Método de los promedios más altos

Los métodos de promedios más altos , divisor o división y redondeo ^[1] son una familia de algoritmos de distribución que tienen como objetivo dividir equitativamente una legislatura entre varios grupos, como partidos políticos o estados . ^[1]^[2] De manera más general, los métodos divisores se pueden utilizar para redondear las porciones de un total, por ejemplo, puntos porcentuales (que deben sumar 100). ^[2]

Los métodos tienen como objetivo tratar a los votantes de manera igualitaria, asegurando que los legisladores representen un número igual de votantes , asegurando que cada partido tenga la misma proporción de escaños por voto (o divisor ). ^[3]^{: 30} Estos métodos dividen el número de votos por el número de votos por escaño, y luego redondean este total para obtener la distribución final. Al hacerlo, el método mantiene aproximadamente la representación proporcional , de modo que un partido con, por ejemplo, el doble de votos que otro debería ganar el doble de escaños. ^[3]^{: 30}

Los métodos divisores son generalmente preferidos por los teóricos de la elección social a los métodos del resto más grande , ya que producen resultados más proporcionales según la mayoría de las métricas y son menos susceptibles a las paradojas de distribución . ^[4]^[5]^[6]^[7] En particular, los métodos divisores evitan la paradoja de la población y los efectos spoiler , a diferencia de los métodos del resto más grande. ^[5]

Historia

Los métodos divisores fueron inventados por primera vez por Thomas Jefferson para cumplir con el requisito de la Constitución de los Estados Unidos de que los estados deben tener como máximo un representante por cada 30.000 personas. Su solución fue dividir la población de cada estado por 30.000 antes de redondear hacia abajo. ^[6]^{: 20}

El reparto de votos se convertiría en un tema importante de debate en el Congreso, especialmente después del descubrimiento de patologías en muchas reglas de redondeo superficialmente razonables. ^[6]^{: 20} Debates similares aparecerían en Europa después de la adopción de la representación proporcional , típicamente como resultado de los grandes partidos que intentaban introducir umbrales y otras barreras de entrada para los partidos pequeños. ^[8] Tales repartos a menudo tienen consecuencias sustanciales, como en la redistribución de votos de 1870 , cuando el Congreso utilizó un reparto ad hoc para favorecer a los estados republicanos . ^[9] Si el total de votos electorales de cada estado hubiera sido exactamente igual a su derecho , o si el Congreso hubiera utilizado Sainte-Laguë o un método de residuos más grandes (como lo había hecho desde 1840), la elección de 1876 habría ido a Tilden en lugar de Hayes . ^[9]^[10]^[6]^{: 3, 37}

Definiciones

Los dos nombres de estos métodos (promedios máximos y divisores) reflejan dos formas diferentes de pensar en ellos y sus dos invenciones independientes. Sin embargo, ambos procedimientos son equivalentes y dan la misma respuesta. ^[11]

Los métodos divisores se basan en reglas de redondeo , definidas mediante una secuencia de postes indicadores $post(k)$ , donde $k \leq post(k) \leq k +1$ . Cada poste indicador marca el límite entre números naturales, y los números se redondean hacia abajo si y solo si son menores que el poste indicador. ^[12]

Procedimiento divisor

El procedimiento del divisor distribuye los escaños buscando un divisor o cuota electoral . Este divisor puede considerarse como el número de votos que necesita un partido para ganar un escaño adicional en la legislatura, la población ideal de un distrito del Congreso o el número de votantes representados por cada legislador. ^[13]

Si cada legislador representara a un número igual de votantes, el número de escaños para cada estado podría hallarse dividiendo la población por el divisor. ^[13] Sin embargo, las asignaciones de escaños deben ser números enteros, por lo que para hallar la distribución para un estado dado debemos redondear (usando la secuencia de postes indicadores) después de dividir. Por lo tanto, la distribución de cada partido está dada por: ^[13]

${\text{seats}}=\operatorname {round} \left({\frac {\text{votes}}{\text{divisor}}}\right)$

