Curva paralela

Curvas paralelas de la gráfica de distancias. ${\displaystyle y=1.5\sin(x)}$ ${\displaystyle d=0.25,\dots ,1.5}$

Dos definiciones de curva paralela: 1) envolvente de una familia de círculos congruentes, 2) por una distancia normal fija

Las curvas paralelas de un círculo (rojo) también son círculos

Un paralelo de una curva es la envolvente de una familia de círculos congruentes centrados en la curva. Generaliza el concepto de líneas paralelas (rectas) . También se puede definir como una curva cuyos puntos están a una distancia normal constante de una curva determinada. ^[1] Estas dos definiciones no son completamente equivalentes ya que la última supone suavidad , mientras que la primera no. ^[2]

En el diseño asistido por computadora, el término preferido para una curva paralela es curva desplazada . ^{[2] [3] [4]} (En otros contextos geométricos, el término desplazamiento también puede referirse a la traducción . ^[5] ) Las curvas de desplazamiento son importantes, por ejemplo, en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen, por ejemplo, la forma. del corte realizado por una herramienta de corte redonda de una máquina de dos ejes. La forma del corte está desplazada de la trayectoria del cortador en una distancia constante en la dirección normal a la trayectoria del cortador en cada punto. ^[6]

En el área de los gráficos por computadora 2D conocidos como gráficos vectoriales , el cálculo (aproximado) de curvas paralelas está involucrado en una de las operaciones de dibujo fundamentales, llamada trazo, que generalmente se aplica a polilíneas o polibéziers (llamados a sí mismos caminos) en ese campo. ^[7]

Excepto en el caso de una recta o un círculo , las curvas paralelas tienen una estructura matemática más complicada que la curva progenitora. ^[1] Por ejemplo, incluso si la curva progenitora es suave , sus compensaciones pueden no serlo; esta propiedad se ilustra en la figura superior, utilizando una curva sinusoidal como curva progenitora. ^[2] En general, incluso si una curva es racional , sus compensaciones pueden no serlo. Por ejemplo, los desplazamientos de una parábola son curvas racionales, pero los desplazamientos de una elipse o de una hipérbola no son racionales, aunque estas curvas progenitoras en sí mismas sean racionales. ^[3]

La noción también se generaliza a superficies 3D , donde se denomina superficie desplazada o superficie paralela . ^[8] El aumento de un volumen sólido en un desplazamiento de distancia (constante) a veces se denomina dilatación . ^[9] La operación opuesta a veces se denomina bombardeo . ^[8] Las superficies compensadas son importantes en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen la forma del corte realizado por una fresa de punta esférica de una máquina de tres ejes. ^[10] Otras formas de brocas de corte se pueden modelar matemáticamente mediante superficies desplazadas generales. ^[11]

Curva paralela de una curva dada paramétricamente

Si hay disponible una representación paramétrica regular de la curva dada, la segunda definición de curva paralela (ver arriba) conduce a la siguiente representación paramétrica de la curva paralela con distancia : ${\displaystyle {\vec {x}}=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$con la unidad normal . ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$

En coordenadas cartesianas:

${\displaystyle x_{d}(t)=x(t)+{\frac {d\;y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}}$

${\displaystyle y_{d}(t)=y(t)-{\frac {d\;x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\ .}$

El parámetro de distancia puede ser negativo. En este caso, se obtiene una curva paralela en el lado opuesto de la curva (ver diagrama de las curvas paralelas de un círculo). Se puede comprobar fácilmente que una curva paralela de una línea es una línea paralela en el sentido común, y la curva paralela de un círculo es un círculo concéntrico. ${\displaystyle d}$

Propiedades geométricas: [12]

• ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$eso significa: los vectores tangentes de un parámetro fijo son paralelos.
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\frac {k(t)}{1+dk(t)}},\quad }$con la curvatura de la curva dada y la curvatura de la curva paralela para el parámetro . ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle k_{d}(t)}$ ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+d,\quad }$con el radio de curvatura de la curva dada y el radio de curvatura de la curva paralela para el parámetro . ${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle R_{d}(t)}$ ${\displaystyle t}$
• Cuando existen, los círculos osculadores de curvas paralelas en los puntos correspondientes son concéntricos. ^[13]
• En cuanto a las rectas paralelas , una recta normal a una curva también lo es a sus paralelas.
• Cuando se construyen curvas paralelas, tendrán cúspides cuando la distancia desde la curva coincida con el radio de curvatura . Estos son los puntos donde la curva toca la evoluta .
• Si la curva progenitora es un límite de un conjunto plano y su curva paralela no tiene autointersecciones, entonces esta última es el límite de la suma de Minkowski del conjunto plano y el disco del radio dado.

Si la curva dada es polinomial (lo que significa que y son polinomios), entonces las curvas paralelas generalmente no son polinomiales. En el área de CAD esto es un inconveniente, porque los sistemas CAD utilizan polinomios o curvas racionales. Para obtener al menos curvas racionales, la raíz cuadrada de la representación de la curva paralela debe poder resolverse. Estas curvas se denominan curvas de hodógrafa pitagórica y fueron investigadas por RT Farouki. ^[14] ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

Curvas paralelas de una curva implícita

Curvas paralelas de la curva implícita (roja) con ecuación ${\displaystyle x^{4}+y^{4}-1=0}$

Generalmente no es posible la representación analítica de una curva paralela a una curva implícita . Sólo en los casos simples de rectas y círculos las curvas paralelas pueden describirse fácilmente. Por ejemplo:

Línea → función de distancia: (forma normal de Hesse) ${\displaystyle \;f(x,y)=x+y-1=0\;}$ ${\displaystyle \;h(x,y)={\frac {x+y-1}{\sqrt {2}}}=d\;}$

Círculo → función de distancia: ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1=0\;}$ ${\displaystyle \;h(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-1=d\;.}$

En general, suponiendo ciertas condiciones, se puede probar la existencia de una función de distancia orientada . En la práctica hay que tratarlo numéricamente. ^[15] Considerando curvas paralelas se cumple lo siguiente: ${\displaystyle h(x,y)}$

• La curva paralela para la distancia d es el conjunto de niveles de la función de distancia orientada correspondiente . ${\displaystyle h(x,y)=d}$ ${\displaystyle h}$

Propiedades de la función de distancia: [12] [16]

• ${\displaystyle |\operatorname {grad} h({\vec {x}})|=1\;,}$
• ${\displaystyle h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=h({\vec {x}})+d\;,}$
• ${\displaystyle \operatorname {grad} h({\vec {x}}+d\operatorname {grad} h({\vec {x}}))=\operatorname {grad} h({\vec {x}})\;.}$

Ejemplo:
El diagrama muestra curvas paralelas de la curva implícita con ecuación Observación: Las curvas no son paralelas, porque no es cierto en el área de interés. ${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0\;.}$
${\displaystyle \;f(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=d\;}$ ${\displaystyle \;|\operatorname {grad} f(x,y)|=1\;}$

Más ejemplos

Involutas de un círculo

• Las involutas de una curva dada son un conjunto de curvas paralelas. Por ejemplo: las involutas de un círculo son espirales paralelas (ver diagrama).

Y: ^[17]

• Una parábola tiene como desplazamientos (de dos lados) curvas racionales de grado 6.
• Una hipérbola o una elipse tiene como desplazamientos (de dos lados) una curva algebraica de grado 8.
• Una curva de Bézier de grado n tiene como compensaciones (de dos lados) curvas algebraicas de grado 4 n − 2 . En particular, una curva de Bézier cúbica tiene como desplazamientos (de dos lados) curvas algebraicas de grado 10.

