El método de elementos finitos ( FEM ) es un método popular para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales que surgen en ingeniería y modelado matemático . Las áreas problemáticas típicas de interés incluyen los campos tradicionales del análisis estructural , la transferencia de calor , el flujo de fluidos , el transporte de masa y el potencial electromagnético .
El FEM es un método numérico general para resolver ecuaciones diferenciales parciales en dos o tres variables espaciales (es decir, algunos problemas de valores en la frontera ). Para resolver un problema, el FEM subdivide un sistema grande en partes más pequeñas y simples llamadas elementos finitos . Esto se logra mediante una discretización espacial particular en las dimensiones espaciales, que se implementa mediante la construcción de una malla del objeto: el dominio numérico de la solución, que tiene un número finito de puntos. La formulación del método de elementos finitos de un problema de valores en la frontera finalmente da como resultado un sistema de ecuaciones algebraicas . El método aproxima la función desconocida sobre el dominio. [1] Las ecuaciones simples que modelan estos elementos finitos se ensamblan luego en un sistema más grande de ecuaciones que modela todo el problema. Luego, el FEM aproxima una solución minimizando una función de error asociada mediante el cálculo de variaciones .
Estudiar o analizar un fenómeno con MEF a menudo se denomina análisis de elementos finitos ( FEA ).
La subdivisión de un dominio completo en partes más simples tiene varias ventajas: [2]
El trabajo típico del método implica:
El sistema global de ecuaciones tiene técnicas de solución conocidas y puede calcularse a partir de los valores iniciales del problema original para obtener una respuesta numérica.
En el primer paso anterior, las ecuaciones de elementos son ecuaciones simples que se aproximan localmente a las ecuaciones complejas originales que se van a estudiar, donde las ecuaciones originales suelen ser ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Para explicar la aproximación en este proceso, comúnmente se introduce el método de los elementos finitos como un caso especial del método de Galerkin . El proceso, en lenguaje matemático, consiste en construir una integral del producto interno de las funciones residual y de peso y establecer la integral en cero. En términos simples, es un procedimiento que minimiza el error de aproximación al ajustar funciones de prueba en la PDE. El residual es el error causado por las funciones de prueba y las funciones de peso son funciones de aproximación polinómica que proyectan el residual. El proceso elimina todas las derivadas espaciales de la PDE, aproximando así la PDE localmente con
Estos conjuntos de ecuaciones son ecuaciones de elementos. Son lineales si la PDE subyacente es lineal y viceversa. Los conjuntos de ecuaciones algebraicas que surgen en los problemas de estado estacionario se resuelven utilizando métodos de álgebra lineal numérica . Por el contrario, los conjuntos de ecuaciones diferenciales ordinarias que ocurren en los problemas transitorios se resuelven mediante integración numérica utilizando técnicas estándar como el método de Euler o el método de Runge-Kutta .
En el paso (2) anterior, se genera un sistema global de ecuaciones a partir de las ecuaciones de elementos transformando las coordenadas de los nodos locales de los subdominios a los nodos globales del dominio. Esta transformación espacial incluye ajustes de orientación apropiados según se aplican en relación con el sistema de coordenadas de referencia . El proceso suele llevarse a cabo mediante software FEM utilizando datos de coordenadas generados a partir de los subdominios.
La aplicación práctica del FEM se conoce como análisis de elementos finitos (FEA). FEA, aplicado en ingeniería , es una herramienta computacional para realizar análisis de ingeniería . Incluye el uso de técnicas de generación de mallas para dividir un problema complejo en pequeños elementos, así como el uso de software codificado con un algoritmo FEM. Al aplicar FEA, el problema complejo suele ser un sistema físico con la física subyacente , como la ecuación del haz de Euler-Bernoulli , la ecuación del calor o las ecuaciones de Navier-Stokes expresadas en PDE o ecuaciones integrales , mientras que los pequeños elementos divididos del Un problema complejo representa diferentes áreas del sistema físico.
