Teoría de twistores

Posible camino hacia la gravedad cuántica propuesto por Roger Penrose

En física teórica , la teoría de twistores fue propuesta por Roger Penrose en 1967 ^[1] como un posible camino ^[2] hacia la gravedad cuántica y ha evolucionado hasta convertirse en una rama ampliamente estudiada de la física teórica y matemática . La idea de Penrose era que el espacio de twistores debería ser el ámbito básico de la física desde el que debería surgir el propio espacio-tiempo . Ha dado lugar a potentes herramientas matemáticas que tienen aplicaciones en la geometría diferencial e integral , las ecuaciones diferenciales no lineales y la teoría de la representación , y en física en la relatividad general , la teoría cuántica de campos y la teoría de las amplitudes de dispersión .

La teoría de twistores surgió en el contexto de los rápidos avances matemáticos en la teoría de la relatividad general de Einstein a finales de los años 1950 y en los años 1960 y tiene una serie de influencias de ese período. En particular, Roger Penrose ha reconocido a Ivor Robinson como una importante influencia temprana en el desarrollo de la teoría de twistores, a través de su construcción de las llamadas congruencias de Robinson . ^[3]

Descripción general

El espacio twistor proyectivo es un espacio tridimensional proyectivo , la variedad algebraica compacta tridimensional más simple . Tiene una interpretación física como el espacio de partículas sin masa con espín . Es la proyectivización de un espacio vectorial complejo tetradimensional , un espacio twistor no proyectivo , con una forma hermítica de firma (2, 2) y una forma de volumen holomorfa . Esto se puede entender más naturalmente como el espacio de espinores quirales ( Weyl ) para el grupo conforme del espacio de Minkowski ; es la representación fundamental del grupo de espín del grupo conforme. Esta definición se puede extender a dimensiones arbitrarias excepto que más allá de la dimensión cuatro, se define el espacio twistor proyectivo como el espacio de espinores puros proyectivos ^{[4] [5]} para el grupo conforme. ^{[6] [7]} ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle SO(4,2)/\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle SU(2,2)}$

En su forma original, la teoría de twistores codifica los campos físicos en el espacio de Minkowski en términos de objetos analíticos complejos en el espacio de twistores a través de la transformada de Penrose . Esto es especialmente natural para campos sin masa de espín arbitrario . En primera instancia, estos se obtienen a través de fórmulas integrales de contorno en términos de funciones holomorfas libres en regiones en el espacio de twistores. Las funciones de twistores holomorfas que dan lugar a soluciones para las ecuaciones de campo sin masa se pueden entender más profundamente como representantes de Čech de clases de cohomología analítica en regiones en . Estas correspondencias se han extendido a ciertos campos no lineales, incluyendo la gravedad autodual en la construcción de gravitones no lineales de Penrose ^{[8] y} los campos de Yang-Mills autoduales en la llamada construcción de Ward; ^[9] el primero da lugar a deformaciones de la estructura compleja subyacente de las regiones en , y el segundo a ciertos fibrados vectoriales holomorfos sobre regiones en . Estas construcciones han tenido amplias aplicaciones, incluyendo entre otras la teoría de sistemas integrables . ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ ${\displaystyle \mathbb {PT} }$

La condición de autodualidad es una limitación importante para incorporar las no linealidades completas de las teorías físicas, aunque es suficiente para los monopolos de Yang–Mills–Higgs y los instantones (véase la construcción ADHM ). ^[13] Un intento temprano de superar esta restricción fue la introducción de los ambitwistores por Isenberg, Yasskin y Green, ^[14] y su extensión del superespacio , super-ambitwistores , por Edward Witten . ^[15] El espacio ambitwistor es el espacio de rayos de luz complejizados o partículas sin masa y puede considerarse como una complejización o fibrado cotangente de la descripción original del twistor. Al extender la correspondencia del ambitwistor a vecindarios formales adecuadamente definidos, Isenberg, Yasskin y Green ^[14] mostraron la equivalencia entre la desaparición de la curvatura a lo largo de tales líneas nulas extendidas y las ecuaciones de campo completas de Yang–Mills. ^[14] Witten ^[15] demostró que una extensión adicional, dentro del marco de la teoría super Yang-Mills, incluyendo campos fermiónicos y escalares, dio lugar, en el caso de supersimetría N  = 1 o 2 , a las ecuaciones de restricción, mientras que para N  = 3 (o 4), la condición de desaparición para la supercurvatura a lo largo de líneas supernulas (superambitwistores) implicaba el conjunto completo de ecuaciones de campo , incluidas las de los campos fermiónicos. Posteriormente se demostró que esto daba una equivalencia 1-1 ^{[ aclarar ]} entre las ecuaciones de restricción de curvatura nula y las ecuaciones de campo supersimétricas de Yang-Mills. ^{[16] [17]} A través de la reducción dimensional, también se puede deducir de la correspondencia super-ambitwistor análoga para  la teoría super-Yang-Mills de 10 dimensiones, N = 1. ^{[18] [19]}

