Masa de Komar

Concepto de masa utilizado en la relatividad general

La masa de Komar (nombrada en honor a Arthur Komar ^[1] ) de un sistema es uno de los varios conceptos formales de masa que se utilizan en la relatividad general . La masa de Komar se puede definir en cualquier espacio-tiempo estacionario , que es un espacio-tiempo en el que todos los componentes métricos se pueden escribir de manera que sean independientes del tiempo. Alternativamente, un espacio-tiempo estacionario se puede definir como un espacio-tiempo que posee un campo vectorial de Killing similar al tiempo .

La siguiente discusión es una versión ampliada y simplificada del tratamiento motivacional en (Wald, 1984, pág. 288).

Motivación

Consideremos la métrica de Schwarzschild . Utilizando la base de Schwarzschild, un campo de referencia para la métrica de Schwarzschild, se puede determinar que la aceleración radial necesaria para mantener estacionaria una masa de prueba en una coordenada de Schwarzschild de r es:

${\displaystyle a^{\hat {r}}={\frac {m}{r^{2}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}}$

Debido a que la métrica es estática, existe un significado bien definido para "mantener una partícula estacionaria".

Interpretando esta aceleración como debida a una "fuerza gravitacional", podemos entonces calcular la integral de la aceleración normal multiplicada por el área para obtener una integral de la "ley de Gauss" de:

${\displaystyle {\frac {4\pi m}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}$

Si bien esto se acerca a una constante a medida que r se acerca al infinito, no es una constante independiente de r . Por lo tanto, estamos motivados a introducir un factor de corrección para hacer que la integral anterior sea independiente del radio r de la capa que la encierra. Para la métrica de Schwarzschild, este factor de corrección es simplemente , el factor de "desplazamiento al rojo" o "dilatación del tiempo" a la distancia r . También se puede considerar este factor como una "corrección" de la fuerza local a la "fuerza en el infinito", la fuerza que un observador en el infinito necesitaría aplicar a través de una cuerda para mantener la partícula estacionaria. (Wald, 1984). ${\displaystyle {\sqrt {g_{tt}}}}$

Para continuar, escribiremos un elemento de línea para una métrica estática.

${\displaystyle ds^{2}=g_{tt}\,dt^{2}+\mathrm {quadratic\ form} (dx,\,dy,\,dz)}$

donde y la forma cuadrática son funciones únicamente de las coordenadas espaciales x , y , z y no son funciones del tiempo. A pesar de nuestras elecciones de nombres de variables, no se debe asumir que nuestro sistema de coordenadas es cartesiano. El hecho de que ninguno de los coeficientes métricos sea función del tiempo hace que la métrica sea estacionaria: el hecho adicional de que no hay "términos cruzados" que involucren componentes tanto de tiempo como de espacio (como ) la hace estática. ${\displaystyle g_{tt}}$ ${\displaystyle dxdt}$

Debido al supuesto simplificador de que algunos de los coeficientes métricos son cero, algunos de nuestros resultados en este tratamiento motivacional no serán tan generales como podrían ser.

En un espacio-tiempo plano, la aceleración propia necesaria para mantener la posición es , donde u es la 4-velocidad de nuestra partícula suspendida y es el tiempo propio. En un espacio-tiempo curvo, debemos tomar la derivada covariante. Por lo tanto, calculamos el vector de aceleración como: ${\displaystyle du/d\tau }$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle a^{b}=\nabla _{u}u^{b}=u^{c}\nabla _{c}u^{b}}$

${\displaystyle a_{b}=u^{c}\nabla _{c}u_{b}}$

donde es un vector unitario de tiempo tal que ${\displaystyle u^{b}}$ ${\displaystyle u^{b}u_{b}=-1.}$

El componente del vector de aceleración normal a la superficie es

${\displaystyle a_{\mathrm {norm} }=N^{b}a_{b}}$

donde N ^b es un vector unitario normal a la superficie.

En un sistema de coordenadas de Schwarzschild, por ejemplo, encontramos que

${\displaystyle N^{b}a_{b}={\frac {{\frac {\partial g_{tt}}{\partial r}}c^{2}}{2g_{tt}{\sqrt {g_{rr}}}}}={\frac {m}{r^{2}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}}$

Como se esperaba, simplemente hemos vuelto a derivar los resultados anteriores presentados en un campo de marco en una base de coordenadas.