El FEA se puede utilizar para analizar problemas en dominios complicados (como automóviles y oleoductos) cuando el dominio cambia (como durante una reacción de estado sólido con un límite en movimiento), cuando la precisión deseada varía en todo el dominio o cuando falta la solución. suavidad. Las simulaciones FEA proporcionan un recurso valioso ya que eliminan múltiples instancias de creación y prueba de prototipos complejos para diversas situaciones de alta fidelidad. [ cita necesaria ] Por ejemplo, en una simulación de choque frontal, es posible aumentar la precisión de la predicción en áreas "importantes" como la parte delantera del automóvil y reducirla en la parte trasera (reduciendo así el costo de la simulación). Otro ejemplo sería la predicción numérica del tiempo , donde es más importante tener predicciones precisas sobre fenómenos en desarrollo altamente no lineales (como ciclones tropicales en la atmósfera o remolinos en el océano) que sobre áreas relativamente tranquilas.
Se puede encontrar una presentación clara, detallada y práctica de este enfoque en el libro de texto The Finite Element Method for Engineers . [3]
Si bien es difícil citar la fecha de la invención del método de los elementos finitos, el método se originó a partir de la necesidad de resolver problemas complejos de análisis estructural y de elasticidad en ingeniería civil y aeronáutica . [4] Su desarrollo se remonta al trabajo de Alexander Hrennikoff [5] y Richard Courant [6] a principios de la década de 1940. Otro pionero fue Ioannis Argyris . En la URSS, la introducción de la aplicación práctica del método suele estar asociada con el nombre de Leonard Oganesyan. [7] También fue redescubierto de forma independiente en China por Feng Kang a finales de la década de 1950 y principios de la de 1960, basándose en los cálculos de las construcciones de presas, donde se le llamó método de diferencias finitas basado en el principio de variación . Aunque los enfoques utilizados por estos pioneros son diferentes, comparten una característica esencial: la discretización en malla de un dominio continuo en un conjunto de subdominios discretos, generalmente llamados elementos.
El trabajo de Hrennikoff discretiza el dominio mediante el uso de una analogía reticular , mientras que el enfoque de Courant divide el dominio en subregiones triangulares finitas para resolver ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden que surgen del problema de torsión de un cilindro . La contribución de Courant fue evolutiva y se basó en una gran cantidad de resultados anteriores para PDE desarrollados por Lord Rayleigh , Walther Ritz y Boris Galerkin .
El método de los elementos finitos obtuvo su verdadero impulso en las décadas de 1960 y 1970 gracias a los desarrollos de JH Argyris con sus compañeros de la Universidad de Stuttgart , RW Clough con sus compañeros de UC Berkeley , OC Zienkiewicz con sus compañeros Ernest Hinton y Bruce Irons. [8] y otros en la Universidad de Swansea , Philippe G. Ciarlet en la Universidad de París 6 y Richard Gallagher con compañeros de trabajo en la Universidad de Cornell . En estos años, los programas de elementos finitos de código abierto disponibles proporcionaron un mayor impulso. La NASA patrocinó la versión original de NASTRAN . UC Berkeley hizo que los programas de elementos finitos SAP IV [9] y posteriores OpenSees estuvieran ampliamente disponibles. En Noruega, la sociedad de clasificación de buques Det Norske Veritas (ahora DNV GL ) desarrolló Sesam en 1969 para su uso en el análisis de buques. [10] En 1973, Gilbert Strang y George Fix proporcionaron una base matemática rigurosa para el método de los elementos finitos . [11] Desde entonces, el método se ha generalizado para el modelado numérico de sistemas físicos en una amplia variedad de disciplinas de ingeniería , por ejemplo, electromagnetismo , transferencia de calor y dinámica de fluidos . [12] [13]
Un método de elementos finitos se caracteriza por una formulación variacional , una estrategia de discretización, uno o más algoritmos de solución y procedimientos de posprocesamiento.
Ejemplos de formulación variacional son el método de Galerkin , el método de Galerkin discontinuo, los métodos mixtos, etc.
Se entiende por estrategia de discretización un conjunto claramente definido de procedimientos que cubren (a) la creación de mallas de elementos finitos, (b) la definición de funciones base sobre elementos de referencia (también llamadas funciones de forma), y (c) el mapeo de elementos de referencia sobre los elementos de la malla. Ejemplos de estrategias de discretización son la versión h, la versión p , la versión hp , x-FEM , el análisis isogeométrico , etc. Cada estrategia de discretización tiene ciertas ventajas y desventajas. Un criterio razonable al seleccionar una estrategia de discretización es lograr un rendimiento casi óptimo para el conjunto más amplio de modelos matemáticos en una clase de modelo particular.
