Marco de referencia

Sistema de coordenadas abstracto

En física y astronomía , un marco de referencia (o marco de referencia ) es un sistema de coordenadas abstracto , cuyo origen , orientación y escala se han especificado en el espacio físico . Se basa en un conjunto de puntos de referencia , definidos como puntos geométricos cuya posición se identifica tanto matemáticamente (con valores numéricos de coordenadas) como físicamente (señalada por marcadores convencionales). ^[1] Un caso especial importante es el de los marcos de referencia inerciales , un marco estacionario o en movimiento uniforme.

Para n dimensiones, n + 1 puntos de referencia son suficientes para definir completamente un marco de referencia. Utilizando coordenadas cartesianas rectangulares , se puede definir un marco de referencia con un punto de referencia en el origen y un punto de referencia a una unidad de distancia a lo largo de cada uno de los n ejes de coordenadas . ^{[ cita requerida ]}

En la relatividad de Einstein , los marcos de referencia se utilizan para especificar la relación entre un observador en movimiento y el fenómeno observado. En este contexto, el término a menudo se convierte en marco de referencia observacional (o marco de referencia observacional ), lo que implica que el observador está en reposo en el marco, aunque no necesariamente ubicado en su origen . Un marco de referencia relativista incluye (o implica) el tiempo de coordenadas , que no es igual en diferentes marcos de referencia que se mueven relativamente entre sí. La situación, por lo tanto, difiere de la relatividad galileana , en la que todos los tiempos de coordenadas posibles son esencialmente equivalentes. ^{[ cita requerida ]}

Definición

La necesidad de distinguir entre los diversos significados de "marco de referencia" ha dado lugar a una variedad de términos. Por ejemplo, a veces se añade como modificador el tipo de sistema de coordenadas, como en el marco de referencia cartesiano . A veces se enfatiza el estado de movimiento, como en el marco de referencia giratorio . A veces se enfatiza la forma en que se transforma en marcos considerados como relacionados, como en el marco de referencia galileano . A veces los marcos se distinguen por la escala de sus observaciones, como en los marcos de referencia macroscópicos y microscópicos . ^[2]

En este artículo, el término marco de referencia observacional se utiliza cuando el énfasis está puesto en el estado de movimiento en lugar de en la elección de coordenadas o el carácter de las observaciones o del aparato de observación. En este sentido, un marco de referencia observacional permite estudiar el efecto del movimiento sobre una familia completa de sistemas de coordenadas que podrían estar asociados a este marco. Por otra parte, un sistema de coordenadas puede emplearse para muchos propósitos donde el estado de movimiento no es la preocupación principal. Por ejemplo, un sistema de coordenadas puede adoptarse para aprovechar la simetría de un sistema. En una perspectiva aún más amplia, la formulación de muchos problemas en física emplea coordenadas generalizadas , modos normales o vectores propios , que sólo están indirectamente relacionados con el espacio y el tiempo. Parece útil separar los diversos aspectos de un marco de referencia para el análisis que sigue. Por lo tanto, tomamos los marcos de referencia observacionales, los sistemas de coordenadas y el equipo de observación como conceptos independientes, separados de la siguiente manera:

• Un marco de observación (como un marco inercial o un marco de referencia no inercial ) es un concepto físico relacionado con el estado de movimiento.
• Un sistema de coordenadas es un concepto matemático que equivale a una elección del lenguaje utilizado para describir las observaciones. ^[3] En consecuencia, un observador en un marco de referencia de observación puede elegir emplear cualquier sistema de coordenadas (cartesiano, polar, curvilíneo, generalizado, ...) para describir las observaciones realizadas desde ese marco de referencia. Un cambio en la elección de este sistema de coordenadas no cambia el estado de movimiento de un observador y, por lo tanto, no implica un cambio en el marco de referencia de observación del observador . Este punto de vista también se puede encontrar en otros lugares. ^[4] Lo cual no significa cuestionar que algunos sistemas de coordenadas pueden ser una mejor opción para algunas observaciones que otros.

