Sexagesimal , también conocido como base 60 , [1] es un sistema de numeración con sesenta como base . Se originó con los antiguos sumerios en el tercer milenio a. C., se transmitió a los antiguos babilonios y todavía se usa (en una forma modificada) para medir el tiempo , los ángulos y las coordenadas geográficas .
El número 60, un número superior altamente compuesto , tiene doce divisores , a saber, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60, de los cuales 2, 3 y 5 son primos. números . Con tantos factores, se simplifican muchas fracciones que involucran números sexagesimales. Por ejemplo, una hora se puede dividir uniformemente en secciones de 30 minutos, 20 minutos, 15 minutos, 12 minutos, 10 minutos, 6 minutos, 5 minutos, 4 minutos, 3 minutos, 2 minutos y 1 minuto. 60 es el número más pequeño que es divisible por cualquier número del 1 al 6; es decir, es el mínimo común múltiplo de 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
En este artículo, todos los dígitos sexagesimales se representan como números decimales, salvo que se indique lo contrario. Por ejemplo, el dígito sexagesimal más grande es "59".
Según Otto Neugebauer , los orígenes de lo sexagesimal no son tan simples, consistentes o singulares en el tiempo como a menudo se retrata. A lo largo de sus muchos siglos de uso, que continúa hoy en día para temas especializados como el tiempo, los ángulos y los sistemas de coordenadas astronómicas, las notaciones sexagesimales siempre han contenido una fuerte corriente subyacente de notación decimal, como en la forma en que se escriben los dígitos sexagesimales. Su uso también siempre ha incluido (y continúa incluyendo) inconsistencias en dónde y cómo las distintas bases deben representar números incluso dentro de un solo texto. [2]
El impulsor más poderoso para el uso riguroso y totalmente consistente del sexagesimal siempre ha sido sus ventajas matemáticas para escribir y calcular fracciones. En los textos antiguos esto se muestra en el hecho de que sexagesimal se usa de manera más uniforme y consistente en tablas de datos matemáticas. [2] Otro factor práctico que ayudó a expandir el uso del sexagesimal en el pasado, aunque de manera menos consistente que en las tablas matemáticas, fueron sus decididas ventajas para los comerciantes y compradores al facilitar las transacciones financieras cotidianas cuando implicaban negociar y dividir grandes cantidades de dinero. bienes. A finales del tercer milenio a.C., las unidades de peso sumerias/acadias incluían el kakkaru ( talento , aproximadamente 30 kg) dividido en 60 manû ( mina ), que a su vez se subdividía en 60 šiqlu ( shekel ); los descendientes de estas unidades persistieron durante milenios, aunque más tarde los griegos forzaron esta relación a una proporción más compatible con base 10: un siclo era una quincuagésima parte de una mina .
Aparte de las tablas matemáticas, las inconsistencias en la forma en que se representaban los números en la mayoría de los textos se extendían hasta los símbolos cuneiformes más básicos utilizados para representar cantidades numéricas. [2] Por ejemplo, el símbolo cuneiforme para 1 era una elipse hecha aplicando el extremo redondeado del lápiz en ángulo a la arcilla, mientras que el símbolo sexagesimal para 60 era un óvalo más grande o "1 grande". Pero dentro de los mismos textos en los que se usaban estos símbolos, el número 10 se representaba como un círculo hecho aplicando el extremo redondo del estilo perpendicular a la arcilla, y se usaba un círculo más grande o "10 grande" para representar 100. Los símbolos de cantidades numéricas de múltiples bases se pueden mezclar entre sí y con abreviaturas, incluso dentro de un solo número. Los detalles e incluso las magnitudes implícitas (ya que el cero no se usó consistentemente ) eran idiomáticos para los períodos de tiempo, culturas y cantidades o conceptos particulares que se representaban. Si bien estas representaciones de cantidades numéricas dependientes del contexto son fáciles de criticar en retrospectiva, en los tiempos modernos todavía tenemos docenas de ejemplos utilizados regularmente de mezcla de bases dependientes del tema, incluida la reciente innovación de agregar fracciones decimales a coordenadas astronómicas sexagesimales. [2]
El sistema sexagesimal tal como se usaba en la antigua Mesopotamia no era un sistema puro de base 60, en el sentido de que no usaba 60 símbolos distintos para sus dígitos . En cambio, los dígitos cuneiformes usaban diez como subbase a la manera de una notación de valor de signo : un dígito sexagesimal estaba compuesto por un grupo de marcas estrechas en forma de cuña que representaban unidades hasta nueve (
,
,
,
, ...,
) y un grupo de marcas anchas en forma de cuña que representan hasta cinco decenas (
,
,
,
,
). El valor del dígito era la suma de los valores de sus partes componentes:
Los números mayores que 59 se indicaban mediante múltiples bloques de símbolos de esta forma en notación de valor posicional . Como no había ningún símbolo para el cero, no siempre resulta inmediatamente obvio cómo debe interpretarse un número, y en ocasiones su verdadero valor debe haber sido determinado por su contexto. Por ejemplo, los símbolos de 1 y 60 son idénticos. [3] [4] Los textos babilónicos posteriores utilizaron un marcador de posición (
) para representar el cero, pero sólo en las posiciones medias, y no en el lado derecho del número, como en números como13 200 . [4]
En el calendario chino se utiliza comúnmente un sistema en el que los días o años se nombran por posiciones en una secuencia de diez tallos y en otra secuencia de 12 ramas. El mismo tallo y rama se repiten cada 60 pasos a lo largo de este ciclo.
