El concepto de masa en la relatividad general (GR) es más sutil de definir que el concepto de masa en la relatividad especial . De hecho, la relatividad general no ofrece una definición única del término masa, sino que ofrece varias definiciones diferentes que son aplicables en diferentes circunstancias. En algunas circunstancias, es posible que la masa de un sistema en la relatividad general ni siquiera esté definida.
La razón de esta sutileza es que la energía y el impulso en el campo gravitacional no pueden localizarse de manera inequívoca. (Ver Capítulo 20 de [1] .) Así, las definiciones rigurosas de la masa en la relatividad general no son locales, como en la mecánica clásica o la relatividad especial, sino que hacen referencia a la naturaleza asintótica del espacio-tiempo. Existe una noción bien definida de masa para espacios-tiempos asintóticamente planos y para espacios asintóticamente Anti-de Sitter . Sin embargo, estas definiciones deben usarse con cuidado en otros entornos.
En la relatividad especial, la masa en reposo de una partícula se puede definir sin ambigüedades en términos de su energía y momento, como se describe en el artículo sobre la masa en la relatividad especial . Sin embargo, generalizar la noción de energía y momento a la relatividad general es sutil. La razón principal de esto es que el propio campo gravitacional contribuye a la energía y el impulso. Sin embargo, la "energía del campo gravitacional" no forma parte del tensor de energía-momento; en cambio, lo que podría identificarse como la contribución del campo gravitacional a la energía total es parte del tensor de Einstein en el otro lado de la ecuación de Einstein (y, como tal, una consecuencia de la no linealidad de estas ecuaciones). Si bien en determinadas situaciones es posible reescribir las ecuaciones de modo que parte de la "energía gravitacional" ahora esté junto a los otros términos fuente en la forma del pseudotensor tensión-energía-momento , esta separación no es cierta para todos los observadores, y hay No existe una definición general para obtenerlo. [2]
Entonces, ¿cómo se define un concepto como la masa total de un sistema, que se define fácilmente en la mecánica clásica? Resulta que, al menos para los espacio-tiempos que son asintóticamente planos (en términos generales, que representan algún sistema gravitante aislado en un espacio infinito vacío y libre de gravedad), la división ADM 3+1 conduce a una solución: como en el habitual hamiltoniano formalismo , la dirección del tiempo utilizada en esa división tiene una energía asociada, que puede integrarse para producir una cantidad global conocida como masa ADM (o, equivalentemente, energía ADM). [3] Alternativamente, existe la posibilidad de definir masa para un espacio-tiempo que es estacionario , en otras palabras, uno que tiene un campo vectorial Killing similar al tiempo (que, como campo generador de tiempo, está canónicamente conjugado con energía); el resultado es la llamada masa de Komar [4] [5] Aunque se define de una manera totalmente diferente, se puede demostrar que es equivalente a la masa ADM para espaciotiempos estacionarios. [6] La definición de integral de Komar también se puede generalizar a campos no estacionarios para los cuales existe al menos una simetría de traducción temporal asintótica ; Al imponer una determinada condición de calibre, se puede definir la energía de Bondi en el infinito nulo. En cierto modo, la energía ADM mide toda la energía contenida en el espacio-tiempo, mientras que la energía Bondi excluye aquellas partes arrastradas por las ondas gravitacionales hasta el infinito. [5] Se ha invertido un gran esfuerzo en demostrar teoremas de positividad para las masas recién definidas, sobre todo porque la positividad, o al menos la existencia de un límite inferior, tiene relación con la cuestión más fundamental de la acotación desde abajo: si no hubiera límite inferior de la energía, entonces ningún sistema aislado sería absolutamente estable; siempre existiría la posibilidad de una desintegración a un estado de energía total aún menor. Existen varios tipos de pruebas de que tanto la masa ADM como la masa Bondi son positivas; en particular, esto significa que el espacio de Minkowski (para el cual ambos son cero) es efectivamente estable. [7] Si bien aquí la atención se ha centrado en la energía, existen definiciones análogas para el impulso global; Dado un campo de vectores de Killing angulares y siguiendo la técnica de Komar, también se puede definir el momento angular global. [8]
La desventaja de todas las definiciones mencionadas hasta ahora es que se definen sólo en el infinito (nulo o espacial); Desde la década de 1970, físicos y matemáticos han trabajado en el esfuerzo más ambicioso de definir cantidades cuasi locales adecuadas , como la masa de un sistema aislado definido utilizando sólo cantidades definidas dentro de una región finita del espacio que contiene ese sistema. Sin embargo, si bien existe una variedad de definiciones propuestas, como la energía de Hawking , la energía de Geroch o la energía-momento cuasi local de Penrose basadas en métodos de torsión , el campo aún está en constante cambio. Con el tiempo, la esperanza es utilizar una masa cuasi local definida adecuada para dar una formulación más precisa de la conjetura del aro , probar la llamada desigualdad de Penrose para los agujeros negros (relacionando la masa del agujero negro con el área del horizonte) y encontrar una masa cuasi local -Versión local de las leyes de la mecánica de los agujeros negros. [9]
Una definición no técnica de espaciotiempo estacionario es un espaciotiempo donde ninguno de los coeficientes métricos es función del tiempo. La métrica de Schwarzschild de un agujero negro y la métrica de Kerr de un agujero negro en rotación son ejemplos comunes de espaciotiempos estacionarios.