Varios algoritmos de solución numérica se pueden clasificar en dos categorías amplias; solucionadores directos e iterativos. Estos algoritmos están diseñados para explotar la escasez de matrices que dependen de la formulación variacional y las opciones de estrategia de discretización.
Los procedimientos de posprocesamiento están diseñados para extraer los datos de interés de una solución de elementos finitos. Para cumplir con los requisitos de verificación de la solución, los posprocesadores deben proporcionar una estimación del error a posteriori en términos de las cantidades de interés. Cuando los errores de aproximación son mayores de lo que se considera aceptable, entonces la discretización debe cambiarse mediante un proceso adaptativo automatizado o mediante la acción del analista. Algunos postprocesadores muy eficientes permiten la realización de la superconvergencia .
Los dos problemas siguientes demuestran el método de los elementos finitos.
P1 es un problema unidimensional donde está dado, es una función desconocida de y es la segunda derivada de con respecto a .
P2 es un problema bidimensional ( problema de Dirichlet )
donde es una región abierta conectada en el plano cuyo límite es bonito (por ejemplo, una variedad suave o un polígono ), y y denotan las segundas derivadas con respecto a y , respectivamente.
El problema P1 se puede resolver directamente calculando antiderivadas . Sin embargo, este método de resolver el problema del valor límite (BVP) funciona sólo cuando hay una dimensión espacial. No se generaliza a problemas de dimensiones superiores o problemas como . Por esta razón, desarrollaremos el método de los elementos finitos para P1 y describiremos su generalización a P2.
Nuestra explicación se desarrollará en dos pasos, que reflejan dos pasos esenciales que uno debe seguir para resolver un problema de valores en la frontera (BVP) utilizando el FEM.
Después de este segundo paso, tenemos fórmulas concretas para un problema lineal grande pero de dimensión finita cuya solución resolverá aproximadamente el BVP original. Este problema de dimensión finita se implementa luego en una computadora .
El primer paso es convertir P1 y P2 en sus formulaciones débiles equivalentes .
Si resuelve P1, entonces para cualquier función suave que satisfaga las condiciones de contorno de desplazamiento, es decir, en y , tenemos
Por el contrario, si con satisface (1) para cada función suave , entonces se puede demostrar que esto resolverá P1. La prueba es más fácil para dos veces diferenciables continuamente ( teorema del valor medio ), pero también puede demostrarse en un sentido distribucional .
Definimos un nuevo operador o mapa usando la integración por partes en el lado derecho de (1):
donde hemos utilizado el supuesto de que .
Si integramos por partes usando una forma de identidades de Green , vemos que si resuelve P2, entonces podemos definir para cualquiera por
donde denota el gradiente y denota el producto escalar en el plano bidimensional. Una vez más se puede convertir en un producto interno en un espacio adecuado de funciones una vez diferenciables que son cero . También hemos supuesto que (ver espacios de Sobolev ). También se puede demostrar la existencia y unicidad de la solución.
Podemos pensar vagamente que son funciones absolutamente continuas de that are at y (ver espacios de Sobolev ). Tales funciones son (débilmente) una vez diferenciables, y resulta que el mapa bilineal simétrico define un producto interno que se convierte en un espacio de Hilbert (una prueba detallada no es trivial). Por otro lado, el lado izquierdo también es un producto interior, esta vez en el espacio Lp . Una aplicación del teorema de representación de Riesz para espacios de Hilbert muestra que existe una solución única (2) y, por tanto, P1. Esta solución es a priori solo un miembro de , pero usando regularidad elíptica , será suave si lo es.
P1 y P2 están listos para discretizarse, lo que conduce a un subproblema común (3). La idea básica es reemplazar el problema lineal de dimensión infinita:
con una versión de dimensión finita:
donde es un subespacio de dimensión finita de . Hay muchas opciones posibles (una posibilidad conduce al método espectral ). Sin embargo, tomamos como espacio de funciones polinómicas por tramos para el método de elementos finitos.
Tomamos el intervalo , elegimos valores de con y definimos por:
donde definimos y . Observe que las funciones en no son diferenciables según la definición elemental de cálculo. De hecho, si entonces la derivada normalmente no se define en ningún , . Sin embargo, la derivada existe en cualquier otro valor de y se puede usar esta derivada para la integración por partes .