Las fórmulas twistoriales para interacciones más allá del sector autodual también surgieron en la teoría de cuerdas twistoras de Witten ^[20] , que es una teoría cuántica de mapas holomorfos de una superficie de Riemann en el espacio twistor. Esto dio lugar a las fórmulas RSV (Roiban, Spradlin y Volovich) notablemente compactas para las matrices S de nivel de árbol de las teorías de Yang-Mills ^[21] , pero sus grados de libertad de gravedad dieron lugar a una versión de la supergravedad conforme que limita su aplicabilidad; la gravedad conforme es una teoría no física que contiene fantasmas , pero sus interacciones se combinan con las de la teoría de Yang-Mills en amplitudes de bucle calculadas a través de la teoría de cuerdas twistoras ^[22] .

A pesar de sus deficiencias, la teoría de cuerdas twistoras condujo a rápidos desarrollos en el estudio de amplitudes de dispersión. Uno fue el llamado formalismo MHV ^[23] basado vagamente en cuerdas desconectadas, pero que recibió una base más básica en términos de una acción twistor para la teoría completa de Yang-Mills en el espacio twistor. ^[24] Otro desarrollo clave fue la introducción de la recursión BCFW . ^[25] Esto tiene una formulación natural en el espacio twistor ^{[26] [27]} que a su vez condujo a notables formulaciones de amplitudes de dispersión en términos de fórmulas integrales de Grassmann ^{[28] [29]} y politopos . ^[30] Estas ideas han evolucionado más recientemente hacia el Grassmanniano positivo ^[31] y el amplituhedro .

La teoría de cuerdas twistoras se extendió primero generalizando la fórmula de amplitud de Yang-Mills de RSV, y luego encontrando la teoría de cuerdas subyacente . La extensión a la gravedad fue dada por Cachazo y Skinner, ^[32] y formulada como una teoría de cuerdas twistoras para la supergravedad máxima por David Skinner. ^[33] Luego Cachazo, He y Yuan encontraron fórmulas análogas en todas las dimensiones para la teoría de Yang-Mills y la gravedad ^[34] y posteriormente para una variedad de otras teorías. ^[35] Luego Mason y Skinner las entendieron como teorías de cuerdas en el espacio ambitwistor ^[36] en un marco general que incluye la cuerda twistora original y se extiende para dar una serie de nuevos modelos y fórmulas. ^{[37] [38] [39]} Como teorías de cuerdas, tienen las mismas dimensiones críticas que la teoría de cuerdas convencional; Por ejemplo, las versiones supersimétricas de tipo II son críticas en diez dimensiones y son equivalentes a la teoría de campo completa de las supergravedades de tipo II en diez dimensiones (esto es distinto de las teorías de cuerdas convencionales que también tienen una jerarquía infinita adicional de estados de espín más altos y masivos que proporcionan una terminación ultravioleta ). Se extienden para dar fórmulas para amplitudes de bucle ^{[40] [41]} y se pueden definir sobre fondos curvos. ^[42]

La correspondencia del twistor

Denote el espacio de Minkowski por , con coordenadas y signatura métrica de Lorentz . Introduzca índices de espinor de 2 componentes y establezca ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x^{a}=(t,x,y,z)}$ ${\displaystyle \eta _{ab}}$ ${\displaystyle (1,3)}$ ${\displaystyle A=0,1;\;A'=0',1',}$

${\displaystyle x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}t-z&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.}$

El espacio twistor no proyectivo es un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones con coordenadas denotadas por donde y son dos espinores de Weyl constantes . La forma hermítica se puede expresar definiendo una conjugación compleja de a su dual por de modo que la forma hermítica se puede expresar como ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)}$ ${\displaystyle \omega ^{A}}$ ${\displaystyle \pi _{A'}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)}$

${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}.}$

Esto, junto con la forma de volumen holomorfa, es invariante bajo el grupo SU(2,2), una cubierta cuádruple del grupo conforme C(1,3) del espaciotiempo de Minkowski compactificado. ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }}$

Los puntos en el espacio de Minkowski están relacionados con subespacios del espacio twistor a través de la relación de incidencia.