Por definición, un espacio-tiempo estacionario exhibe simetría de traducción del tiempo . Esto técnicamente se llama vector de muerte similar al tiempo . Debido a que el sistema tiene una simetría de traslación del tiempo, el teorema de Noether garantiza que tiene una energía conservada. Debido a que un sistema estacionario también tiene un sistema de reposo bien definido en el que su momento puede considerarse cero, definir la energía del sistema también define su masa. En relatividad general, esta masa se llama masa de Komar del sistema. La masa de Komar sólo se puede definir para sistemas estacionarios.
La masa de Komar también se puede definir mediante una integral de flujo. Esto es similar a la forma en que la ley de Gauss define la carga encerrada por una superficie como la fuerza eléctrica normal multiplicada por el área. Sin embargo, la integral de flujo utilizada para definir la masa de Komar es ligeramente diferente de la utilizada para definir el campo eléctrico: la fuerza normal no es la fuerza real, sino la "fuerza en el infinito". Consulte el artículo principal para obtener más detalles.
De las dos definiciones, la descripción de la masa de Komar en términos de simetría de traslación temporal proporciona la visión más profunda.
Si un sistema que contiene fuentes gravitacionales está rodeado por una región de vacío infinita, la geometría del espacio-tiempo tenderá a acercarse a la geometría plana de Minkowski de la relatividad especial en el infinito. Estos espacios-tiempos se conocen como espacios-tiempos "asintóticamente planos".
Para sistemas en los que el espacio-tiempo es asintóticamente plano , se pueden definir la energía, el momento y la masa de ADM y Bondi. En términos del teorema de Noether, la energía, el impulso y la masa de ADM están definidos por las simetrías asintóticas en el infinito espacial , y la energía, el impulso y la masa de Bondi están definidos por las simetrías asintóticas en el infinito nulo . Tenga en cuenta que la masa se calcula como la longitud del cuatro vector energía-momento , que puede considerarse como la energía y el momento del sistema "en el infinito".
La energía ADM se define mediante la siguiente integral de flujo en el infinito. [1] Si un espacio-tiempo es asintóticamente plano, esto significa que cerca del "infinito" la métrica tiende a la del espacio plano. Las desviaciones asintóticas de la métrica lejos del espacio plano pueden parametrizarse mediante
¿Dónde está la métrica del espacio plano? La energía ADM entonces viene dada por una integral sobre una superficie, en el infinito
¿Dónde está la normal que apunta hacia afuera ? Se asume la convención de suma de Einstein para índices repetidos, pero la suma de k y j solo abarca las direcciones espaciales. El uso de derivadas ordinarias en lugar de derivadas covariantes en la fórmula anterior se justifica debido al supuesto de que la geometría asintótica es plana.
Se puede obtener cierta intuición para la fórmula anterior de la siguiente manera. Imagine que tomamos la superficie, S, como una superficie esférica de modo que la normal apunte radialmente hacia afuera. A grandes distancias de la fuente de energía, r, se espera que el tensor caiga como y la derivada con respecto a r convierte esto en El área de la esfera en un radio grande también crece precisamente como y por lo tanto se obtiene un valor finito para la energía.
También es posible obtener expresiones para el momento en el espacio-tiempo asintóticamente plano. Para obtener tal expresión se define
dónde
Entonces el impulso se obtiene mediante una integral de flujo en la región asintóticamente plana
Tenga en cuenta que la expresión obtenida de la fórmula anterior coincide con la expresión de la energía ADM dada anteriormente, como se puede comprobar fácilmente utilizando la expresión explícita para H.
En el límite newtoniano, para sistemas cuasiestáticos en espacio-tiempo casi plano, se puede aproximar la energía total del sistema sumando los componentes no gravitacionales de la energía del sistema y luego restando la energía de enlace gravitacional newtoniana .
Traduciendo la afirmación anterior al lenguaje de la relatividad general, decimos que un sistema en un espacio-tiempo casi plano tiene una energía no gravitacional total E y un momento P dado por:
Cuando los componentes del vector de impulso del sistema son cero, es decir, P i = 0, la masa aproximada del sistema es simplemente ( unión E+E )/c 2 , siendo la unión E un número negativo que representa la autovinculación gravitacional newtoniana. energía.
