Distancia euclidiana

Longitud de un segmento de línea

Utilizando el teorema de Pitágoras para calcular la distancia euclidiana bidimensional

En matemáticas , la distancia euclidiana entre dos puntos del espacio euclidiano es la longitud del segmento de línea que los separa. Se puede calcular a partir de las coordenadas cartesianas de los puntos utilizando el teorema de Pitágoras y, por lo tanto, a veces se la denomina distancia pitagórica .

Estos nombres provienen de los antiguos matemáticos griegos Euclides y Pitágoras . En la geometría deductiva griega ejemplificada por los Elementos de Euclides , las distancias no se representaban como números sino como segmentos de línea de la misma longitud, que se consideraban "iguales". La noción de distancia es inherente a la herramienta del compás utilizada para dibujar un círculo , cuyos puntos tienen todos la misma distancia desde un punto central común . La conexión del teorema de Pitágoras con el cálculo de distancias no se realizó hasta el siglo XVIII.

La distancia entre dos objetos que no son puntos se define generalmente como la distancia más pequeña entre pares de puntos de los dos objetos. Se conocen fórmulas para calcular distancias entre diferentes tipos de objetos, como la distancia de un punto a una línea . En matemáticas avanzadas, el concepto de distancia se ha generalizado a espacios métricos abstractos y se han estudiado otras distancias distintas de la euclidiana. En algunas aplicaciones en estadística y optimización , se utiliza el cuadrado de la distancia euclidiana en lugar de la distancia en sí.

Fórmulas de distancia

Una dimensión

La distancia entre dos puntos cualesquiera sobre la recta real es el valor absoluto de la diferencia numérica de sus coordenadas, su diferencia absoluta . Por lo tanto, si y son dos puntos sobre la recta real, entonces la distancia entre ellos está dada por: ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Una fórmula más complicada, que da el mismo valor, pero que se generaliza más fácilmente a dimensiones superiores, es: ^[1]

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p-q)^{2}}}.}$$

En esta fórmula, al elevar al cuadrado y luego sacar la raíz cuadrada , cualquier número positivo no cambia, pero cualquier número negativo se reemplaza por su valor absoluto. ^[1]

Dos dimensiones

En el plano euclidiano , sea el punto con coordenadas cartesianas y el punto con coordenadas . Entonces la distancia entre y está dada por: ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p_{1},p_{2})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (q_{1},q_{2})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.}$$

Esto se puede comprobar aplicando el teorema de Pitágoras a un triángulo rectángulo con lados horizontales y verticales, que tiene como hipotenusa el segmento de línea que va desde hasta . Las dos fórmulas cuadradas dentro de la raíz cuadrada dan las áreas de los cuadrados de los lados horizontales y verticales, y la raíz cuadrada exterior convierte el área del cuadrado de la hipotenusa en la longitud de la hipotenusa. ^[3] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

También es posible calcular la distancia de puntos dados por coordenadas polares . Si las coordenadas polares de son y las coordenadas polares de son , entonces su distancia es ^[2] dada por la ley de los cosenos : ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle (s,\psi )}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.}$$

Cuando y se expresan como números complejos en el plano complejo , se puede utilizar la misma fórmula para puntos unidimensionales expresados ​​como números reales, aunque aquí el signo de valor absoluto indica la norma compleja : ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}$$

Dimensiones superiores

Derivación de la fórmula de la distancia euclidiana en dimensión mediante la aplicación repetida del teorema de Pitágoras ${\displaystyle n}$

En tres dimensiones, para puntos dados por sus coordenadas cartesianas, la distancia es

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}$$

En general, para puntos dados por coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano -dimensional, la distancia es ^[5] ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}$$

La distancia euclidiana también puede expresarse de forma más compacta en términos de la norma euclidiana de la diferencia vectorial euclidiana :

$${\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|.}$$

Objetos distintos de puntos

Para pares de objetos que no son ambos puntos, la distancia se puede definir de manera más simple como la distancia más pequeña entre dos puntos cualesquiera de los dos objetos, aunque también se utilizan comúnmente generalizaciones más complicadas de puntos a conjuntos, como la distancia de Hausdorff . ^[6] Las fórmulas para calcular distancias entre diferentes tipos de objetos incluyen:

• La distancia de un punto a una línea , en el plano euclidiano ^[7]
• La distancia de un punto a un plano en el espacio euclidiano tridimensional ^[7]
• La distancia entre dos líneas en el espacio euclidiano tridimensional ^[8]