Curva paralela a una curva con esquina

Curvas paralelas a una curva con normal discontinua alrededor de una esquina

Al determinar la trayectoria de corte de una pieza con una esquina afilada para mecanizar , debe definir la curva paralela (desplazada) a una curva dada que tiene una normal discontinua en la esquina. Aunque la curva dada no es suave en la esquina aguda, su curva paralela puede ser suave con una normal continua o puede tener cúspides cuando la distancia desde la curva coincide con el radio de curvatura en la esquina aguda.

ventiladores normales

Como se describió anteriormente, la representación paramétrica de una curva paralela, , a una curva dada, , con distancia es: ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t)}$con la unidad normal . ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$

En una esquina aguda ( ), la normal a dada por es discontinua, lo que significa que el límite unilateral de la normal desde la izquierda es desigual al límite desde la derecha . Matemáticamente, ${\displaystyle t=t_{c}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t_{c})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$

${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})=\lim _{t\to t_{c}^{-}}{\vec {n}}(t)\neq {\vec {n}}(t_{c}^{+})=\lim _{t\to t_{c}^{+}}{\vec {n}}(t)}$.

Abanico normal para definir curvas paralelas alrededor de una esquina pronunciada

Sin embargo, podemos definir un ventilador normal ^[11] que proporcione una interpolación entre y y usarlo en lugar de en la esquina afilada: ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{-})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c}^{+})}$ ${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )}$ ${\displaystyle {\vec {n}}(t_{c})}$

${\displaystyle {\vec {n}}_{f}(\alpha )={\frac {(1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})}{\lVert (1-\alpha ){\vec {n}}(t_{c}^{-})+\alpha {\vec {n}}(t_{c}^{+})\rVert }},\quad }$dónde . ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

La definición resultante de la curva paralela proporciona el comportamiento deseado: ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\begin{cases}{\vec {x}}(t)+d{\vec {n}}(t),&{\text{if }}t<t_{c}{\text{ or }}t>t_{c}\\{\vec {x}}(t_{c})+d{\vec {n}}_{f}(\alpha ),&{\text{if }}t=t_{c}{\text{ where }}0<\alpha <1\end{cases}}}$

Algoritmos

En general, la curva paralela de una curva de Bézier no es otra curva de Bézier, resultado demostrado por Tiller y Hanson en 1984. ^[18] Así, en la práctica, se utilizan técnicas de aproximación. Cualquier nivel deseado de precisión es posible subdividiendo repetidamente la curva, aunque mejores técnicas requieren menos subdivisiones para lograr el mismo nivel de precisión. Se cita ampliamente un estudio de 1997 realizado por Elber, Lee y Kim ^[19] , aunque más recientemente se han propuesto mejores técnicas. En una publicación de blog ^[20] en septiembre de 2022 se publicó una técnica moderna basada en el ajuste de curvas , con referencias y comparaciones con otros algoritmos, así como con código fuente JavaScript de código abierto.

Otro algoritmo eficaz para la compensación es el enfoque de nivel descrito por Kimmel y Bruckstein (1993). ^[21]

Superficies paralelas (desplazadas)

Superficie desplazada de una forma irregular compleja

Las superficies desplazadas son importantes en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen la forma del corte realizado por una fresa de punta esférica de una fresa de tres ejes. ^[10] Si hay disponible una representación paramétrica regular de la superficie dada, la segunda definición de curva paralela (ver arriba) se generaliza a la siguiente representación paramétrica de la superficie paralela con distancia : ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$ ${\displaystyle |d|}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+d{\vec {n}}(u,v)}$con la unidad normal . ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)={{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}} \over {|{{\partial {\vec {x}} \over \partial u}\times {\partial {\vec {x}} \over \partial v}}|}}}$

El parámetro de distancia también puede ser negativo. En este caso se obtiene una superficie paralela en el lado opuesto de la superficie (ver diagrama similar sobre las curvas paralelas de un círculo). Se comprueba fácilmente: una superficie paralela de un plano es un plano paralelo en el sentido común y la superficie paralela de una esfera es una esfera concéntrica. ${\displaystyle d}$

Propiedades geométricas: [22]

• ${\displaystyle {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial u}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial u},\quad {\partial {\vec {x}}_{d} \over \partial v}\parallel {\partial {\vec {x}} \over \partial v},\quad }$eso significa: los vectores tangentes para parámetros fijos son paralelos.
• ${\displaystyle {\vec {n}}_{d}(u,v)=\pm {\vec {n}}(u,v),\quad }$eso significa: los vectores normales para parámetros fijos coinciden con la dirección.
• ${\displaystyle S_{d}=(1+dS)^{-1}S,\quad }$donde y son los operadores de forma para y , respectivamente. ${\displaystyle S_{d}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , la curvatura gaussiana es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza .

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+dI,\quad }$donde y son los inversos de los operadores de forma para y , respectivamente. ${\displaystyle S_{d}^{-1}}$ ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Los radios de curvatura principales son los valores propios de la inversa del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , el recíproco de la curvatura gaussiana es su determinante y el radio de curvatura medio es la mitad de su traza .

Note la similitud con las propiedades geométricas de las curvas paralelas.

Generalizaciones

El problema se generaliza de manera bastante obvia a dimensiones más altas, por ejemplo, a superficies desplazadas, y de manera un poco menos trivial, a superficies de tuberías . ^[23] Tenga en cuenta que la terminología para las versiones de dimensiones superiores varía incluso más que en el caso plano; por ejemplo, otros autores hablan de fibras, cintas y tubos paralelos. ^[24] Para curvas incrustadas en superficies 3D, el desplazamiento se puede tomar a lo largo de una geodésica . ^[25]

Otra forma de generalizarlo es (incluso en 2D) considerar una distancia variable, por ejemplo parametrizada por otra curva. ^[22] Se puede, por ejemplo, trazar (sobre) con una elipse en lugar de un círculo ^[22] como es posible, por ejemplo, en METAFONT . ^[26]

Una envolvente de elipses que forman dos curvas desplazadas generales por encima y por debajo de una curva determinada.

Más recientemente, Adobe Illustrator ha añadido una función algo similar en la versión CS5 , aunque los puntos de control para el ancho variable se especifican visualmente. ^[27] En contextos donde es importante distinguir entre compensación de distancia constante y variable, a veces se utilizan las siglas CDO y VDO. ^[9]

Curvas de compensación generales

Supongamos que tiene una representación paramétrica regular de una curva, y que tiene una segunda curva que puede parametrizarse por su unidad normal, donde la normal de (esta parametrización por normal existe para curvas cuya curvatura es estrictamente positiva o negativa y, por lo tanto, convexo, liso y no recto). La representación paramétrica de la curva de compensación general de compensación por es: ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(x(t),y(t))}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(t)={\vec {x}}(t)+{\vec {d}}({\vec {n}}(t)),\quad }$¿Dónde es la unidad normal de ? ${\displaystyle {\vec {n}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$

Tenga en cuenta que el desplazamiento trival, le proporciona curvas paralelas ordinarias (también conocidas como desplazamiento). ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

Propiedades geométricas: ^[22]

• ${\displaystyle {\vec {x}}'_{d}(t)\parallel {\vec {x}}'(t),\quad }$eso significa: los vectores tangentes de un parámetro fijo son paralelos.
• En cuanto a las líneas paralelas , una normal a una curva también lo es a sus desplazamientos generales.
• ${\displaystyle k_{d}(t)={\dfrac {k(t)}{1+{\dfrac {k(t)}{k_{n}(t)}}}},\quad }$con la curvatura de la curva de compensación general, la curvatura de y la curvatura de para el parámetro . ${\displaystyle k_{d}(t)}$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle k_{n}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$ ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle R_{d}(t)=R(t)+R_{n}(t),\quad }$con el radio de curvatura de la curva de desplazamiento general, el radio de curvatura de y el radio de curvatura de para el parámetro . ${\displaystyle R_{d}(t)}$ ${\displaystyle R(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle R_{n}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}(t))}$ ${\displaystyle t}$
• Cuando se construyen curvas de desplazamiento generales, tendrán cúspides cuando la curvatura de la curva coincida con la curvatura del desplazamiento. Estos son los puntos donde la curva toca la evoluta .

