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Complejo CW

En matemáticas , y específicamente en topología , un complejo CW (también complejo celular o complejo de celdas ) es un espacio topológico que se construye pegando bolas topológicas (las llamadas celdas ) de diferentes dimensiones de formas específicas. Generaliza tanto las variedades como los complejos simpliciales y tiene un significado particular para la topología algebraica . [1] Fue introducido inicialmente por JHC Whitehead para satisfacer las necesidades de la teoría de homotopía . [2] Los complejos CW tienen mejores propiedades categóricas que los complejos simpliciales , pero aún conservan una naturaleza combinatoria que permite el cálculo (a menudo con un complejo mucho más pequeño).

La C en CW significa topología “finita de cierre” y la W significa topología “débil”. [2]

Definición

Complejo CW

Un complejo CW se construye tomando la unión de una secuencia de espacios topológicos tales que cada uno se obtiene de pegando copias de k-celdas , cada una homeomorfa a la bola abierta , a pegando continuamente mapas . Los mapas también se denominan mapas de unión . Por lo tanto, como un conjunto, .

Cada uno de ellos se denomina esqueleto k del complejo.

La topología de es una topología débil : un subconjunto es abierto si y solo si es abierto para cada k-esqueleto .

En el lenguaje de la teoría de categorías, la topología en es el límite directo del diagrama. El nombre "CW" significa "topología débil finita de cierre", que se explica mediante el siguiente teorema:

Teorema  :  Un espacio de Hausdorff X es homeomorfo a un complejo CW si existe una partición de X en "celdas abiertas" , cada una con un cierre correspondiente (o "celda cerrada") que satisface:

Esta partición de X también se llama celulación .

La construcción, en palabras

La construcción compleja CW es una generalización directa del siguiente proceso:

Complejos CW regulares

Un complejo CW regular es un complejo CW cuyos mapas de adhesión son homeomorfismos. Por consiguiente, la partición de X también se denomina celulación regular .

Un grafo sin bucles se representa mediante un complejo CW regular unidimensional. Un grafo cerrado de 2 celdas que se incrusta en una superficie es un complejo CW regular bidimensional. Finalmente, la conjetura de celulación regular de 3 esferas afirma que cada grafo 2-conexo es el 1-esqueleto de un complejo CW regular en la esfera tridimensional . [3]

Complejos CW relativos

En términos generales, un complejo de CW relativo se diferencia de un complejo de CW en que le permitimos tener un bloque de construcción adicional que no necesariamente posee una estructura celular. Este bloque adicional puede tratarse como una célula de (-1) dimensión en la definición anterior. [4] [5] [6]

Ejemplos

Complejos CW de dimensión 0

Cada espacio topológico discreto es un complejo CW de dimensión 0.

Complejos CW unidimensionales

Algunos ejemplos de complejos CW unidimensionales son: [7]

Complejos CW de dimensión finita

Algunos ejemplos de complejos CW de dimensión finita son: [7]

Complejos CW de dimensión infinita

Complejos que no son CW

Propiedades

Homología y cohomología de complejos CW

La homología y cohomología singular de los complejos CW se puede calcular fácilmente mediante la homología celular . Además, en la categoría de complejos CW y mapas celulares, la homología celular se puede interpretar como una teoría de homología . Para calcular una teoría de (co)homología extraordinaria para un complejo CW, la secuencia espectral de Atiyah–Hirzebruch es el análogo de la homología celular.

Algunos ejemplos:

ya que todos los diferenciales son cero.
Alternativamente, si utilizamos la descomposición ecuatorial con dos celdas en cada dimensión
y los diferenciales son matrices de la forma Esto da el mismo cálculo de homología anterior, ya que el complejo de cadena es exacto en todos los términos excepto y

Los dos ejemplos anteriores son particularmente simples porque la homología está determinada por el número de células, es decir, los mapas de unión celular no tienen ningún papel en estos cálculos. Este es un fenómeno muy especial y no es indicativo del caso general.

Modificación de estructuras de CW

Existe una técnica, desarrollada por Whitehead, para reemplazar un complejo CW con un complejo CW homotópicamente equivalente que tiene una descomposición CW más simple .

Consideremos, por ejemplo, un complejo CW arbitrario. Su 1-esqueleto puede ser bastante complicado, siendo un grafo arbitrario . Ahora consideremos un bosque maximal F en este grafo. Dado que es una colección de árboles, y los árboles son contráctiles, consideremos el espacio donde la relación de equivalencia es generada por si están contenidos en un árbol común en el bosque maximal F . El mapa de cocientes es una equivalencia de homotopía. Además, hereda naturalmente una estructura CW, con celdas correspondientes a las celdas de que no están contenidas en F . En particular, el 1-esqueleto de es una unión disjunta de cuñas de círculos.

Otra forma de decir lo anterior es que un complejo CW conectado puede ser reemplazado por un complejo CW homotópicamente equivalente cuyo esqueleto 0 consiste en un solo punto.