• La elección de qué medir y con qué aparato de observación es una cuestión separada del estado de movimiento del observador y de la elección del sistema de coordenadas.

^[a]

Sistemas de coordenadas

Un observador O, situado en el origen de un conjunto local de coordenadas, un marco de referencia F. El observador en este marco utiliza las coordenadas ( x, y, z, t ) para describir un evento espaciotemporal, representado por una estrella.

Aunque el término "sistema de coordenadas" se utiliza a menudo (en particular por los físicos) en un sentido no técnico, tiene un significado preciso en matemáticas, y a veces eso es también lo que quiere decir el físico.

Un sistema de coordenadas en matemáticas es una faceta de la geometría o del álgebra , ^{[9] [10]} en particular, una propiedad de las variedades (por ejemplo, en física, espacios de configuración o espacios de fases ). ^{[11] [12]} Las coordenadas de un punto r en un espacio n -dimensional son simplemente un conjunto ordenado de n números: ^{[13] [14]}

${\displaystyle \mathbf {r} =[x^{1},\ x^{2},\ \dots ,\ x^{n}].}$

En un espacio de Banach general , estos números podrían ser (por ejemplo) coeficientes en una expansión funcional como una serie de Fourier . En un problema físico, podrían ser coordenadas del espacio-tiempo o amplitudes del modo normal . En un diseño de robot , podrían ser ángulos de rotaciones relativas, desplazamientos lineales o deformaciones de articulaciones . ^[15] Aquí supondremos que estas coordenadas pueden relacionarse con un sistema de coordenadas cartesianas mediante un conjunto de funciones:

${\displaystyle x^{j}=x^{j}(x,\ y,\ z,\ \dots ),\quad j=1,\ \dots ,\ n,}$

donde x , y , z , etc. son las n coordenadas cartesianas del punto. Dadas estas funciones, las superficies de coordenadas se definen mediante las relaciones:

${\displaystyle x^{j}(x,y,z,\dots )=\mathrm {constant} ,\quad j=1,\ \dots ,\ n.}$

La intersección de estas superficies define líneas de coordenadas . En cualquier punto seleccionado, las tangentes a las líneas de coordenadas que se intersecan en ese punto definen un conjunto de vectores base { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } en ese punto. Es decir: ^[16]

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}(\mathbf {r} )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i}+\epsilon ,\ \dots ,\ x^{n}\right)-\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i},\ \dots ,\ x^{n}\right)}{\epsilon }},\quad i=1,\ \dots ,\ n,}$

que se puede normalizar para que tenga una longitud unitaria. Para más detalles, consulte coordenadas curvilíneas .

Las superficies de coordenadas, las líneas de coordenadas y los vectores base son componentes de un sistema de coordenadas . ^[17] Si los vectores base son ortogonales en cada punto, el sistema de coordenadas es un sistema de coordenadas ortogonal .

Un aspecto importante de un sistema de coordenadas es su tensor métrico g _ik , que determina la longitud del arco ds en el sistema de coordenadas en términos de sus coordenadas: ^[18]

${\displaystyle (ds)^{2}=g_{ik}\ dx^{i}\ dx^{k},}$

donde se suman los índices repetidos.

Como se desprende de estas observaciones, un sistema de coordenadas es una construcción matemática , parte de un sistema axiomático . No existe una conexión necesaria entre los sistemas de coordenadas y el movimiento físico (o cualquier otro aspecto de la realidad). Sin embargo, los sistemas de coordenadas pueden incluir el tiempo como coordenada y pueden utilizarse para describir el movimiento. Por tanto, las transformaciones de Lorentz y las transformaciones galileanas pueden considerarse transformaciones de coordenadas .

Marco de referencia observacional

Tres marcos de referencia en relatividad especial. El marco negro está en reposo. El marco preparado se mueve al 40 % de la velocidad de la luz y el marco preparado doblemente al 80 %. Observe el cambio similar al de una tijera a medida que aumenta la velocidad.