Superficies desplazadas generales

Las superficies desplazadas generales describen la forma de los cortes realizados por una variedad de brocas de corte utilizadas por fresas de tres ejes en el mecanizado controlado numéricamente . ^[11] Suponga que tiene una representación paramétrica regular de una superficie, y tiene una segunda superficie que puede parametrizarse por su unidad normal, donde la normal de (esta parametrización por normal existe para superficies cuya curvatura gaussiana es estrictamente positiva, y por tanto convexo, liso y no plano). La representación paramétrica de la superficie de desplazamiento general de desplazamiento por es: ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}(u,v)={\vec {x}}(u,v)+{\vec {d}}({\vec {n}}(u,v)),\quad }$¿Dónde es la unidad normal de ? ${\displaystyle {\vec {n}}(u,v)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$

Tenga en cuenta que el desplazamiento trival, le proporciona superficies paralelas ordinarias (también conocidas como desplazamiento). ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

Propiedades geométricas: ^[22]

• En cuanto a las rectas paralelas , el plano tangente de una superficie es paralelo al plano tangente de sus desplazamientos generales.
• En cuanto a las líneas paralelas , una normal a una superficie también lo es a sus desplazamientos generales.
• ${\displaystyle S_{d}=(1+SS_{n}^{-1})^{-1}S,\quad }$donde y son los operadores de forma para y , respectivamente. ${\displaystyle S_{d},S,}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

Las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , la curvatura gaussiana es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza .

• ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1},\quad }$donde y son los inversos de los operadores de forma para y , respectivamente. ${\displaystyle S_{d}^{-1},S^{-1}}$ ${\displaystyle S_{n}^{-1}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d},{\vec {x}},}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

Los radios de curvatura principales son los valores propios de la inversa del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , el recíproco de la curvatura gaussiana es su determinante y el radio de curvatura medio es la mitad de su traza .

Observe la similitud con las propiedades geométricas de las curvas de desplazamiento generales.

Derivación de propiedades geométricas para compensaciones generales.

Las propiedades geométricas enumeradas anteriormente para curvas y superficies de desplazamiento generales se pueden derivar para desplazamientos de dimensión arbitraria. Suponga que tiene una representación paramétrica regular de una superficie de n dimensiones, donde la dimensión de es n-1. Suponga también que tiene una segunda superficie n-dimensional que puede parametrizarse mediante su unidad normal, , donde la normal de (esta parametrización mediante normal existe para superficies cuya curvatura gaussiana es estrictamente positiva y, por lo tanto, convexa, suave y no plana). La representación paramétrica de la superficie de desplazamiento general de desplazamiento por es: ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})={\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$

${\displaystyle {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})={\vec {x}}({\vec {u}})+{\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}})),\quad }$¿Dónde es la unidad normal de ? (El desplazamiento trival, le proporciona superficies paralelas ordinarias). ${\displaystyle {\vec {n}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})=d{\vec {n}}}$

Primero, observe que lo normal de lo normal de por definición. Ahora aplicaremos el diferencial wrt a , lo que nos da sus vectores tangentes que abarcan su plano tangente. ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})=}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))={\vec {n}}({\vec {u}}),}$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}({\vec {u}})=\partial {\vec {x}}({\vec {u}})+\partial {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

Observe que los vectores tangentes para son la suma de los vectores tangentes para y su desplazamiento , que comparten la misma unidad normal. Por lo tanto, la superficie desplazada general comparte el mismo plano tangente y normal con y . Eso se alinea con la naturaleza de los sobres. ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

Ahora consideramos las ecuaciones de Weingarten para el operador de forma , que se pueden escribir como . Si es invertible, . Recuerde que las curvaturas principales de una superficie son los valores propios del operador de forma, las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , la curvatura de Gauss es su determinante y la curvatura media es la mitad de su traza . El inverso del operador de forma mantiene estos mismos valores para los radios de curvatura. ${\displaystyle \partial {\vec {n}}=-\partial {\vec {x}}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \partial {\vec {x}}=-\partial {\vec {n}}S^{-1}}$

Sustituyendo en la ecuación el diferencial de , obtenemos: ${\displaystyle {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}-\partial {\vec {n}}S_{n}^{-1},\quad }$¿Dónde está el operador de forma para ? ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle {\vec {d}}({\vec {n}}({\vec {u}}))}$