La distancia de un punto a una curva se puede utilizar para definir su curva paralela , otra curva cuyos puntos tienen la misma distancia a la curva dada. ^[9]

Propiedades

La distancia euclidiana es el ejemplo prototípico de la distancia en un espacio métrico , ^[10] y obedece a todas las propiedades definitorias de un espacio métrico: ^[11]

• Es simétrica , es decir, para todos los puntos y , . Es decir (a diferencia de la distancia por carretera con calles de un solo sentido) la distancia entre dos puntos no depende de cuál de los dos puntos es el de inicio y cuál es el de destino. ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d(p,q)=d(q,p)}$
• Es positivo , lo que significa que la distancia entre cada dos puntos distintos es un número positivo , mientras que la distancia de cualquier punto a sí mismo es cero. ^[11]
• Obedece la desigualdad triangular : para cada tres puntos , , y , . Intuitivamente, viajar de a vía no puede ser más corto que viajar directamente de a . ^[11] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

Otra propiedad, la desigualdad de Ptolomeo , se refiere a las distancias euclidianas entre cuatro puntos , , , y . Establece que ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).}$$

Para los puntos en el plano, esto puede reformularse como afirmando que para cada cuadrilátero , los productos de los lados opuestos del cuadrilátero suman al menos un número tan grande como el producto de sus diagonales. Sin embargo, la desigualdad de Ptolomeo se aplica de manera más general a los puntos en espacios euclidianos de cualquier dimensión, sin importar cómo estén dispuestos. ^[12] Para los puntos en espacios métricos que no son espacios euclidianos, esta desigualdad puede no ser verdadera. La geometría de la distancia euclidiana estudia las propiedades de la distancia euclidiana, como la desigualdad de Ptolomeo, y su aplicación para probar si conjuntos dados de distancias provienen de puntos en un espacio euclidiano. ^[13]

Según el teorema de Beckman-Quarles , cualquier transformación del plano euclidiano o de un espacio euclidiano de dimensión superior que preserve distancias unitarias debe ser una isometría , preservando todas las distancias. ^[14]

Distancia euclidiana al cuadrado

En muchas aplicaciones, y en particular al comparar distancias, puede ser más conveniente omitir la raíz cuadrada final en el cálculo de las distancias euclidianas, ya que la raíz cuadrada no cambia el orden ( si y solo si ). El valor resultante de esta omisión es el cuadrado de la distancia euclidiana, y se llama distancia euclidiana al cuadrado . ^[15] Por ejemplo, el árbol de expansión mínimo euclidiano se puede determinar utilizando solo el orden entre distancias, y no sus valores numéricos. Comparar distancias al cuadrado produce el mismo resultado pero evita un cálculo innecesario de raíz cuadrada y evita problemas de precisión numérica. ^[16] Como ecuación, la distancia al cuadrado se puede expresar como una suma de cuadrados : ${\displaystyle d_{1}^{2}>d_{2}^{2}}$ ${\displaystyle d_{1}>d_{2}}$

$${\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}$$

Más allá de su aplicación a la comparación de distancias, la distancia euclidiana al cuadrado es de importancia central en estadística , donde se utiliza en el método de mínimos cuadrados , un método estándar para ajustar estimaciones estadísticas a los datos minimizando el promedio de las distancias al cuadrado entre los valores observados y estimados, ^[17] y como la forma más simple de divergencia para comparar distribuciones de probabilidad . ^[18] La suma de distancias al cuadrado entre sí, como se hace en el ajuste de mínimos cuadrados, corresponde a una operación sobre distancias (no cuadradas) llamada suma pitagórica . ^[19] En el análisis de conglomerados , las distancias al cuadrado se pueden utilizar para fortalecer el efecto de distancias más largas. ^[15]

La distancia euclidiana al cuadrado no forma un espacio métrico, ya que no satisface la desigualdad triangular. ^[20] Sin embargo, es una función suave y estrictamente convexa de los dos puntos, a diferencia de la distancia, que no es suave (pares cercanos de puntos iguales) y es convexa pero no estrictamente convexa. Por lo tanto, la distancia al cuadrado es preferida en la teoría de optimización , ya que permite utilizar el análisis convexo . Dado que elevar al cuadrado es una función monótona de valores no negativos, minimizar la distancia al cuadrado es equivalente a minimizar la distancia euclidiana, por lo que el problema de optimización es equivalente en términos de cualquiera de los dos, pero más fácil de resolver utilizando la distancia al cuadrado. ^[21]

