Determinante de Hurwitz

En matemáticas, los determinantes de Hurwitz fueron introducidos por Adolf Hurwitz (1895), quien los utilizó para dar un criterio para que todas las raíces de un polinomio tengan parte real negativa.

Definición

Consideremos un polinomio característico P en la variable λ de la forma:

P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_{n}

donde , , son reales. $Estilo de visualización ai$ $i=0,1,\lpuntos ,n$

La matriz cuadrada de Hurwitz asociada a P se da a continuación:

H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\puntos &\puntos &\puntos &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos \\\vpuntos &a_{0}&a_{2}&\dpuntos &&&0&\vpuntos &\vpuntos \\\vpuntos &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vpuntos &\vpuntos \\\vpuntos &\vpuntos &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vpuntos \\\vpuntos &\vpuntos &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vpuntos \\\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\puntos &\puntos &\puntos &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.

El i- ésimo determinante de Hurwitz es el i- ésimo menor principal (el menor es un determinante) de la matriz de Hurwitz H anterior . Hay n determinantes de Hurwitz para un polinomio característico de grado n .

Véase también

Matriz de transferencia

Referencias

Hurwitz, A. (1895), "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativos reellen Theilen besitzt", Mathematische Annalen , 46 (2): 273–284, doi :10.1007/BF01446812, S2CID 121036103
Wall, HS (1945), "Polinomios cuyos ceros tienen partes reales negativas", The American Mathematical Monthly , 52 (6): 308–322, doi :10.1080/00029890.1945.11991574, ISSN 0002-9890, JSTOR 2305291, MR 0012709