Por lo general, el divisor se establece inicialmente para que sea igual a la cuota Hare . Sin embargo, este procedimiento puede asignar demasiados o muy pocos escaños. En este caso, las asignaciones para cada estado no sumarán el tamaño total de la legislatura. Se puede encontrar un divisor factible mediante prueba y error . ^[14]

Procedimiento para promedios más altos

Con el algoritmo de promedios más altos, cada partido comienza con 0 escaños. Luego, en cada iteración, asignamos un escaño al partido con el promedio de votos más alto, es decir, el partido con más votos por escaño . Este método continúa hasta que se asignan todos los escaños. ^[13]

Sin embargo, no está claro si es mejor observar el promedio de votos antes de asignar el escaño, cuál será el promedio después de asignar el escaño o si deberíamos llegar a un acuerdo con una corrección de continuidad . Cada uno de estos enfoques da distribuciones ligeramente diferentes. ^[13] En general, podemos definir los promedios utilizando la secuencia de indicadores:

${\text{average}}:={\frac {\text{votes}}{\operatorname {post} ({\text{seats}})}}$

Con el procedimiento de promedios más altos, cada partido comienza con 0 escaños. Luego, en cada iteración, asignamos un escaño al partido con el promedio de votos más alto, es decir, el partido con más votos por escaño . Este método continúa hasta que se asignan todos los escaños. ^[13]

Métodos específicos

Si bien todos los métodos divisores comparten el mismo procedimiento general, difieren en la elección de la secuencia de indicadores y, por lo tanto, en la regla de redondeo. Obsérvese que, en el caso de los métodos en los que el primer indicador es cero, cada partido con al menos un voto recibirá un escaño antes de que cualquier partido reciba un segundo escaño; en la práctica, esto normalmente significa que cada partido debe recibir al menos un escaño, a menos que quede descalificado por algún umbral electoral . ^[15]

Método D'Hondt (Jefferson)

Thomas Jefferson propuso el primer método del divisor en 1792; ^[13] posteriormente fue desarrollado independientemente por el politólogo belga Victor d'Hondt en 1878. Este método asigna el representante a la lista que estaría menos representada al final de la ronda. ^[13] Sigue siendo el método más común para la representación proporcional hasta el día de hoy. ^[13]

El método d'Hondt utiliza la secuencia , es decir (1, 2, 3, ...), ^[16] lo que significa que siempre redondeará hacia abajo la distribución de un partido. ^[13] $\operatorname {post} (k)=k+1$

La distribución de escaños nunca cae por debajo del límite inferior del marco ideal y minimiza la sobrerrepresentación en el peor de los casos en la legislatura. ^[13] Sin embargo, el método d'Hondt funciona mal cuando se lo juzga por la mayoría de las métricas de proporcionalidad. ^[17] La regla generalmente otorga a los partidos grandes una cantidad excesiva de escaños, y su proporción de escaños generalmente excede la proporción ideal redondeada hacia arriba. ^[6]^{: 81}

Esta patología condujo a una burla generalizada del método d'Hondt cuando se comprendió que "redondearía" la distribución de Nueva York de 40,5 a 42, y el senador Mahlon Dickerson dijo que el escaño adicional debía provenir de los " fantasmas de los representantes fallecidos ". ^[6]^{: 34}

El método de Adams

El método de Adams fue ideado por John Quincy Adams después de notar que el método d'Hondt asignaba muy pocos escaños a los estados más pequeños. ^[18] Puede describirse como el inverso del método d'Hondt; otorga un escaño al partido que tiene la mayor cantidad de votos por escaño antes de que se agregue el nuevo escaño. La función divisora es $post(k) = k$ , que es equivalente a redondear siempre hacia arriba. ^[17]

La distribución de Adams nunca excede el límite superior del marco ideal y minimiza la subrepresentación en el peor de los casos. ^[13] Sin embargo, las violaciones de la cuota de escaños más baja son comunes. ^[19] Al igual que d'Hondt, el método de Adams tiene un desempeño deficiente según la mayoría de las métricas de proporcionalidad. ^[17]