La colección de todas las distancias al cuadrado entre pares de puntos de un conjunto finito se puede almacenar en una matriz de distancia euclidiana y se utiliza de esta forma en la geometría de distancias. ^[22]

Generalizaciones

En áreas más avanzadas de las matemáticas, al ver el espacio euclidiano como un espacio vectorial , su distancia se asocia con una norma llamada norma euclidiana , definida como la distancia de cada vector desde el origen . Una de las propiedades importantes de esta norma, en relación con otras normas, es que permanece inalterada bajo rotaciones arbitrarias del espacio alrededor del origen. ^[23] Por el teorema de Dvoretzky , cada espacio vectorial normado de dimensión finita tiene un subespacio de alta dimensión en el que la norma es aproximadamente euclidiana; la norma euclidiana es la única norma con esta propiedad. ^[24] Puede extenderse a espacios vectoriales de dimensión infinita como la norma L 2 o la distancia L ² . ^[25] La distancia euclidiana da al espacio euclidiano la estructura de un espacio topológico , la topología euclidiana , con las bolas abiertas (subconjuntos de puntos a menos de una distancia dada de un punto dado) como sus vecindades . ^[26]

Comparación de las distancias de Chebyshev, Euclidiana y de taxi para la hipotenusa de un triángulo 3-4-5 en un tablero de ajedrez

Otras distancias comunes en espacios de coordenadas reales y espacios funcionales : ^[27]

• Distancia de Chebyshev ( distancia L ^∞ ), que mide la distancia como el máximo de las distancias en cada coordenada.
• Distancia en taxi ⁽ distancia L1 ), también llamada distancia de Manhattan, que mide la distancia como la suma de las distancias en cada coordenada.
• Distancia de Minkowski ( distancia L ^p ), una generalización que unifica la distancia euclidiana, la distancia del taxi y la distancia de Chebyshev.

Para los puntos de superficies tridimensionales, la distancia euclidiana debe distinguirse de la distancia geodésica , la longitud de la curva más corta que pertenece a la superficie. En particular, para medir distancias de círculo máximo en la Tierra u otras superficies esféricas o casi esféricas, las distancias que se han utilizado incluyen la distancia de Haversine, que proporciona distancias de círculo máximo entre dos puntos de una esfera a partir de sus longitudes y latitudes, y las fórmulas de Vincenty, también conocidas como "distancia de Vincent", para la distancia en un esferoide. ^[28]

Historia

La distancia euclidiana es la distancia en el espacio euclidiano . Ambos conceptos reciben su nombre del matemático griego Euclides , cuyos Elementos se convirtieron en un libro de texto estándar de geometría durante muchos siglos. ^[29] Los conceptos de longitud y distancia están muy extendidos en todas las culturas, se pueden fechar en los primeros documentos burocráticos "protoliterarios" supervivientes de Sumeria en el cuarto milenio a. C. (mucho antes de Euclides), ^[30] y se ha planteado la hipótesis de que se desarrollaron en los niños antes que los conceptos relacionados de velocidad y tiempo. ^[31] Pero la noción de distancia, como un número definido a partir de dos puntos, en realidad no aparece en los Elementos de Euclides . En cambio, Euclides aborda este concepto de manera implícita, a través de la congruencia de segmentos de línea, a través de la comparación de longitudes de segmentos de línea y a través del concepto de proporcionalidad . ^[32]

El teorema de Pitágoras también es antiguo, pero solo pudo tomar su papel central en la medición de distancias después de la invención de las coordenadas cartesianas por René Descartes en 1637. La fórmula de la distancia en sí fue publicada por primera vez en 1731 por Alexis Clairaut . ^[33] Debido a esta fórmula, la distancia euclidiana también se llama a veces distancia pitagórica. ^[34] Aunque las mediciones precisas de largas distancias en la superficie de la Tierra, que no son euclidianas, habían sido nuevamente estudiadas en muchas culturas desde la antigüedad (ver historia de la geodesia ), la idea de que la distancia euclidiana podría no ser la única forma de medir distancias entre puntos en espacios matemáticos llegó incluso más tarde, con la formulación del siglo XIX de la geometría no euclidiana . ^[35] La definición de la norma euclidiana y la distancia euclidiana para geometrías de más de tres dimensiones también apareció por primera vez en el siglo XIX, en la obra de Augustin-Louis Cauchy . ^[36]

Referencias

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