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

La relación de incidencia se conserva bajo un reescalamiento general del twistor, por lo que generalmente se trabaja en un espacio twistor proyectivo que es isomorfo como una variedad compleja a . Un punto determina una línea en parametrizada por Un twistor se entiende más fácilmente en el espacio-tiempo para valores complejos de las coordenadas donde define un biplano totalmente nulo que es autodual. Tome como real, entonces si se desvanece, entonces se encuentra en un rayo de luz, mientras que si no se desvanece, no hay soluciones y, de hecho, entonces corresponde a una partícula sin masa con espín que no está localizado en el espacio-tiempo real. ${\displaystyle \mathbb {PT} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ ${\displaystyle \pi _{A'}.}$ ${\displaystyle Z^{\alpha }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle Z^{\alpha }}$

Variaciones

Supertwistores

Los supertwistores son una extensión supersimétrica de los twistores introducidos por Alan Ferber en 1978. ^[43] El espacio de twistores no proyectivos se extiende por coordenadas fermiónicas donde es el número de supersimetrías de modo que un twistor ahora está dado por con anticonmutación. El grupo superconforme actúa naturalmente en este espacio y una versión supersimétrica de la transformada de Penrose lleva las clases de cohomología en el espacio de supertwistores a multipletes supersimétricos sin masa en el espacio de superMinkowski. El caso proporciona el objetivo para la cadena de twistores original de Penrose y el caso es el de la generalización de supergravedad de Skinner. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(\omega ^{A},\,\pi _{A'},\,\eta ^{i}\right),i=1,\ldots ,{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \eta ^{i}}$ ${\displaystyle SU(2,2|{\mathcal {N}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$

Generalización de dimensión superior de la correspondencia de Klein

J. Harnad y S. Shnider desarrollaron una generalización de mayor dimensión de la correspondencia de Klein que subyace a la teoría de twistores, aplicable a subespacios isótropos del espacio de Minkowski compactificado (complexificado) conformemente y sus extensiones de superespacios. ^{[4] [5]}

Colectores Hyperkähler

Las variedades de dimensión de Hyperkähler también admiten una correspondencia twistoral con un espacio twistoral de dimensión compleja . ^[44] ${\displaystyle 4k}$ ${\displaystyle 2k+1}$

Teoría del twistor palaciego

La construcción del gravitón no lineal codifica solo campos anti-auto-duales, es decir, zurdos. ^[8] Un primer paso hacia el problema de modificar el espacio twistor para codificar un campo gravitacional general es la codificación de campos diestros . Infinitesimalmente, estos se codifican en funciones twistoras o clases de cohomología de homogeneidad −6. La tarea de usar tales funciones twistoras de una manera completamente no lineal para obtener un gravitón no lineal diestro se ha denominado el problema ( gravitacional ) googly . ^[45] (La palabra " googly " es un término utilizado en el juego de cricket para una pelota lanzada con helicidad diestra utilizando la acción aparente que normalmente daría lugar a la helicidad zurda). La propuesta más reciente en esta dirección por Penrose en 2015 se basó en la geometría no conmutativa en el espacio twistor y se denominó teoría de twistores palaciales . ^[46] La teoría recibe su nombre del Palacio de Buckingham , donde Michael Atiyah ^[47] sugirió a Penrose el uso de un tipo de " álgebra no conmutativa ", un componente importante de la teoría. (La estructura de twistores subyacente en la teoría de twistores palaciegos no se modeló en el espacio de twistores sino en el álgebra cuántica de twistores holomórficos no conmutativos ).

Véase también

• Independencia de fondo
• Espacio-tiempo complejo
• Historia de la gravedad cuántica de bucles
• Congruencias de Robinson
• Red de giro
• Geometrías retorcidas

Notas

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Referencias

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Lectura adicional

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Enlaces externos

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• Penrose, Roger; Hadrovich, Fedja. "Teoría del giro".
• Hadrovich, Fedja, "Twistor Primer".
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• Spradlin, Marcus (2012). "Progreso y perspectivas en la teoría de cuerdas twistoras" (PDF) . hdl :11299/130081.
• MathWorld: Twistores.
• Reseña del Universo: "Teoría del Twistor".
• Archivos del boletín Twistor.