Nosotros definimos

${\displaystyle a_{\inf }={\sqrt {g_{tt}}}\,a}$

De modo que en nuestro ejemplo de Schwarzschild: ${\displaystyle N^{b}a_{\inf \,b}=m/r^{2}.}$

Si lo deseamos, podemos derivar las aceleraciones y la "aceleración en el infinito" ajustada a partir de un potencial escalar Z, aunque no hay necesariamente ninguna ventaja particular en hacerlo. (Wald 1984, pág. 158, problema 4) ${\displaystyle a_{b}}$ ${\displaystyle a_{\inf \,b}}$

${\displaystyle a_{b}=\nabla _{b}Z_{1}\qquad Z_{1}=\ln {g_{tt}}}$

${\displaystyle a_{\inf \,b}=\nabla _{b}Z_{2}\qquad Z_{2}={\sqrt {g_{tt}}}}$

Demostraremos que al integrar el componente normal de la "aceleración en el infinito" sobre una superficie límite, obtenemos una cantidad que no depende de la forma de la esfera que la encierra, de modo que podemos calcular la masa encerrada por una esfera mediante la integral. ${\displaystyle a_{\inf }}$

${\displaystyle m=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{A}N^{b}a_{\inf \,b}\;dA}$

Para hacer esta demostración, necesitamos expresar esta integral de superficie como una integral de volumen. En un espacio-tiempo plano, utilizaríamos el teorema de Stokes e integraríamos sobre el volumen. En un espacio-tiempo curvo, este enfoque debe modificarse ligeramente. ${\displaystyle -\nabla \cdot a_{\inf }}$

Utilizando las fórmulas para el electromagnetismo en el espacio-tiempo curvo como guía, escribimos en su lugar.

${\displaystyle F_{ab}=a_{\inf \,a}\,u_{b}-a_{\inf \,b}\,u_{a}}$

donde F juega un papel similar al "tensor de Faraday", ya que podemos encontrar el valor de la "carga gravitacional", es decir, la masa, evaluándola e integrándola sobre el volumen de nuestra esfera. ${\displaystyle a_{\inf \,a}=F_{ab}u^{b}}$ ${\displaystyle \nabla ^{a}F_{ab}u^{b}}$

Un enfoque alternativo sería utilizar formas diferenciales , pero el enfoque anterior es computacionalmente más conveniente y no requiere que el lector comprenda las formas diferenciales.

Un cálculo largo, pero sencillo (con álgebra computacional) a partir de nuestro elemento de línea asumido nos muestra que

${\displaystyle -u^{b}\nabla ^{a}F_{ab}={\sqrt {g_{tt}}}R_{00}u^{a}u^{b}={\sqrt {g_{tt}}}R_{ab}u^{a}u^{b}}$

Así podemos escribir

${\displaystyle m={\frac {\sqrt {g_{tt}}}{4\pi }}\int _{V}R_{ab}u^{a}u^{b}}$

En cualquier región de vacío del espacio-tiempo, todos los componentes del tensor de Ricci deben ser cero. Esto demuestra que encerrar cualquier cantidad de vacío no cambiará nuestra integral de volumen. También significa que nuestra integral de volumen será constante para cualquier superficie que la encierre, siempre que encierremos toda la masa gravitante dentro de nuestra superficie. Debido a que el teorema de Stokes garantiza que nuestra integral de superficie es igual a la integral de volumen anterior, nuestra integral de superficie también será independiente de la superficie que la encierre siempre que la superficie encierre toda la masa gravitante.

Utilizando las ecuaciones de campo de Einstein

${\displaystyle G^{u}{}_{v}=R^{u}{}_{v}-{\frac {1}{2}}RI^{u}{}_{v}=8\pi T^{u}{}_{v}}$

Dejando u=v y sumando, podemos demostrar que ${\displaystyle R=-8\pi T.}$

Esto nos permite reescribir nuestra fórmula de masa como una integral de volumen del tensor de tensión-energía.

${\displaystyle m=\int _{V}{\sqrt {g_{tt}}}\left(2T_{ab}-Tg_{ab}\right)u^{a}u^{b}dV}$

dónde

• V es el volumen sobre el que se está integrando;
• T _ab es el tensor de tensión-energía ;
• u ^a es un vector unitario de tiempo tal que u ^a u _a = -1.

Masa de Komar como integral de volumen: métrica estacionaria general

Para que la fórmula de la masa de Komar funcione para una métrica estacionaria general, independientemente de la elección de las coordenadas, debe modificarse ligeramente. Presentaremos el resultado aplicable de (Wald, 1984, ecuación 11.2.10) sin una prueba formal.

