En matemáticas , un espacio de adjunción (o espacio de unión ) es una construcción común en topología donde un espacio topológico se une o se "pega" a otro. Específicamente, sean X e Y espacios topológicos, y sea A un subespacio de Y. Sea f : A → X una función continua (llamada función de unión ). Se forma el espacio de adjunción X ∪ f Y (a veces también escrito como X + f Y ) tomando la unión disjunta de X e Y e identificando a con f ( a ) para todo a en A . Formalmente,
donde la relación de equivalencia ~ se genera mediante a ~ f ( a ) para todo a en A , y el cociente se da mediante la topología del cociente . Como conjunto, X ∪ f Y consiste en la unión disjunta de X y ( Y − A ). Sin embargo, la topología se especifica mediante la construcción del cociente.
Intuitivamente, uno puede pensar que Y está pegado a X a través del mapa f .
Las aplicaciones continuas h : X ∪ f Y → Z están en correspondencia 1-1 con los pares de aplicaciones continuas h X : X → Z y h Y : Y → Z que satisfacen h X ( f ( a ))= h Y ( a ) para todo a en A .
En el caso en que A es un subespacio cerrado de Y se puede demostrar que la función X → X ∪ f Y es una incrustación cerrada y ( Y − A ) → X ∪ f Y es una incrustación abierta.
La construcción adjunta es un ejemplo de pushout en la categoría de espacios topológicos . Es decir, el espacio de adjunción es universal con respecto al siguiente diagrama conmutativo :
Aquí i es la función de inclusión y Φ X , Φ Y son las funciones obtenidas al componer la función cociente con las inyecciones canónicas en la unión disjunta de X e Y . Se puede formar una inserción más general reemplazando i con una función continua arbitraria g —la construcción es similar. Por el contrario, si f también es una inclusión, la construcción de unión es simplemente pegar X e Y a lo largo de su subespacio común.
