Número superior altamente compuesto

Clase de números naturales

Función divisora ​​d ( n ) hasta n = 250

Factores de potencia primaria

En teoría de números , un número superior altamente compuesto es un número natural que, en un sentido particularmente riguroso, tiene muchos divisores . En particular, se define por una relación entre el número de divisores que tiene un número entero y ese número entero elevado a alguna potencia positiva.

Para cualquier exponente posible , el número entero que tenga la mayor proporción es un número superior altamente compuesto. Es una restricción más fuerte que la de un número altamente compuesto , que se define como tener más divisores que cualquier entero positivo más pequeño.

Se enumeran los primeros diez números superiores altamente compuestos y su factorización.

Gráfico del número de divisores de números enteros del 1 al 1000. Los números altamente compuestos están etiquetados en negrita y los números superiores altamente compuestos están marcados con estrella. En el archivo SVG, pase el cursor sobre una barra para ver sus estadísticas.

Para un número superior altamente compuesto n existe un número real positivo ε tal que para todos los números naturales k menores que n tenemos

$${\displaystyle {\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}\geq {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}}$$

y para todos los números naturales k mayores que n tenemos

$${\displaystyle {\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}>{\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}}$$

d ( n )función divisoranRamanujan^[1]

Por ejemplo, el número con más divisores por raíz cuadrada del número en sí es 12; esto se puede demostrar utilizando algunos compuestos altamente compuestos cerca de 12.

$${\displaystyle {\frac {2}{2^{.5}}}\approx 1.414,{\frac {3}{4^{.5}}}=1.5,{\frac {4}{6^{.5}}}\approx 1.633,{\frac {6}{12^{.5}}}\approx 1.732,{\frac {8}{24^{.5}}}\approx 1.633,{\frac {12}{60^{.5}}}\approx 1.549}$$

120 es otro número altamente compuesto superior porque tiene la mayor proporción de divisores consigo mismo elevado a la potencia .4.

$${\displaystyle {\frac {9}{36^{.4}}}\approx 2.146,{\frac {10}{48^{.4}}}\approx 2.126,{\frac {12}{60^{.4}}}\approx 2.333,{\frac {16}{120^{.4}}}\approx 2.357,{\frac {18}{180^{.4}}}\approx 2.255,{\frac {20}{240^{.4}}}\approx 2.233,{\frac {24}{360^{.4}}}\approx 2.279}$$

Los primeros 15 números superiores altamente compuestos, 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (secuencia A 002201 en la OEIS ) son también los primeros 15 colosalmente números abundantes , que cumplen una condición similar basada en la función de suma de divisores en lugar del número de divisores. Sin embargo, ningún conjunto es subconjunto del otro.

Propiedades

Diagrama de Euler de números menores de 100:

   Abundante

   Primitivo abundante

   Muy abundante

   Sobreabundante y muy compuesto.

   Colosalmente abundante y superior altamente compuesto.

   Extraño

   Perfecto

   Compuesto

   Deficiente

Todos los números superiores altamente compuestos son altamente compuestos . Esto es fácil de probar: si hay algún número k que tiene el mismo número de divisores que n pero es menor que el propio n (es decir , pero ), entonces para todos los ε positivos, entonces si un número "n" no es altamente compuesto , no puede ser superior a un altamente compuesto. ${\displaystyle d(k)=d(n)}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle {\frac {d(k)}{k^{\varepsilon }}}>{\frac {d(n)}{n^{\varepsilon }}}}$

Una construcción efectiva del conjunto de todos los números superiores altamente compuestos viene dada por el siguiente mapeo monótono de los números reales positivos. ^[2] dejar

$${\displaystyle e_{p}(x)=\left\lfloor {\frac {1}{{\sqrt[{x}]{p}}-1}}\right\rfloor }$$

px

$${\displaystyle s(x)=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{e_{p}(x)}}$$

Tenga en cuenta que no es necesario calcular el producto indefinidamente, porque si es así , entonces el producto a calcular se puede terminar una vez . ${\displaystyle p>2^{x}}$ ${\displaystyle e_{p}(x)=0}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle p\geq 2^{x}}$

Tenga en cuenta también que en la definición de , es análogo a la definición implícita de un número superior altamente compuesto. ${\displaystyle e_{p}(x)}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Además, para cada número superior altamente compuesto existe un intervalo medio abierto tal que . ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \forall x\in I:s(x)=s'}$

Esta representación implica que existe una secuencia infinita de tal que para el n -ésimo número altamente compuesto superior se cumple ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2},\ldots \in \mathbb {P} }$ ${\displaystyle s_{n}}$

$${\displaystyle s_{n}=\prod _{i=1}^{n}\pi _{i}}$$

Los primeros son 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7,... (secuencia A000705 en el OEIS ). En otras palabras, el cociente de dos números superiores altamente compuestos sucesivos es un número primo. ${\displaystyle \pi _{i}}$

Base

Los primeros números superiores altamente compuestos se han utilizado a menudo como rádices , debido a su alta divisibilidad para su tamaño. Por ejemplo:

• Binario (base 2)
• Senario (base 6)
• Duodecimal (base 12)
• Sexagesimal (base 60)

Los SHCN más grandes se pueden utilizar de otras formas. 120 aparece como la centena larga , mientras que 360 ​​aparece como el número de grados en un círculo.

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Número superior altamente compuesto". mathworld.wolfram.com . Consultado el 5 de marzo de 2021 .
2. Ramanujan (1915); ver también URL http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/hcn.dvi

Referencias

• Ramanujan, S. (1915). "Números muy compuestos". Proc. Matemáticas de Londres. Soc . Serie 2. 14 : 347–409. doi :10.1112/plms/s2_14.1.347. JFM  45.1248.01. Reimpreso en Collected Papers (Ed. GH Hardy et al.), Nueva York: Chelsea, págs. 78-129, 1962
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . págs. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número superior altamente compuesto". MundoMatemático .