${\displaystyle m=\int _{V}\left(2T_{ab}-Tg_{ab}\right)u^{a}\xi ^{b}dV,}$

dónde

• V es el volumen que se está integrando
• T _ab es el tensor de tensión-energía ;
• u ^a es un vector unitario de tiempo tal que u ^a u _a = -1;
• ${\displaystyle \xi ^{b}}$es un vector de Killing , que expresa la simetría de traslación temporal de cualquier métrica estacionaria . El vector de Killing está normalizado de modo que tenga una longitud unitaria en el infinito, es decir, de modo que en el infinito. ${\displaystyle \xi ^{a}\xi _{a}=-1}$

Tenga en cuenta que reemplaza en nuestro resultado motivacional. ${\displaystyle \xi ^{b}}$ ${\displaystyle {\sqrt {g_{tt}}}u^{b}\,}$

Si ninguno de los coeficientes métricos es función del tiempo, ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \xi ^{a}=(1,0,0,0).}$

Si bien no es necesario elegir coordenadas para un espacio-tiempo estacionario tales que los coeficientes métricos sean independientes del tiempo, a menudo es conveniente .

Cuando elegimos tales coordenadas, el vector de Killing similar al tiempo para nuestro sistema se convierte en un múltiplo escalar de un vector de tiempo-coordenada unitaria, es decir , cuando este es el caso, podemos reescribir nuestra fórmula como ${\displaystyle \xi ^{a}}$ ${\displaystyle u^{a},}$ ${\displaystyle \xi ^{a}=Ku^{a}.}$

${\displaystyle m=\int _{V}\left(2T_{00}-Tg_{00}\right)KdV}$

Debido a que por definición es un vector unitario, K es simplemente la longitud de , es decir, K = . ${\displaystyle u^{a}}$ ${\displaystyle \xi ^{b}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}}$

Al evaluar el factor de "desplazamiento al rojo" K en base a nuestro conocimiento de los componentes de , podemos ver que K = . ${\displaystyle \xi ^{a}}$ ${\displaystyle {\sqrt {g_{tt}}}}$

Si elegimos nuestras coordenadas espaciales de modo que tengamos una métrica localmente minkowskiana, sabemos que ${\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}}$

${\displaystyle g_{00}=-1,T=-T_{00}+T_{11}+T_{22}+T_{33}}$

Con estas opciones de coordenadas, podemos escribir nuestra integral de Komar como

${\displaystyle m=\int _{V}{\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}\left(T_{00}+T_{11}+T_{22}+T_{33}\right)dV}$

Si bien no podemos elegir un sistema de coordenadas para hacer que un espacio-tiempo curvo sea globalmente minkowskiano, la fórmula anterior proporciona una idea del significado de la fórmula de masa de Komar. Básicamente, tanto la energía como la presión contribuyen a la masa de Komar. Además, la contribución de la energía y la masa locales a la masa del sistema se multiplica por el factor de "desplazamiento al rojo" local. ${\displaystyle K={\sqrt {g_{tt}}}={\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}}$

Masa de Komar como integral de superficie: métrica estacionaria general

También deseamos dar el resultado general para expresar la masa de Komar como una integral de superficie.

La fórmula para la masa de Komar en términos de la métrica y su vector Killing es (Wald, 1984, pág. 289, fórmula 11.2.9)

${\displaystyle m=-{\frac {1}{8\pi }}\int _{S}\epsilon _{abcd}\nabla ^{c}\xi ^{d}}$

donde están los símbolos de Levi-civita y es el vector de Killing de nuestra métrica estacionaria , normalizado de modo que en el infinito. ${\displaystyle \epsilon _{abcd}}$ ${\displaystyle \xi ^{d}}$ ${\displaystyle \xi ^{a}\xi _{a}=-1}$

La integral de superficie anterior se interpreta como la integral "natural" de una forma dos sobre una variedad.

Como se mencionó anteriormente, si ninguno de los coeficientes métricos es función del tiempo, ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \xi ^{a}=\left(1,0,0,0\right)}$

Véase también

• Superpotencial de Komar
• Masa en la relatividad general

Notas

1. Komar, Arthur (15 de febrero de 1963). "Densidad de energía positiva definida y consecuencias globales para la relatividad general". Physical Review . 129 (4). American Physical Society (APS): 1873–1876. Código Bibliográfico :1963PhRv..129.1873K. doi :10.1103/physrev.129.1873. ISSN  0031-899X.

Referencias

• Wald, Robert M (1984). Relatividad general . University of Chicago Press . ISBN 0-226-87033-2.
• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)