El libro VIII de la República de Platón incluye una alegoría del matrimonio centrada en el número 60 4 =12 960 000 y sus divisores. Este número tiene la representación sexagesimal particularmente simple 1,0,0,0,0. Estudiosos posteriores han invocado tanto las matemáticas babilónicas como la teoría musical en un intento de explicar este pasaje. [5]
El Almagesto de Ptolomeo , un tratado sobre astronomía matemática escrito en el siglo II d.C., utiliza la base 60 para expresar las partes fraccionarias de los números. En particular, su tabla de cuerdas , que fue esencialmente la única tabla trigonométrica extensa durante más de un milenio, tiene partes fraccionarias de un grado en base 60 y era prácticamente equivalente a una tabla moderna de valores de la función seno .
Los astrónomos medievales también utilizaron números sexagesimales para marcar el tiempo. Al-Biruni subdividió por primera vez la hora sexagesimalmente en minutos , segundos , tercios y cuartos en el año 1000 mientras hablaba de los meses judíos. [6] Alrededor de 1235 Juan de Sacrobosco continuó esta tradición, aunque Nothaft pensó que Sacrobosco fue el primero en hacerlo. [7] La versión parisina de las tablas alfonsinas (ca. 1320) utilizaba el día como unidad básica de tiempo, registrando múltiplos y fracciones de un día en notación de base 60. [8]
Los astrónomos europeos siguieron utilizando con frecuencia el sistema numérico sexagesimal para realizar cálculos hasta 1671. [9] Por ejemplo, Jost Bürgi en Fundamentum Astronomiae (presentado al emperador Rodolfo II en 1592), su colega Ursus en Fundamentum Astronomicum , y posiblemente También Henry Briggs , utilizó tablas de multiplicar basadas en el sistema sexagesimal a finales del siglo XVI, para calcular los senos. [10]
A finales del siglo XVIII y principios del XIX, se descubrió que los astrónomos tamiles hacían cálculos astronómicos, calculando conchas utilizando una mezcla de notaciones decimales y sexagesimales desarrolladas por los astrónomos helenísticos . [11]
Los sistemas numéricos de base 60 también se han utilizado en algunas otras culturas que no están relacionadas con los sumerios, por ejemplo, por el pueblo Ekari de Nueva Guinea Occidental . [12] [13]
Los usos modernos del sistema sexagesimal incluyen la medición de ángulos , coordenadas geográficas , navegación electrónica y tiempo . [14]
Una hora se divide en 60 minutos y un minuto se divide en 60 segundos. Por lo tanto, una medida de tiempo como 3:23:17 (3 horas, 23 minutos y 17 segundos) puede interpretarse como un número sexagesimal entero (sin punto sexagesimal), es decir, 3 × 60 2 + 23 × 60 1 + 17. × 60 0 segundos . Sin embargo, cada uno de los tres dígitos sexagesimales de este número (3, 23 y 17) se escribe utilizando el sistema decimal .
De manera similar, la unidad práctica de medida angular es el grado , de los cuales hay 360 (seis sesenta) en un círculo. Hay 60 minutos de arco en un grado y 60 segundos de arco en un minuto.