Un marco de referencia observacional , a menudo denominado marco de referencia físico , marco de referencia o simplemente marco , es un concepto físico relacionado con un observador y el estado de movimiento del observador. Aquí adoptamos la visión expresada por Kumar y Barve: un marco de referencia observacional se caracteriza solo por su estado de movimiento . ^[19] Sin embargo, hay falta de unanimidad en este punto. En relatividad especial, a veces se hace la distinción entre un observador y un marco . Según esta visión, un marco es un observador más una red de coordenadas construida para ser un conjunto diestro ortonormal de vectores espaciales perpendiculares a un vector temporal. Véase Doran. ^[20] Esta visión restringida no se utiliza aquí y no se adopta universalmente ni siquiera en las discusiones sobre relatividad. ^{[21] [22]} En relatividad general, el uso de sistemas de coordenadas generales es común (véase, por ejemplo, la solución de Schwarzschild para el campo gravitacional fuera de una esfera aislada ^[23] ).

Existen dos tipos de marcos de referencia observacionales: inerciales y no inerciales . Un marco de referencia inercial se define como aquel en el que todas las leyes de la física toman su forma más simple. En la relatividad especial , estos marcos están relacionados por transformaciones de Lorentz , que están parametrizadas por la rapidez . En la mecánica newtoniana, una definición más restringida requiere únicamente que se cumpla la primera ley de Newton ; es decir, un marco inercial newtoniano es aquel en el que una partícula libre viaja en línea recta a velocidad constante , o está en reposo. Estos marcos están relacionados por transformaciones galileanas . Estas transformaciones relativistas y newtonianas se expresan en espacios de dimensión general en términos de representaciones del grupo de Poincaré y del grupo galileano .

A diferencia del marco inercial, un marco de referencia no inercial es aquel en el que se deben invocar fuerzas ficticias para explicar las observaciones. Un ejemplo es un marco de referencia de observación centrado en un punto de la superficie de la Tierra. Este marco de referencia orbita alrededor del centro de la Tierra, lo que introduce las fuerzas ficticias conocidas como fuerza de Coriolis , fuerza centrífuga y fuerza gravitacional . (Todas estas fuerzas, incluida la gravedad, desaparecen en un marco de referencia verdaderamente inercial, que es uno de caída libre).

Aparato de medición

Otro aspecto de un marco de referencia es el papel de los aparatos de medición (por ejemplo, relojes y varillas) unidos al marco (véase la cita de Norton más arriba). Esta cuestión no se aborda en este artículo y es de particular interés en la mecánica cuántica , donde la relación entre el observador y la medición aún se encuentra en discusión (véase el problema de la medición ).

En los experimentos de física, el marco de referencia en el que se encuentran en reposo los dispositivos de medición de laboratorio se suele denominar marco de referencia de laboratorio o simplemente "marco de referencia de laboratorio". Un ejemplo sería el marco de referencia en el que se encuentran en reposo los detectores de un acelerador de partículas. El marco de referencia de laboratorio en algunos experimentos es un marco inercial, pero no es necesario que lo sea (por ejemplo, el laboratorio en la superficie de la Tierra en muchos experimentos de física no es inercial). En los experimentos de física de partículas, a menudo resulta útil transformar las energías y los momentos de las partículas desde el marco de referencia de laboratorio donde se miden hasta el marco de referencia del centro de momento "marco COM", en el que a veces se simplifican los cálculos, ya que potencialmente toda la energía cinética aún presente en el marco COM puede utilizarse para fabricar nuevas partículas.

A este respecto, cabe señalar que los relojes y varillas que a menudo se utilizan en el pensamiento para describir los equipos de medición de los observadores, en la práctica se sustituyen por una metrología mucho más complicada e indirecta que está conectada con la naturaleza del vacío y utiliza relojes atómicos que funcionan según el modelo estándar y que deben corregirse por la dilatación del tiempo gravitacional . ^[24] (Véase segundo , metro y kilogramo ).