Consideremos subir por la escalera de conectividad: supongamos que X es un complejo CW simplemente conexo cuyo esqueleto 0 consiste en un punto. ¿Podemos, mediante modificaciones adecuadas, reemplazar X por un complejo CW homotópicamente equivalente donde consiste en un solo punto? La respuesta es sí. El primer paso es observar eso y las funciones adjuntas para construir a partir de formar una presentación de grupo . El teorema de Tietze para presentaciones de grupo establece que hay una secuencia de movimientos que podemos realizar para reducir esta presentación de grupo a la presentación trivial del grupo trivial. Hay dos movimientos de Tietze:

1) Adición/eliminación de un generador. La adición de un generador, desde la perspectiva de la descomposición CW, consiste en agregar una celda 1 y una celda 2 cuyo mapa de unión consiste en la nueva celda 1 y el resto del mapa de unión está en . Si dejamos que sea el complejo CW correspondiente , entonces hay una equivalencia de homotopía dada al deslizar la nueva celda 2 en X .
2) Agregar o eliminar una relación. El acto de agregar una relación es similar, solo que se reemplaza X por donde la nueva celda de 3 tiene una función de unión que consiste en la nueva celda de 2 y el resto que se asigna a . Una diapositiva similar muestra una equivalencia de homotopía .

Si un complejo CW X está n -conectado , se puede encontrar un complejo CW homotópicamente equivalente cuyo n -esqueleto consiste en un único punto. El argumento para es similar al caso, solo que uno reemplaza los movimientos de Tietze para la presentación del grupo fundamental por operaciones matriciales elementales para las matrices de presentación para (usando las matrices de presentación provenientes de la homología celular . es decir: uno puede realizar de manera similar operaciones matriciales elementales mediante una secuencia de adición/eliminación de células u homotopías adecuadas de los mapas adjuntos.

La categoría de homotopía

La categoría de homotopía de los complejos CW es, en opinión de algunos expertos, la mejor, si no la única, candidata para la categoría de homotopía (por razones técnicas, en realidad se utiliza la versión para espacios puntiagudos ). [14] En ocasiones, deben utilizarse construcciones auxiliares que produzcan espacios que no sean complejos CW. Un resultado básico es que los funtores representables en la categoría de homotopía tienen una caracterización simple (el teorema de representabilidad de Brown ).

Véase también

Referencias

Notas

  1. ^ Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Cambridge University Press . ISBN. 0-521-79540-0.Este libro de texto define los complejos de onda continua en el primer capítulo y los utiliza a lo largo del mismo; incluye un apéndice sobre la topología de los complejos de onda continua. Hay una versión electrónica gratuita disponible en la página de inicio del autor.
  2. ^ ab Whitehead, JHC (1949a). "Homotopía combinatoria. I." (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 55 (5): 213–245. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09175-9 . MR  0030759.(acceso abierto)
  3. ^ De Agostino, Sergio (2016). La conjetura de celulación regular en tres esferas (PDF) . Taller internacional sobre algoritmos combinatorios.
  4. ^ Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). Apuntes de clase sobre topología algebraica . Providence, RI: American Mathematical Society.
  5. ^ "Complejo CW en nLab".
  6. ^ "CW-complejo - Enciclopedia de Matemáticas".
  7. ^ ab Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: canal, Animated Math (2020). "1.3 Introducción a la topología algebraica. Ejemplos de complejos CW". Youtube .
  8. ^ Turaev, VG (1994). Invariantes cuánticos de nudos y variedades tridimensionales . De Gruyter Studies in Mathematics. Vol. 18. Berlín: Walter de Gruyter & Co. ISBN 9783110435221.
  9. ^ Milnor, John (febrero de 1959). "Sobre espacios que tienen el tipo de homotopía de un complejo CW" . Transactions of the American Mathematical Society . 90 (2): 272–280. doi :10.2307/1993204. ISSN  0002-9947. JSTOR  1993204.
  10. ^ Hatcher, Allen , Topología algebraica , Cambridge University Press (2002). ISBN 0-521-79540-0 . Hay una versión electrónica gratuita disponible en la página web del autor. 
  11. ^ Hatcher, Allen , Fibras vectoriales y teoría K , versión preliminar disponible en la página de inicio del autor
  12. ^ Milnor, John (1959). "Sobre espacios que tienen el tipo de homotopía de un complejo CW". Trans. Amer. Math. Soc . 90 (2): 272–280. doi : 10.1090/s0002-9947-1959-0100267-4 . JSTOR  1993204.
  13. ^ "Espacios generados de forma compacta" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2016-03-03 . Consultado el 2012-08-26 .
  14. ^ Por ejemplo, la opinión "La clase de complejos CW (o la clase de espacios del mismo tipo de homotopía que un complejo CW) es la clase más adecuada de espacios topológicos en relación con la teoría de homotopía" aparece en Baladze, DO (2001) [1994], "CW-complex", Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

Referencias generales