Necesitamos ser un conjunto de funciones de . En la figura de la derecha, hemos ilustrado una triangulación de una región poligonal de 15 lados en el plano (abajo) y una función lineal por partes (arriba, en color) de este polígono que es lineal en cada triángulo de la triangulación; el espacio estaría formado por funciones que son lineales en cada triángulo de la triangulación elegida.
Se espera que a medida que la malla triangular subyacente se vuelva cada vez más fina, la solución del problema discreto (3) converja, en algún sentido, a la solución del problema de valores límite original P2. Para medir esta finura de malla, la triangulación se indexa mediante un parámetro de valor real que se considera muy pequeño. Este parámetro estará relacionado con el tamaño de triángulo más grande o promedio en la triangulación. A medida que refinamos la triangulación, el espacio de funciones lineales por tramos también debe cambiar con . Por esta razón, a menudo se lee en lugar de en la literatura. Como no realizamos dicho análisis, no utilizaremos esta notación.
Para completar la discretización, debemos seleccionar una base de . En el caso unidimensional, para cada punto de control elegiremos la función lineal por tramos cuyo valor es en y cero en cada , es decir,
para ; esta base es una función de tienda desplazada y escalada . Para el caso bidimensional, elegimos nuevamente una función base por vértice de la triangulación de la región plana . La función es la única función cuyo valor es en y cero en cada .
Dependiendo del autor, la palabra "elemento" en el "método de los elementos finitos" se refiere a los triángulos del dominio, la función de base lineal por partes o ambos. Así, por ejemplo, un autor interesado en dominios curvos podría reemplazar los triángulos con primitivos curvos y así podría describir los elementos como curvilíneos. Por otro lado, algunos autores reemplazan "lineal por partes" por "cuadrático por partes" o incluso "polinomio por partes". Entonces, el autor podría decir "elemento de orden superior" en lugar de "polinomio de grado superior". El método de elementos finitos no se limita a triángulos (tetraedros en 3D o símplex de orden superior en espacios multidimensionales). Aún así, se puede definir en subdominios cuadriláteros (hexaedros, prismas o pirámides en 3D, etc.). Las formas de orden superior (elementos curvilíneos) se pueden definir con formas polinómicas e incluso no polinómicas (por ejemplo, elipse o círculo).
Ejemplos de métodos que utilizan funciones de base polinómica por partes de mayor grado son hp-FEM y FEM espectral .
Implementaciones más avanzadas (métodos adaptativos de elementos finitos) utilizan un método para evaluar la calidad de los resultados (basado en la teoría de estimación de errores) y modifican la malla durante la solución con el objetivo de lograr una solución aproximada dentro de algunos límites de la solución exacta del problema continuo. . La adaptabilidad de la malla puede utilizar varias técnicas; los más populares son:
La principal ventaja de esta elección de base es que los productos internos serán cero para casi todos . (La matriz que contiene la ubicación se conoce como matriz de Gramian ). En el caso unidimensional, el soporte de es el intervalo . Por tanto, los integrandos de y son idénticamente cero siempre que .
De manera similar, en el caso plano, si y no comparten un borde de la triangulación, entonces las integrales y son ambas cero.
Si escribimos y luego el problema (3), tomando por , se convierte en
Si denotamos por y los vectores columna y , y si dejamos que y sean matrices cuyas entradas sean y entonces podemos reformular (4) como
No es necesario suponer . Para una función general , el problema (3) con for se vuelve realmente más simple, ya que no se utiliza ninguna matriz,
donde y para .
Como hemos comentado antes, la mayoría de las entradas de y son cero porque las funciones básicas tienen poco soporte. Entonces ahora tenemos que resolver un sistema lineal en lo desconocido donde la mayoría de las entradas de la matriz , que necesitamos invertir, son cero.
Estas matrices se conocen como matrices dispersas y existen solucionadores eficientes para tales problemas (mucho más eficientes que invertir la matriz). Además, es simétrica y positiva definida, por lo que se prefiere una técnica como el método del gradiente conjugado . Para problemas que no son demasiado grandes, las descomposiciones LU dispersas y las descomposiciones de Cholesky aún funcionan bien. Por ejemplo, el operador de barra invertida de MATLAB (que utiliza LU dispersa, Cholesky dispersa y otros métodos de factorización) puede ser suficiente para mallas con cien mil vértices.
La matriz suele denominarse matriz de rigidez , mientras que la matriz se denomina matriz de masa .