De hecho, Einstein creía que los relojes y las varillas eran simplemente dispositivos de medición convenientes y que debían ser reemplazados por entidades más fundamentales basadas, por ejemplo, en átomos y moléculas. ^[25]

Generalización

Brading y Castellani llevan el debate más allá de los simples sistemas de coordenadas espacio-temporales . ^[26] La extensión a sistemas de coordenadas que utilizan coordenadas generalizadas subyace a las formulaciones hamiltonianas y lagrangianas ^[27] de la teoría cuántica de campos , la mecánica relativista clásica y la gravedad cuántica . ^{[28] [29] [30] [31] [32]}

Instancias

• Marco de Referencia Terrestre Internacional
• Marco de referencia celeste internacional
• En mecánica de fluidos, especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo.

Otros marcos

• Campos de trama en la relatividad general
• Marco móvil en matemáticas

Véase también

• Mecánica analítica
• Mecánica aplicada
• Sistema de coordenadas cartesianas
• Marco del centro del momento
• Fuerza centrífuga
• Fuerza centrípeta
• Mecánica clásica
• Fuerza de Coriolis
• Coordenadas curvilíneas
• Referencia de datos
• Dinámica (física)
• Fórmulas de Frenet-Serret
• Invariancia galileana
• Relatividad general
• Coordenadas generalizadas
• Fuerzas generalizadas
• Marco de referencia geodésico
• Marco de referencia inercial
• Coordenadas locales
• Marco material-indiferencia
• Prueba de varilla y marco
• Cinemática
• Marco de referencia de laboratorio
• Transformación de Lorentz
• Principio de Mach
• Coordenadas ortogonales
• Principio de relatividad
• Marco de referencia cuántico

Notas

1. A continuación se presenta una cita aplicable a marcos de observación móviles y varios sistemas de coordenadas euclidianos tridimensionales asociados [ R , R′ , etc. ]: ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$

   En primer lugar, introducimos la noción de sistema de referencia , relacionada a su vez con la idea de observador : el sistema de referencia es, en cierto sentido, el "espacio euclidiano transportado por el observador". Démosle una definición más matemática:… el sistema de referencia es... el conjunto de todos los puntos del espacio euclidiano con el movimiento del cuerpo rígido del observador. Se dice que el sistema, denotado , se mueve con el observador.… Las posiciones espaciales de las partículas se etiquetan en relación con un sistema de coordenadas estableciendo un sistema de coordenadas R con origen O. Se puede considerar que el conjunto correspondiente de ejes, que comparte el movimiento del cuerpo rígido del sistema , da una realización física de . En un sistema , las coordenadas se cambian de R a R′ llevando a cabo, en cada instante de tiempo, la misma transformación de coordenadas en los componentes de los objetos intrínsecos (vectores y tensores) introducidos para representar cantidades físicas en este sistema . ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$

   y esto sobre la utilidad de separar las nociones de y [ R , R′ , etc. ]: ^[6] ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$

   Como señala Brillouin, es necesario distinguir entre conjuntos matemáticos de coordenadas y marcos físicos de referencia. El desconocimiento de esta distinción es fuente de mucha confusión... las funciones dependientes, como la velocidad, por ejemplo, se miden con respecto a un marco físico de referencia, pero uno es libre de elegir cualquier sistema matemático de coordenadas en el que se especifiquen las ecuaciones.

   y esto, también sobre la distinción entre y [ R , R′ , etc. ]: ^[7] ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$

   La idea de un marco de referencia es en realidad muy diferente de la de un sistema de coordenadas. Los marcos difieren sólo cuando definen espacios (conjuntos de puntos de reposo ) o tiempos (conjuntos de eventos simultáneos) diferentes. Por lo tanto, las ideas de un espacio, un tiempo, de reposo y de simultaneidad van inextricablemente unidas a las de marco. Sin embargo, un simple cambio de origen o una rotación puramente espacial de las coordenadas espaciales da como resultado un nuevo sistema de coordenadas. Por lo tanto, los marcos corresponden, en el mejor de los casos, a clases de sistemas de coordenadas.

   y de JD Norton: ^[8]

