Magnitud (matemáticas)

Propiedad determinante de comparación y ordenación

En matemáticas , la magnitud o tamaño de un objeto matemático es una propiedad que determina si el objeto es más grande o más pequeño que otros objetos del mismo tipo. Más formalmente, la magnitud de un objeto es el resultado que se muestra al ordenar (o clasificar) la clase de objetos a la que pertenece. La magnitud como concepto data de la Antigua Grecia y se ha aplicado como una medida de distancia de un objeto a otro. En el caso de los números, el valor absoluto de un número se aplica comúnmente como la medida de unidades entre un número y cero.

En los espacios vectoriales, la norma euclidiana es una medida de magnitud que se utiliza para definir la distancia entre dos puntos en el espacio. En física , la magnitud se puede definir como cantidad o distancia. Un orden de magnitud se define normalmente como una unidad de distancia entre un número y los lugares numéricos de otro en la escala decimal.

Historia

Los antiguos griegos distinguían entre varios tipos de magnitud, ^[1] entre ellos:

• Fracciones positivas
• Segmentos de línea (ordenados por longitud )
• Figuras planas (ordenadas por área )
• Sólidos (ordenados por volumen )
• Ángulos (ordenados por magnitud angular)

Demostraron que los dos primeros no podían ser sistemas de magnitud iguales o incluso isomorfos . ^[2] No consideraron que las magnitudes negativas tuvieran sentido, y la magnitud todavía se utiliza principalmente en contextos en los que cero es el tamaño más pequeño o menor que todos los tamaños posibles.

Números

La magnitud de cualquier número se denomina habitualmente su valor absoluto o módulo , denotado por . ^[3] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$

Números reales

El valor absoluto de un número real r se define por: ^[4]

${\displaystyle \left|r\right|=r,{\text{ if }}r{\text{ ≥ }}0}$

${\displaystyle \left|r\right|=-r,{\text{ if }}r<0.}$

El valor absoluto también puede considerarse como la distancia del número a partir del cero en la recta numérica real . Por ejemplo, el valor absoluto tanto de 70 como de −70 es 70.

Números complejos

Un número complejo z puede considerarse como la posición de un punto P en un espacio bidimensional , llamado plano complejo . El valor absoluto (o módulo ) de z puede considerarse como la distancia de P desde el origen de ese espacio. La fórmula para el valor absoluto de z = a + bi es similar a la de la norma euclidiana de un vector en un espacio euclidiano bidimensional : ^[5]

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

donde los números reales a y b son la parte real y la parte imaginaria de z , respectivamente. Por ejemplo, el módulo de −3 + 4 i es . Alternativamente, la magnitud de un número complejo z puede definirse como la raíz cuadrada del producto de sí mismo y su conjugado complejo , , donde para cualquier número complejo , su conjugado complejo es . ${\displaystyle {\sqrt {(-3)^{2}+4^{2}}}=5}$ ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ${\displaystyle z=a+bi}$ ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}={\sqrt {(a+bi)(a-bi)}}={\sqrt {a^{2}-abi+abi-b^{2}i^{2}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

(dónde ). ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Espacios vectoriales

Espacio vectorial euclidiano

Un vector euclidiano representa la posición de un punto P en un espacio euclidiano . Geométricamente, se puede describir como una flecha desde el origen del espacio (cola del vector) hasta ese punto (punta del vector). Matemáticamente, un vector x en un espacio euclidiano n -dimensional se puede definir como una lista ordenada de n números reales (las coordenadas cartesianas de P ): x = [ x ₁ , x ₂ , ..., x _n ]. Su magnitud o longitud , denotada por , ^[6] se define más comúnmente como su norma euclidiana (o longitud euclidiana): ^[7] ${\displaystyle \|x\|}$

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Por ejemplo, en un espacio tridimensional, la magnitud de [3, 4, 12] es 13 porque Esto es equivalente a la raíz cuadrada del producto escalar del vector consigo mismo: ${\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}+12^{2}}}={\sqrt {169}}=13.}$

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}.}$

La norma euclidiana de un vector es simplemente un caso especial de la distancia euclidiana : la distancia entre su cola y su punta. Se utilizan dos notaciones similares para la norma euclidiana de un vector x :

1. ${\displaystyle \left\|\mathbf {x} \right\|,}$
2. ${\displaystyle \left|\mathbf {x} \right|.}$

Una desventaja de la segunda notación es que también se puede utilizar para denotar el valor absoluto de los escalares y los determinantes de las matrices , lo que introduce un elemento de ambigüedad.