En general, el método de los elementos finitos se caracteriza por el siguiente proceso.
Una consideración aparte es la suavidad de las funciones básicas. Para problemas de valores de frontera elípticos de segundo orden , es suficiente una función de base polinómica por partes que sea meramente continua (es decir, las derivadas son discontinuas). Para ecuaciones diferenciales parciales de orden superior, se deben usar funciones de base más suaves. Por ejemplo, para un problema de cuarto orden como , se pueden usar funciones de base cuadrática por partes que sean .
Otra consideración es la relación del espacio de dimensión finita con su contraparte de dimensión infinita en los ejemplos anteriores . Un método de elementos conformes es aquel en el que el espacio es un subespacio del espacio del elemento para el problema continuo. El ejemplo anterior es uno de esos métodos. Si esta condición no se cumple, obtenemos un método de elementos no conformes, un ejemplo del cual es el espacio de funciones lineales por tramos sobre la malla, que son continuas en el punto medio de cada borde. Dado que estas funciones son generalmente discontinuas a lo largo de los bordes, este espacio de dimensión finita no es un subespacio del original .
Normalmente, se tiene un algoritmo para subdividir una malla determinada. Si el método principal para aumentar la precisión es subdividir la malla, se tiene un método h ( h es habitualmente el diámetro del elemento más grande de la malla). De esta manera, si se muestra que el error con una cuadrícula está acotado arriba por , para algunos y , entonces se tiene un método de orden p . Bajo hipótesis específicas (por ejemplo, si el dominio es convexo), un método de polinomio de orden por partes tendrá un error de orden .
Si en lugar de hacer h más pequeño, se aumenta el grado de los polinomios utilizados en la función base, se tiene un método p . Si se combinan estos dos tipos de refinamiento, se obtiene un método hp ( hp-FEM ). En hp-FEM, los grados del polinomio pueden variar de un elemento a otro. Los métodos de orden superior con p uniforme grande se denominan métodos espectrales de elementos finitos ( SFEM ). Estos no deben confundirse con los métodos espectrales .
Para ecuaciones diferenciales parciales vectoriales, las funciones básicas pueden tomar valores en .
El método de elementos aplicados o AEM combina características tanto del FEM como del método de elementos discretos o (DEM).
Yang y Lui introdujeron el método de elementos finitos aumentados, cuyo objetivo era modelar las discontinuidades débiles y fuertes sin necesidad de DoF adicionales, como afirmó PuM.
El enfoque de corte de elementos finitos se desarrolló en 2014. [14] El enfoque es "hacer que la discretización sea lo más independiente posible de la descripción geométrica y minimizar la complejidad de la generación de malla, manteniendo al mismo tiempo la precisión y robustez de un método de elementos finitos estándar. " [15]
El método generalizado de elementos finitos (GFEM) utiliza espacios locales que consisten en funciones, no necesariamente polinomios, que reflejan la información disponible sobre la solución desconocida y, por lo tanto, aseguran una buena aproximación local. Luego se utiliza una partición de unidad para "unir" estos espacios para formar el subespacio de aproximación. La eficacia de GFEM se ha demostrado cuando se aplica a problemas con dominios que tienen límites complicados, problemas con microescalas y problemas con capas límite. [dieciséis]
El método mixto de elementos finitos es un tipo de método de elementos finitos en el que se introducen variables independientes adicionales como variables nodales durante la discretización de un problema de ecuación diferencial parcial.
El hp-FEM combina de forma adaptativa elementos con tamaño variable h y grado polinomial p para lograr tasas de convergencia exponenciales excepcionalmente rápidas. [17]
El hpk-FEM combina de forma adaptativa elementos con tamaño variable h , grado polinomial de las aproximaciones locales p y diferenciabilidad global de las aproximaciones locales ( k -1) para lograr las mejores tasas de convergencia.
El método extendido de elementos finitos (XFEM) es una técnica numérica basada en el método generalizado de elementos finitos (GFEM) y el método de partición de la unidad (PUM). Amplía el método clásico de elementos finitos enriqueciendo el espacio de soluciones para soluciones de ecuaciones diferenciales con funciones discontinuas. Los métodos de elementos finitos extendidos enriquecen el espacio de aproximación para reproducir naturalmente la característica desafiante asociada con el problema de interés: la discontinuidad, singularidad, capa límite, etc. Se demostró que para algunos problemas, tal incorporación de la característica del problema en el espacio de aproximación puede mejorar significativamente las tasas de convergencia y la precisión. Además, tratar problemas con discontinuidades con XFEM suprime la necesidad de mallar y volver a mallar las superficies de discontinuidad, aliviando así los costos computacionales y los errores de proyección asociados con los métodos convencionales de elementos finitos a costa de restringir las discontinuidades a los bordes de la malla.