El método de Adams fue sugerido como parte del compromiso de Cambridge para la distribución de los escaños del Parlamento Europeo entre los estados miembros, con el objetivo de satisfacer la proporcionalidad degresiva . ^[20]

Método Sainte-Laguë (Webster)

El método Webster o de Sainte-Laguë, descrito por primera vez en 1832 por el estadista y senador estadounidense Daniel Webster y posteriormente inventado de forma independiente en 1910 por el matemático francés André Sainte-Laguë , utiliza la secuencia de postes de cerca $post(k) = k + .5$ (es decir, 0.5, 1.5, 2.5); esto corresponde a la regla de redondeo estándar . De manera equivalente, los números enteros impares (1, 3, 5…) se pueden utilizar para calcular los promedios. ^[13]^[21]

El método de Sainte-Laguë produce distribuciones más proporcionales que el método d'Hondt en casi todas las métricas de tergiversación. ^[22] Como tal, los politólogos y matemáticos suelen preferirlo al método d'Hondt, al menos en situaciones en las que la manipulación es difícil o improbable (como en los parlamentos grandes). ^[23] También es notable por minimizar el sesgo de escaños incluso cuando se trata de partidos que ganan un número muy pequeño de escaños. ^[24] El método de Sainte-Laguë puede violar teóricamente la regla de la cuota ideal , aunque esto es extremadamente raro incluso para parlamentos moderadamente grandes; nunca se ha observado que viole la cuota en ninguna distribución de escaños en el Congreso de los Estados Unidos . ^[23]

En los distritos pequeños sin umbral , los partidos pueden manipular Sainte-Laguë dividiéndose en muchas listas, cada una de las cuales obtiene un escaño completo con menos de un cupo de votos de Hare . Esto se suele solucionar modificando el primer divisor para que sea ligeramente mayor (a menudo un valor de 0,7 o 1), lo que crea un umbral implícito . ^[25]

Método de Huntington-Hill

En el método Huntington-Hill , la secuencia de indicadores es $post(k) = \sqrt k (k +1)$ , la media geométrica de los números vecinos. Conceptualmente, este método redondea al entero que tiene la diferencia relativa (porcentaje) más pequeña . Por ejemplo, la diferencia entre 2,47 y 3 es de aproximadamente el 19%, mientras que la diferencia con 2 es de aproximadamente el 21%, por lo que 2,47 se redondea hacia arriba. Este método se utiliza para asignar escaños en la Cámara de Representantes de los EE. UU. entre los estados. ^[13]

El método Huntington-Hill tiende a producir resultados muy similares al método Sainte-Laguë; cuando se utilizó por primera vez para la distribución de escaños en el Congreso , los dos métodos diferían solo en si asignaban un solo escaño a Michigan o Arkansas . ^[6]^{: 58}

Comparación de propiedades

Distribución de escaños sin escaños

Los métodos de Huntington-Hill, Dean y Adams tienen un valor de 0 para el primer poste de la cerca, lo que da un promedio de ∞. Por lo tanto, sin un umbral, todos los partidos que han recibido al menos un voto también recibirán al menos un escaño. ^[13] Esta propiedad puede ser deseable (como cuando se asignan escaños a los estados ) o indeseable (como cuando se asignan escaños a las listas de partidos en una elección), en cuyo caso el primer divisor puede ajustarse para crear un umbral natural. ^[26]

Inclinación

Existen muchas métricas de sesgo en la obtención de escaños . Si bien el método de Sainte-Laguë a veces se describe como "excepcionalmente" imparcial, ^[23] esta propiedad de unicidad se basa en una definición técnica de sesgo como la diferencia esperada entre el número de escaños de un estado y su participación ideal. En otras palabras, un método se considera imparcial si el número de escaños que recibe un estado es, en promedio a lo largo de muchas elecciones, igual a su participación ideal. ^[23]

Según esta definición, el método de Sainte-Laguë es el método de distribución menos sesgado, ^[24] mientras que Huntington-Hill muestra un sesgo leve hacia los partidos más pequeños. ^[23] Sin embargo, otros investigadores han notado que definiciones ligeramente diferentes de sesgo, generalmente basadas en errores porcentuales , arrojan el resultado opuesto (el método de Huntington-Hill es imparcial, mientras que el método de Sainte-Laguë está ligeramente sesgado hacia los partidos grandes). ^[24]^[27]