Espacios vectoriales normados

Por definición, todos los vectores euclidianos tienen una magnitud (véase más arriba). Sin embargo, un vector en un espacio vectorial abstracto no posee una magnitud.

Un espacio vectorial dotado de una norma , como el espacio euclidiano, se denomina espacio vectorial normado . ^[8] La norma de un vector v en un espacio vectorial normado puede considerarse como la magnitud de v .

Espacio pseudoeuclidiano

En un espacio pseudoeuclidiano , la magnitud de un vector es el valor de la forma cuadrática de ese vector.

Magnitudes logarítmicas

Al comparar magnitudes, se suele utilizar una escala logarítmica . Algunos ejemplos son la intensidad de un sonido (medida en decibeles ), el brillo de una estrella y la escala Richter de intensidad de un terremoto. Las magnitudes logarítmicas pueden ser negativas. En las ciencias naturales , una magnitud logarítmica suele denominarse nivel .

Orden de magnitud

Los órdenes de magnitud denotan diferencias en cantidades numéricas, generalmente mediciones, por un factor de 10, es decir, una diferencia de un dígito en la ubicación del punto decimal.

Otras medidas matemáticas

De manera informal, una medida tiene la propiedad de ser monótona en el sentido de que si es un subconjunto de la medida de es menor o igual a la medida de Además, se requiere que la medida del conjunto vacío sea 0. Un ejemplo simple es un volumen (qué tan grande ocupa un objeto un espacio) como medida. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

En matemáticas , el concepto de medida es una generalización y formalización de las medidas geométricas ( longitud , área , volumen ) y otras nociones comunes, como magnitud, masa y probabilidad de eventos. Estos conceptos aparentemente distintos tienen muchas similitudes y a menudo se pueden tratar juntos en un solo contexto matemático. Las medidas son fundamentales en la teoría de la probabilidad , la teoría de la integración y se pueden generalizar para asumir valores negativos , como ocurre con la carga eléctrica . Las generalizaciones de largo alcance (como las medidas espectrales y las medidas con valores de proyección ) de la medida se utilizan ampliamente en la física cuántica y en la física en general.

La intuición detrás de este concepto se remonta a la antigua Grecia , cuando Arquímedes intentó calcular el área de un círculo . ^{[9] [10]} Pero no fue hasta finales del siglo XIX y principios del XX que la teoría de la medida se convirtió en una rama de las matemáticas. Las bases de la teoría de la medida moderna se sentaron en las obras de Émile Borel , Henri Lebesgue , Nikolai Luzin , Johann Radon , Constantin Carathéodory y Maurice Fréchet , entre otros.

Véase también

• Sentido numérico
• Notación vectorial
• Establecer tamaño

Referencias

1. Heath, Thomas Smd. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides (2.ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nueva York: Dover Publications.
2. Bloch, Ethan D. (2011), Los números reales y el análisis real, Springer, pág. 52, ISBN 9780387721774– vía Google Books , La idea de pares inconmensurables de longitudes de segmentos de línea fue descubierta en la antigua Grecia.
3. "Definición de magnitud (Diccionario ilustrado de matemáticas)". mathsisfun.com . Consultado el 23 de agosto de 2020 .
4. Mendelson, Elliott (2008). Esquema de cálculo básico de Schaum . McGraw-Hill Professional. pág. 2. ISBN 978-0-07-148754-2.
5. Ahlfors, Lars V. (1953). Análisis complejo . Tokio: McGraw Hill Kogakusha.
6. Nykamp, ​​Duane. "Magnitud de una definición vectorial". Math Insight . Consultado el 23 de agosto de 2020 .
7. Howard Anton; Chris Rorres (12 de abril de 2010). Álgebra lineal elemental: versión de aplicaciones. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1– a través de Google Books .
8. Golan, Johnathan S. (enero de 2007), El álgebra lineal que un estudiante de posgrado principiante debe saber (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-1-4020-5494-5
9. Arquímedes midiendo el círculo
10. Heath, TL (1897). "Medición de un círculo". Las obras de Arquímedes. Universidad de Osmania, Biblioteca Digital de la India. Cambridge University Press. págs. 91–98.