Varios códigos de investigación implementan esta técnica en diversos grados:
XFEM también se ha implementado en códigos como Altair Radios, ASTER, Morfeo y Abaqus. Está siendo adoptado cada vez más por otro software comercial de elementos finitos, con algunos complementos e implementaciones principales disponibles (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE, etc.).
La introducción del método de elementos finitos de límites escalados (SBFEM) provino de Song y Wolf (1997). [18] El SBFEM ha sido una de las contribuciones más rentables en el área del análisis numérico de problemas de mecánica de fracturas. Es un método semianalítico sin solución fundamental que combina las ventajas de las formulaciones y procedimientos de elementos finitos y la discretización de elementos límite. Sin embargo, a diferencia del método de los elementos límite, no se requiere una solución diferencial fundamental.
El S-FEM, Métodos de Elementos Finitos Suavizados, es una clase particular de algoritmos de simulación numérica para la simulación de fenómenos físicos. Fue desarrollado combinando métodos sin malla con el método de elementos finitos.
Los métodos de elementos espectrales combinan la flexibilidad geométrica de los elementos finitos y la gran precisión de los métodos espectrales. Los métodos espectrales son la solución aproximada de ecuaciones parciales de forma débil basadas en interpoladores lagrangianos de alto orden y se usan solo con ciertas reglas de cuadratura. [19]
La iteración de Loubignac es un método iterativo en métodos de elementos finitos.
El método de elementos finitos de plasticidad cristalina (CPFEM) es una herramienta numérica avanzada desarrollada por Franz Roters. Los metales pueden considerarse como agregados cristalinos, que se comportan de forma anisotrópica bajo deformación, como tensión anormal y localización de deformaciones. CPFEM, basándose en el deslizamiento (tasa de deformación por cizallamiento), puede calcular la dislocación, la orientación del cristal y otra información de textura para considerar la anisotropía del cristal durante la rutina. Se ha aplicado en el estudio numérico de la deformación de materiales, rugosidad superficial, fracturas, etc.
El método del elemento virtual (VEM), introducido por Beirão da Veiga et al. (2013) [20] como una extensión de los métodos miméticos de diferencias finitas (MFD), es una generalización del método estándar de elementos finitos para geometrías de elementos arbitrarios. Esto permite la admisión de polígonos generales (o poliedros en 3D) que son muy irregulares y de forma no convexa. El nombre virtual deriva del hecho de que no se requiere conocimiento de la función de forma local y, de hecho, nunca se calcula explícitamente.
Algunos tipos de métodos de elementos finitos (métodos conformes, no conformes y mixtos de elementos finitos) son casos particulares del método de discretización de gradiente (GDM). Por lo tanto, las propiedades de convergencia del GDM, que se establecen para una serie de problemas (problemas elípticos lineales y no lineales, problemas lineales, no lineales y parabólicos degenerados), también son válidas para estos FEM particulares.
El método de diferencias finitas (FDM) es una forma alternativa de aproximar soluciones de PDE. Las diferencias entre FEM y FDM son:
Generalmente, FEM es el método de elección en todo tipo de análisis en mecánica estructural (es decir, resolución de deformaciones y tensiones en cuerpos sólidos o dinámica de estructuras). Por el contrario, la dinámica de fluidos computacional (CFD) tiende a utilizar FDM u otros métodos como el método de volúmenes finitos (FVM). Los problemas de CFD generalmente requieren la discretización del problema en una gran cantidad de celdas/puntos de cuadrícula (millones y más). Por lo tanto, el costo de la solución favorece una aproximación más simple y de orden inferior dentro de cada celda. Esto es especialmente cierto para los problemas de "flujo externo", como el flujo de aire alrededor del automóvil, el avión o la simulación meteorológica.
