Las matemáticas babilónicas (también conocidas como matemáticas asirio-babilónicas ) [1] [2] [3] [4] son las matemáticas desarrolladas o practicadas por el pueblo de Mesopotamia , desde los días de los primeros sumerios hasta los siglos posteriores a la caída de Babilonia . en 539 a.C. Los textos matemáticos babilónicos son abundantes y están bien editados. [5] Con respecto al tiempo, se dividen en dos grupos distintos: uno del período de la antigua Babilonia (1830-1531 a. C.), el otro principalmente seléucida de los últimos tres o cuatro siglos a. En cuanto al contenido, apenas hay diferencias entre ambos grupos de textos. Las matemáticas babilónicas permanecieron constantes, en carácter y contenido, durante más de un milenio. [5]
En contraste con la escasez de fuentes de matemáticas egipcias , el conocimiento de las matemáticas babilónicas se deriva de cientos de tablillas de arcilla desenterradas desde la década de 1850. Escritas en escritura cuneiforme , las tablillas se escribían mientras la arcilla estaba húmeda y se cocían en un horno o al calor del sol. La mayoría de las tablillas de arcilla recuperadas datan de 1800 a 1600 a. C. y cubren temas que incluyen fracciones , álgebra , ecuaciones cuadráticas y cúbicas y el teorema de Pitágoras . La tablilla babilónica YBC 7289 proporciona una aproximación con una precisión de tres dígitos sexagesimales significativos (alrededor de seis dígitos decimales significativos).
Las matemáticas babilónicas son una gama de prácticas matemáticas numéricas y más avanzadas del antiguo Cercano Oriente , escritas en escritura cuneiforme . Históricamente, los estudios se han centrado en el período de la antigua Babilonia a principios del segundo milenio antes de Cristo debido a la gran cantidad de datos disponibles. Ha habido un debate sobre la aparición más temprana de las matemáticas babilónicas, y los historiadores sugieren un rango de fechas entre el V y el III milenio antes de Cristo. [6] Las matemáticas babilónicas se escribieron principalmente en tablillas de arcilla en escritura cuneiforme en las lenguas acadia o sumeria .
"Matemáticas babilónicas" es quizás un término inútil ya que los orígenes más antiguos sugeridos se remontan al uso de dispositivos contables, como bullae y fichas , en el quinto milenio antes de Cristo. [7]
El sistema matemático babilónico era un sistema numérico sexagesimal (base 60) . De esto derivamos el uso actual de 60 segundos en un minuto, 60 minutos en una hora y 360 grados en un círculo. [8] Los babilonios pudieron hacer grandes avances en matemáticas por dos razones. En primer lugar, el número 60 es un número superior altamente compuesto , que tiene factores de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (incluidos los que son a su vez compuestos), lo que facilita los cálculos con fracciones . Además, a diferencia de los egipcios y los romanos, los babilonios tenían un verdadero sistema de valor posicional , donde los dígitos escritos en la columna de la izquierda representaban valores más grandes (muy parecido a, en nuestro sistema de base diez, 734 = 7×100 + 3×10 + 4× 1). [9]
Los antiguos sumerios de Mesopotamia desarrollaron un complejo sistema de metrología a partir del año 3000 a.C. A partir del 2600 a.C., los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y se ocuparon de ejercicios geométricos y problemas de división . Los primeros vestigios de los números babilónicos también se remontan a este período. [10]
La mayoría de las tablillas de arcilla que describen las matemáticas babilónicas pertenecen a la antigua Babilonia , por lo que las matemáticas de Mesopotamia se conocen comúnmente como matemáticas babilónicas. Algunas tablillas de arcilla contienen listas y tablas matemáticas, otras contienen problemas y soluciones trabajadas.
Los babilonios usaban tablas precalculadas para ayudar con la aritmética . Por ejemplo, dos tablillas encontradas en Senkerah en el Éufrates en 1854, que datan del año 2000 a. C., dan listas de los cuadrados de los números hasta el 59 y los cubos de los números hasta el 32. Los babilonios usaban las listas de los cuadrados junto con las fórmulas:
para simplificar la multiplicación.
Los babilonios no tenían un algoritmo para la división larga . [11] En cambio, basaron su método en el hecho de que:
junto con una tabla de recíprocos . Los números cuyos únicos factores primos son 2, 3 o 5 (conocidos como 5- números suaves o regulares ) tienen recíprocos finitos en notación sexagesimal, y se han encontrado tablas con listas extensas de estos recíprocos.
Los recíprocos como 1/7, 1/11, 1/13, etc. no tienen representaciones finitas en notación sexagesimal. Para calcular 1/13 o dividir un número entre 13, los babilonios usaban una aproximación como:
La tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 ( c. 1800-1600 a. C. ) proporciona una aproximación de √ 2 en cuatro cifras sexagesimales , 1;24,51,10, [12] que tiene una precisión de aproximadamente seis dígitos decimales , [13] y es la representación sexagesimal de tres lugares más cercana posible de √ 2 :
Además de los cálculos aritméticos, los matemáticos babilónicos también desarrollaron métodos algebraicos para resolver ecuaciones . Una vez más, estos se basaron en tablas previamente calculadas.