En la versión 1.1 [15] del formato de almacenamiento de datos YAML , los sexagesimales son compatibles con escalares simples y se especifican formalmente tanto para números enteros [16] como para números de punto flotante. [17] Esto ha generado confusión, ya que, por ejemplo, algunas direcciones MAC se reconocerían como sexagesimales y se cargarían como números enteros, mientras que otras no lo serían y se cargarían como cadenas. En YAML 1.2 se eliminó la compatibilidad con sexagesimales. [18]
En los textos astronómicos griegos helenísticos , como los escritos de Ptolomeo , los números sexagesimales se escribían utilizando números alfabéticos griegos , y cada dígito sexagesimal se trataba como un número distinto. Los astrónomos helenísticos adoptaron un nuevo símbolo para el cero,, que se transformó a lo largo de los siglos en otras formas, incluida la letra griega omicrón, ο, que normalmente significa 70, pero permisible en un sistema sexagesimal donde el valor máximo en cualquier posición es 59. [19] [20] Los griegos limitaron su uso de números sexagesimales a la parte fraccionaria de un número. [21]
En los textos latinos medievales, los números sexagesimales se escribían utilizando números arábigos ; los diferentes niveles de fracciones se denominaban minuta (es decir, fracción), minuta secunda , minuta tertia , etc. En el siglo XVII se hizo común denotar la parte entera de los números sexagesimales con un cero en superíndice, y las diversas partes fraccionarias con uno o más acentos. John Wallis , en su Mathesis universalis , generalizó esta notación para incluir múltiplos superiores de 60; dando como ejemplo el número 49‵‵‵‵36‵‵‵25‵‵15‵1°15′2″36‴49⁗ ; donde los números de la izquierda se multiplican por potencias superiores de 60, los números de la derecha se dividen por potencias de 60 y el número marcado con el cero en superíndice se multiplica por 1. [22] Esta notación conduce a los signos modernos para grados, minutos y segundos. La misma nomenclatura de minutos y segundos también se utiliza para las unidades de tiempo, y la notación moderna para el tiempo con horas, minutos y segundos escritos en decimal y separados entre sí por dos puntos puede interpretarse como una forma de notación sexagesimal.
En algunos sistemas de uso, cada posición más allá del punto sexagesimal se numeraba, usando raíces latinas o francesas: prime o primus , seconde o secundus , tierce , quatre , quinte , etc. Hasta el día de hoy llamamos parte de segundo orden de una hora o de un grado un "segundo". Hasta al menos el siglo XVIII, 1/60 de segundo se llamaba "tierce" o "tercero". [23] [24]
En la década de 1930, Otto Neugebauer introdujo un sistema de notación moderno para los números babilónicos y helenísticos que sustituye la notación decimal moderna del 0 al 59 en cada posición, mientras usa un punto y coma (;) para separar las porciones enteras y fraccionarias del número y usa una coma. (,) para separar las posiciones dentro de cada porción. [25] Por ejemplo, el mes sinódico medio utilizado por los astrónomos babilónicos y helenísticos y todavía utilizado en el calendario hebreo es 29;31,50,8,20 días. Esta notación se utiliza en este artículo.
En el sistema sexagesimal, cualquier fracción en la que el denominador sea un número regular (que tenga sólo 2, 3 y 5 en su factorización prima ) se puede expresar exactamente. [26] Aquí se muestran todas las fracciones de este tipo en las que el denominador es menor o igual a 60:
Sin embargo, los números que no son regulares forman fracciones repetidas más complicadas . Por ejemplo:
El hecho de que los dos números adyacentes a sesenta, 59 y 61, sean números primos implica que las fracciones que se repiten con un período de uno o dos dígitos sexagesimales sólo pueden tener números regulares múltiplos de 59 o 61 como denominadores, y que otros números no regulares tienen fracciones que se repiten con un período más largo.
Las representaciones de números irracionales en cualquier sistema numérico posicional (incluidos los decimales y sexagesimales) no terminan ni se repiten .
La raíz cuadrada de 2 , la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario , fue aproximada por los babilonios del antiguo período babilónico ( 1900 a. C. – 1650 a. C. ) como
Porque √ 2 ≈ 1.414 213 56 ... es un número irracional , no se puede expresar exactamente en sexagesimal (ni en ningún sistema de base entera), pero su expansión sexagesimal comienza 1;24,51,10,7,46,6,4, 44... ( OEIS : A070197 )
El valor de π utilizado por el matemático y científico griego Ptolomeo era 3;8,30 = 3 + 8/60 + 30/60 2 = 377/120 ≈3.141 666 .... [28] Jamshīd al-Kāshī , un matemático persa del siglo XV , calculó 2 π como expresión sexagesimal a su valor correcto cuando se redondeó a nueve subdígitos (por lo tanto a 1/60 9 ); su valor para 2 π era 6;16,59,28,1,34,51,46,14,50. [29] [30] Como √ 2 anterior, 2 π es un número irracional y no se puede expresar exactamente en sexagesimal. Comienza su expansión sexagesimal 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35... ( OEIS : A091649 )
Sacrobosco cambió a fracciones sexagesimales, pero las hizo más compatibles con el uso computacional al aplicarlas no al día sino a la hora, inaugurando así el uso de horas, minutos y segundos que aún prevalece en el siglo XXI.
Una característica notable de las Tablas Alfonsinas en su encarnación latino-parisina es la estricta 'sexagesimalización' de todos los parámetros tabulados, ya que... los movimientos y los intervalos de tiempo se disolvían consistentemente en múltiplos de base 60 y fracciones de días o grados.
La más notable de ellas es la Escala Aritmética Sexagenaria o Sexagesimal, de uso frecuente entre los astrónomos, que expresa todos los Números, Enteros o Fracciones posibles, Racionales o Surd, mediante potencias de
sesenta
, y ciertos coeficientes numéricos que no exceden de cincuenta. nueve.