Por lo tanto, cuando se supone que el sistema es cuasiestático, se supone que no hay energía significativa presente en forma de "ondas gravitacionales". Cuando se supone que el sistema está en un espacio-tiempo "casi plano", se supone que los coeficientes métricos son esencialmente minkowskianos dentro de un error experimental aceptable.
Se puede ver que las fórmulas para la energía y el momento totales surgen naturalmente en este límite de la siguiente manera. [1] En el límite linealizado, las ecuaciones de la relatividad general se pueden escribir en la forma
En este límite, la energía-momento total del sistema viene dada simplemente integrando el tensor de tensión en una porción espacial.
Pero usando las ecuaciones de movimiento, también se puede escribir esto como
donde la suma sobre j abarca solo las direcciones espaciales y la segunda igualdad usa el hecho de que es antisimétrico en y . Finalmente, se utiliza la ley de Gauss para convertir la integral de una divergencia sobre la porción espacial en una integral sobre una esfera gaussiana.
que coincide precisamente con la fórmula para el impulso total dada anteriormente.
En 1918, David Hilbert escribió sobre la dificultad de asignar una energía a un "campo" y "el fracaso del teorema de la energía" en una correspondencia con Klein . En esta carta, Hilbert conjetura que este fracaso es un rasgo característico de la teoría general, y que en lugar de "teoremas de energía adecuados" se tenían "teoremas de energía inadecuados".
Uno de los colaboradores más cercanos de Hilbert, Emmy Noether , pronto demostró que esta conjetura era correcta. El teorema de Noether se aplica a cualquier sistema que pueda describirse mediante un principio de acción . El teorema de Noether asocia energías conservadas con simetrías de traslación del tiempo. Cuando la simetría de traslación en el tiempo es un grupo continuo de parámetros finitos , como el grupo de Poincaré , el teorema de Noether define una energía escalar conservada para el sistema en cuestión. Sin embargo, cuando la simetría es un grupo continuo de parámetros infinitos, no se garantiza la existencia de una energía conservada. De manera similar, el teorema de Noether asocia momentos conservados con traslaciones espaciales, cuando el grupo de simetría de las traslaciones es de dimensión finita. Debido a que la Relatividad General es una teoría invariante del difeomorfismo , tiene un grupo continuo infinito de simetrías en lugar de un grupo de simetrías de parámetros finitos y, por lo tanto, tiene una estructura de grupo incorrecta para garantizar una energía conservada. El teorema de Noether ha influido en inspirar y unificar varias ideas de masa, energía del sistema y momento del sistema en la Relatividad General.
Como ejemplo de la aplicación del teorema de Noether está el ejemplo del espacio-tiempo estacionario y su masa de Komar asociada (Komar 1959). Mientras que los espacio-tiempos generales carecen de una simetría de traducción del tiempo de parámetros finitos, los espacios-tiempo estacionarios tienen dicha simetría, conocida como vector Killing . El teorema de Noether demuestra que tales espacios-tiempos estacionarios deben tener asociada una energía conservada. Esta energía conservada define una masa conservada, la masa de Komar.
La masa de ADM se introdujo (Arnowitt et al., 1960) a partir de una formulación de valor inicial de la relatividad general. Posteriormente fue reformulado en términos del grupo de simetrías asintóticas en el infinito espacial, el grupo SPI, por varios autores. (Celebrada, 1980). Esta reformulación contribuyó mucho a aclarar la teoría, incluida la explicación de por qué el impulso de ADM y la energía de ADM se transforman en 4 vectores (Held, 1980). Tenga en cuenta que el grupo SPI es en realidad de dimensión infinita. La existencia de cantidades conservadas se debe a que el grupo SPI de "supertraducciones" tiene un subgrupo preferido de traducciones "puras" de 4 parámetros que, según el teorema de Noether, genera un momento de energía conservado de 4 parámetros. La norma de esta energía-momento de 4 parámetros es la masa ADM.
La masa de Bondi fue introducida (Bondi, 1962) en un artículo que estudiaba la pérdida de masa de sistemas físicos a través de la radiación gravitacional. La masa de Bondi también está asociada con un grupo de simetrías asintóticas, el grupo BMS en el infinito nulo. Al igual que el grupo SPI en el infinito espacial, el grupo BMS en el infinito nulo es de dimensión infinita y también tiene un subgrupo preferido de 4 parámetros de traducciones "puras".
Otro enfoque al problema de la energía en la Relatividad General es el uso de pseudotensores como el pseudotensor de Landau-Lifshitz (Landau y Lifshitz, 1962). Los pseudotensores no son invariantes de calibre; debido a esto, solo dan respuestas consistentes independientes del calibre para la energía total cuando se cumplen restricciones adicionales (como la planitud asintótica). La dependencia del calibre de los pseudotensores también impide cualquier definición independiente del calibre de la densidad de energía local, ya que cada elección de calibre diferente da como resultado una densidad de energía local diferente.