Para resolver una ecuación cuadrática , los babilonios esencialmente usaban la fórmula cuadrática estándar . Consideraron ecuaciones cuadráticas de la forma:
donde byc no eran necesariamente números enteros, pero c siempre era positivo . Sabían que una solución a esta forma de ecuación es: [ cita necesaria ]
y encontraron raíces cuadradas de manera eficiente usando división y promediando. [14] Siempre usaron la raíz positiva porque tenía sentido al resolver problemas "reales" [ cita necesaria ] . Los problemas de este tipo incluían encontrar las dimensiones de un rectángulo dada su área y la cantidad en que la longitud excede el ancho.
Se utilizaron tablas de valores de n 3 + n 2 para resolver ciertas ecuaciones cúbicas . Por ejemplo, considere la ecuación:
Multiplicando la ecuación por a 2 y dividiendo por b 3 se obtiene:
Sustituyendo y = ax / b se obtiene:
que ahora podría resolverse consultando la tabla n 3 + n 2 para encontrar el valor más cercano al lado derecho. Los babilonios lograron esto sin notación algebraica, mostrando una notable profundidad de comprensión. Sin embargo, no tenían un método para resolver la ecuación cúbica general.
Los babilonios modelaron el crecimiento exponencial, el crecimiento restringido (a través de una forma de funciones sigmoideas ) y el tiempo de duplicación , este último en el contexto de los intereses de los préstamos.
Tabletas de arcilla de c. 2000 aC incluyen el ejercicio "Dada una tasa de interés de 1/60 por mes (sin capitalización), calcule el tiempo de duplicación". Esto produce una tasa de interés anual de 12/60 = 20% y, por lo tanto, un tiempo de duplicación de 100% de crecimiento/20% de crecimiento por año = 5 años. [15] [16]
La tableta Plimpton 322 contiene una lista de " triplas pitagóricas ", es decir, números enteros tales que . Los tripletes son demasiados y demasiado grandes para haber sido obtenidos por fuerza bruta.
Se ha escrito mucho sobre el tema, incluidas algunas especulaciones (quizás anacrónicas) sobre si la tablilla podría haber servido como una de las primeras tablas trigonométricas. Se debe tener cuidado de ver la tablilla en términos de métodos familiares o accesibles para los escribas en ese momento.
[...] la pregunta "¿cómo se calculó la tableta?" no tiene por qué tener la misma respuesta que la pregunta "¿qué problemas presenta la tableta?" La primera puede resolverse de manera más satisfactoria mediante pares recíprocos, como se sugirió por primera vez hace medio siglo, y la segunda mediante algún tipo de problemas de triángulo rectángulo. [17]
Los babilonios conocían las reglas comunes para medir volúmenes y áreas. Midieron la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como una doceava parte del cuadrado de la circunferencia, lo que sería correcto si π se estimara como 3. Sabían que se trataba de una aproximación, y un matemático babilónico antiguo Una tablilla excavada cerca de Susa en 1936 (fechada entre los siglos XIX y XVII a. C.) da una mejor aproximación de π como 25/8 = 3,125, aproximadamente un 0,5 por ciento por debajo del valor exacto. [18] El volumen de un cilindro se tomó como producto de la base por la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o de una pirámide cuadrada se tomó incorrectamente como producto de la altura por la mitad de la suma de las bases. . Los babilonios también conocían el gobierno pitagórico . [19] [20] [21]
La "milla babilónica" era una medida de distancia equivalente a unos 11,3 km (o unas siete millas modernas). Esta medida de distancias finalmente se convirtió en una "milla de tiempo" utilizada para medir el recorrido del Sol y, por lo tanto, representa el tiempo. [22]
Los antiguos babilonios conocían fórmulas relativas a las proporciones de los lados de triángulos similares durante muchos siglos, pero carecían del concepto de medida de ángulo y, en consecuencia, estudiaban los lados de los triángulos. [23]
Los astrónomos babilónicos mantenían registros detallados de la salida y puesta de las estrellas , el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares , todo lo cual requería familiaridad con las distancias angulares medidas en la esfera celeste . [24]
También utilizaron una forma de análisis de Fourier para calcular una efeméride (tabla de posiciones astronómicas), que fue descubierta en la década de 1950 por Otto Neugebauer . [25] [26] [27] [28] Para hacer cálculos de los movimientos de los cuerpos celestes, los babilonios usaban aritmética básica y un sistema de coordenadas basado en la eclíptica , la parte del cielo por la que viajan el sol y los planetas.
Las tablillas conservadas en el Museo Británico demuestran que los babilonios llegaron incluso a tener un concepto de objetos en un espacio matemático abstracto. Las tablillas datan de entre 350 y 50 a. C., lo que revela que los babilonios comprendieron y utilizaron la geometría incluso antes de lo que se pensaba. Los babilonios utilizaban un método para estimar el área bajo una curva dibujando un trapezoide debajo, una técnica que anteriormente se creía que se originó en la Europa del siglo XIV. Este método de estimación les permitió, por ejemplo, encontrar la distancia que Júpiter había recorrido en un determinado período de tiempo. [29]
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