   En los desarrollos tradicionales de la relatividad especial y general, ha sido habitual no distinguir entre dos ideas muy distintas. La primera es la noción de un sistema de coordenadas, entendido simplemente como la asignación uniforme e invertible de cuatro números a eventos en las proximidades del espacio-tiempo. La segunda, el marco de referencia, se refiere a un sistema idealizado utilizado para asignar tales números […] Para evitar restricciones innecesarias, podemos disociar esta disposición de las nociones métricas. […] De especial importancia para nuestros propósitos es que cada marco de referencia tiene un estado definido de movimiento en cada evento del espacio-tiempo. […] Dentro del contexto de la relatividad especial y mientras nos limitemos a los marcos de referencia en movimiento inercial, entonces poco de importancia depende de la diferencia entre un marco de referencia inercial y el sistema de coordenadas inercial que induce. Esta cómoda circunstancia cesa inmediatamente una vez que comenzamos a considerar marcos de referencia en movimiento no uniforme incluso dentro de la relatividad especial.…Más recientemente, para negociar las obvias ambigüedades del tratamiento de Einstein, la noción de marco de referencia ha reaparecido como una estructura distinta de un sistema de coordenadas.

Referencias

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2. La distinción entre marcos macroscópicos y microscópicos se muestra, por ejemplo, en el electromagnetismo, donde se utilizan relaciones constitutivas de varias escalas de tiempo y longitud para determinar las densidades de corriente y carga que entran en las ecuaciones de Maxwell . Véase, por ejemplo, Kurt Edmund Oughstun (2006). Propagación de pulsos electromagnéticos y ópticos 1: Representaciones espectrales en medios temporalmente dispersos. Springer. p. 165. ISBN. 0-387-34599-X.Estas distinciones también aparecen en la termodinámica. Véase Paul McEvoy (2002). Classical Theory. MicroAnalytix. pág. 205. ISBN. 1-930832-02-8..
3. En términos muy generales, un sistema de coordenadas es un conjunto de arcos x ⁱ = x ⁱ ( t ) en un grupo de Lie complejo ; véase Lev Semenovich Pontri͡agin (1986). LS Pontryagin: Selected Works Vol. 2: Topological Groups (3.ª ed.). Gordon y Breach. pág. 429. ISBN 2-88124-133-6.De manera menos abstracta, un sistema de coordenadas en un espacio de n dimensiones se define en términos de un conjunto base de vectores { e ₁ , e ₂ ,... e _n }; véase Edoardo Sernesi; J. Montaldi (1993). Álgebra lineal: un enfoque geométrico. CRC Press. pág. 95. ISBN. 0-412-40680-2.Como tal, el sistema de coordenadas es una construcción matemática, un lenguaje, que puede estar relacionado con el movimiento, pero no tiene una conexión necesaria con el movimiento.
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11. Según Hawking y Ellis: "Una variedad es un espacio localmente similar al espacio euclidiano en el sentido de que puede ser cubierto por parches de coordenadas. Esta estructura permite definir la diferenciación, pero no distingue entre diferentes sistemas de coordenadas. Por lo tanto, los únicos conceptos definidos por la estructura de variedad son aquellos que son independientes de la elección de un sistema de coordenadas". Stephen W. Hawking; George Francis Rayner Ellis (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo. Cambridge University Press. p. 11. ISBN 0-521-09906-4.Una definición matemática es: Un espacio de Hausdorff conexo M se denomina variedad n -dimensional si cada punto de M está contenido en un conjunto abierto que es homeomorfo a un conjunto abierto en el espacio euclidiano n -dimensional.
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21. Por ejemplo, Møller afirma: "En lugar de coordenadas cartesianas, obviamente podemos emplear igualmente coordenadas curvilíneas generales para la fijación de puntos en el espacio físico... Ahora introduciremos coordenadas "curvilíneas" generales x ⁱ en el espacio cuatridimensional...". C. Møller (1952). The Theory of Relativity . Oxford University Press. pág. 222 y pág. 233.
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