan una retroalimentación positiva .

Véase también

• Criterio de Liénard-Chipart
• Matriz M
• Matriz P
• Teorema de Perron-Frobenius
• Matriz Z
• Criterio de estabilidad del jurado , para el criterio analógico para sistemas de tiempo discreto.

Referencias

• Asner, Bernard A. Jr. (1970). "Sobre la no negatividad total de la matriz de Hurwitz". Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas . 18 (2): 407–414. doi :10.1137/0118035. JSTOR  2099475.
• Dimitrov, Dimitar K.; Peña, Juan Manuel (2005). "Positividad total casi estricta y una clase de polinomios de Hurwitz". Journal of Approximation Theory . 132 (2): 212–223. doi : 10.1016/j.jat.2004.10.010 . hdl : 11449/21728 .
• Gantmacher, FR (1959). Aplicaciones de la teoría de matrices . Nueva York: Interscience .
• Hurwitz, A. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativos reellen Teilen besitzt". Annalen Matemáticas . 46 (2): 273–284. doi :10.1007/BF01446812. S2CID  121036103.
• Khalil, Hassan K. (2002). Sistemas no lineales . Prentice Hall .
• Lehnigk, Siegfried H. (1970). "Sobre la matriz de Hurwitz". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik . 21 (3): 498–500. Código bibliográfico : 1970ZaMP...21..498L. doi :10.1007/BF01627957. S2CID  123380473.

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Enlaces externos

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