A continuación, utilizamos nuevamente las ecuaciones de Weingarten para reemplazar : ${\displaystyle \partial {\vec {n}}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}=\partial {\vec {x}}+\partial {\vec {x}}SS_{n}^{-1},\quad }$¿Dónde está el operador de forma para ? ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\vec {x}}({\vec {u}})}$

Luego, resolvemos y multiplicamos ambos lados por para volver a las ecuaciones de Weingarten , esta vez para : ${\displaystyle \partial {\vec {x}}}$ ${\displaystyle -S}$ ${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}}$

${\displaystyle \partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}=\partial {\vec {x}},}$

${\displaystyle -\partial {\vec {x}}_{d}(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S=-\partial {\vec {x}}S=\partial {\vec {n}}.}$

Por lo tanto , e invertir ambos lados nos da ,. ${\displaystyle S_{d}=(I+SS_{n}^{-1})^{-1}S}$ ${\displaystyle S_{d}^{-1}=S^{-1}+S_{n}^{-1}}$

Ver también

• Mapeo de relieve
• Función de distancia y función de distancia con signo
• Campo de distancia
• Impresión offset
• Barrio tubular

Referencias

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27. http://design.tutsplus.com/tutorials/illustrator-cs5-variable-width-stroke-tool-perfect-for-making-tribal-designs--vector-4346 aplicación de la versión generalizada en Adobe Illustrator CS5 (también video)

• Josef Hoschek: Curvas desplazadas en el plano. En: CAD. 17 (1985), págs. 77–81.
• Takashi Maekawa: descripción general de curvas y superficies desplazadas. En: CAD. 31 (1999), págs. 165-173.

Otras lecturas

• Farouki, RT; Neff, CA (1990). "Propiedades analíticas de curvas de desplazamiento plano". Diseño Geométrico Asistido por Computadora . 7 (1–4): 83–99. doi :10.1016/0167-8396(90)90023-K.
• Piegl, Les A. (1999). "Cálculo de compensaciones de curvas y superficies NURBS". Diseño asistido por ordenador . 31 (2): 147-156. CiteSeerX  10.1.1.360.2793 . doi :10.1016/S0010-4485(98)00066-9.
• Porteous, Ian R. (2001). Diferenciación geométrica: para la inteligencia de curvas y superficies (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 1–25. ISBN 978-0-521-00264-6.
• Patrikalakis, Nicholas M.; Maekawa, Takashi (2010) [2002]. Interrogación de formas para diseño y fabricación asistidos por computadora . Medios de ciencia y negocios de Springer. Capítulo 11. Desplazamiento de curvas y superficies. ISBN 978-3-642-04074-0.Versión gratuita en línea.
• Antón, Francisco; Emiris, Ioannis Z.; Mourrain, Bernard; Teillaud, Monique (mayo de 2005). "El conjunto O de una curva algebraica y una aplicación a las cónicas". Congreso Internacional sobre Ciencias Computacionales y sus Aplicaciones . Singapur: Springer Verlag. págs. 683–696.
• Farouki, Rida T. (2008). Curvas pitagóricas-hodógrafas: álgebra y geometría inseparables . Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 141-178. ISBN 978-3-540-73397-3.Las páginas enumeradas son el material general e introductorio.
• Au, CK; Mamá, Y.-S. (2013). "Cálculo de curvas de compensación utilizando una función de distancia: abordar un desafío clave en la generación de trayectorias de herramientas de corte". En Ma, Y.-S. (ed.). Modelado semántico e interoperabilidad en ingeniería de productos y procesos: una tecnología para la ingeniería informática . Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 259–273. ISBN 978-1-4471-5073-2.

enlaces externos

• Curvas paralelas en MathWorld
• Diccionario visual de curvas planas Xah Lee
• http://library.imageworks.com/pdfs/imageworks-library-offset-curve-deformation-from-Skeletal-Anima.pdf aplicación a la animación; patentado como patente estadounidense 8.400.455
• http://www2.uah.es/fsegundo/Otros/Offset/16-SanSegundoSendraSendra-1532.pdf