Otro método utilizado para aproximar soluciones a una ecuación diferencial parcial es la Transformada Rápida de Fourier (FFT), donde la solución se aproxima mediante una serie de Fourier calculada utilizando la FFT. Para aproximar la respuesta mecánica de materiales bajo tensión, la FFT suele ser mucho más rápida, [23] pero la FEM puede ser más precisa. [24] Un ejemplo de las ventajas respectivas de los dos métodos es la simulación de laminar una lámina de aluminio (un metal FCC) y trefilar un alambre de tungsteno (un metal BCC). Esta simulación no contaba con un algoritmo sofisticado de actualización de forma para el método FFT. En ambos casos, el método FFT fue más de 10 veces más rápido que FEM, pero en la simulación de trefilado, donde hubo grandes deformaciones en los granos , el método FEM fue mucho más preciso. En la simulación del laminado de láminas, los resultados de los dos métodos fueron similares. [24] FFT tiene una mayor ventaja de velocidad en los casos en que las condiciones de contorno se dan en la deformación de los materiales , y pierde parte de su eficiencia en los casos en que la tensión se utiliza para aplicar las condiciones de contorno, ya que se necesitan más iteraciones del método. [25]
Los métodos FE y FFT también se pueden combinar en un método basado en vóxeles (2) para simular la deformación en materiales, donde el método FE se usa para la tensión y la deformación a macroescala, y el método FFT se usa a microescala para abordar los efectos. de microescala sobre la respuesta mecánica. [26] A diferencia de FEM, las similitudes de los métodos FFT con los métodos de procesamiento de imágenes significan que se puede ingresar una imagen real de la microestructura de un microscopio al solucionador para obtener una respuesta al estrés más precisa. El uso de una imagen real con FFT evita el mallado de la microestructura, lo que sería necesario si se utilizara la simulación FEM de la microestructura, y podría resultar difícil. Debido a que las aproximaciones de Fourier son inherentemente periódicas, la FFT sólo se puede utilizar en casos de microestructura periódica, pero esto es común en materiales reales. [26] FFT también se puede combinar con métodos FEM utilizando componentes de Fourier como base variacional para aproximar los campos dentro de un elemento, lo que puede aprovechar la velocidad de los solucionadores basados en FFT. [27]
Varias especializaciones bajo el paraguas de la disciplina de la ingeniería mecánica (como las industrias aeronáutica, biomecánica y automotriz) comúnmente utilizan FEM integrado en el diseño y desarrollo de sus productos. Varios paquetes FEM modernos incluyen componentes específicos como entornos de trabajo térmicos, electromagnéticos, de fluidos y estructurales. En una simulación estructural, FEM ayuda enormemente a producir visualizaciones de rigidez y resistencia y a minimizar el peso, los materiales y los costos. [28]
FEM permite una visualización detallada de dónde se doblan o tuercen las estructuras, indicando la distribución de tensiones y desplazamientos. El software FEM proporciona una amplia gama de opciones de simulación para controlar la complejidad del modelado y análisis de sistemas. De manera similar, el nivel deseado de precisión requerido y los requisitos de tiempo computacional asociados se pueden gestionar simultáneamente para abordar la mayoría de las aplicaciones de ingeniería. FEM permite construir, perfeccionar y optimizar diseños completos antes de fabricarlos. La malla es una parte integral del modelo y debe controlarse cuidadosamente para obtener los mejores resultados. Generalmente, cuanto mayor sea el número de elementos en una malla, más precisa será la solución del problema discretizado. Sin embargo, hay un valor en el que los resultados convergen y un mayor refinamiento de la malla no aumenta la precisión. [29]
Esta poderosa herramienta de diseño ha mejorado significativamente tanto el estándar de los diseños de ingeniería como la metodología del proceso de diseño en muchas aplicaciones industriales. [31] La introducción de FEM ha reducido sustancialmente el tiempo necesario para llevar los productos desde el concepto hasta la línea de producción. [31] Las pruebas y el desarrollo se han acelerado principalmente a través de diseños de prototipos iniciales mejorados utilizando FEM. [32] En resumen, los beneficios de FEM incluyen mayor precisión, diseño mejorado y mejor conocimiento de los parámetros de diseño críticos, creación de prototipos virtuales, menos prototipos de hardware, un ciclo de diseño más rápido y menos costoso, mayor productividad y mayores ingresos. [31]
En la década de 1990, se propuso el uso de FEM en modelos estocásticos para resolver numéricamente modelos de probabilidad [33] y más tarde para la evaluación de confiabilidad. [34]
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