En la práctica, la diferencia entre estas definiciones es pequeña cuando se trata de partidos o estados con más de un escaño. ^[24] Por lo tanto, tanto el método Huntington-Hill como el de Sainte-Laguë pueden considerarse métodos imparciales o poco sesgados (a diferencia de los métodos de d'Hondt o Adams). ^[24]^[27] Un informe de 1929 al Congreso elaborado por la Academia Nacional de Ciencias recomendó el método Huntington-Hill, ^[28] mientras que la Corte Suprema ha dictaminado que la elección es una cuestión de opinión. ^[27]

Comparación y ejemplos

Ejemplo: d'Hondt

El siguiente ejemplo muestra cómo el método d'Hondt puede diferir sustancialmente de otros métodos menos sesgados como el de Sainte-Laguë. En estas elecciones, el partido más importante obtiene el 46% de los votos, pero se lleva el 52,5% de los escaños, lo suficiente para obtener una mayoría absoluta frente a una coalición de todos los demás partidos (que juntos alcanzan el 54% de los votos). Además, lo hace violando la cuota: el partido más importante solo tiene derecho a 9,7 escaños, pero gana 11 de todos modos. El distrito congresual más grande es casi el doble del tamaño del distrito más pequeño. El método de Sainte-Laguë no muestra ninguna de estas propiedades, con un error máximo del 22,6%.

Ejemplo: Adams

El siguiente ejemplo muestra un caso en el que el método de Adams no logra dar mayoría a un partido que obtiene el 55% de los votos, violando nuevamente su derecho a cuota.

Ejemplo: Todos los sistemas

A continuación se muestra un ejemplo elaborado para todos los sistemas de votación. Observe cómo los métodos de Huntington-Hill y Adams otorgan a cada partido un escaño antes de asignar más, a diferencia de Sainte-Laguë o d'Hondt.

Propiedades

Monotonía

Los métodos divisores son generalmente preferidos por los matemáticos a los métodos del mayor resto ^[29] porque son menos susceptibles a las paradojas de distribución . ^[30] En particular, los métodos divisores satisfacen la monotonía de la población , es decir, votar por un partido nunca puede hacer que pierda escaños. ^[30] Tales paradojas de población ocurren al aumentar la cuota electoral , lo que puede hacer que los restos de diferentes estados respondan de manera errática. ^[6]^{: Tbl.A7.2} Los métodos divisores también satisfacen la monotonía de los recursos o de la cámara , que dice que aumentar el número de escaños en una legislatura no debería hacer que un estado pierda un escaño. ^[30]^[6]^{: Cor.4.3.1}

Desigualdad mínima-máxima

Todo método divisor puede definirse utilizando la desigualdad min-max. Si los corchetes indican la indexación de la matriz, una asignación es válida si y solo si: ^[13]^{: 78–81}

$máximo .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠votos[partido]/puesto(asientos[partido])⁠ ≤ mín ⁠votos[partido]/post(asientos[partido]+1)⁠$

En otras palabras, es imposible reducir el promedio de votos más alto reasignando un escaño de un partido a otro. Cada número en este rango es un divisor posible. Si la desigualdad es estricta, la solución es única; de lo contrario, hay un voto exactamente empatado en la etapa final de distribución. ^[13]^{: 83}

Familias de métodos

Los métodos divisores descritos anteriormente se pueden generalizar en familias.

Promedio generalizado

En general, es posible construir un método de distribución a partir de cualquier función promedio generalizada , definiendo la función indicadora como $post(k) = avg(k, k +1)$ . ^[13]

Familia estacionaria

Un método divisor se denomina estacionario ^[31]^{: 68} si para algún número real , sus indicadores tienen la forma . Los métodos de Adams, Sainte-Laguë y d'Hondt son estacionarios, mientras que los de Dean y Huntington-Hill no lo son. Un método estacionario corresponde al redondeo de números hacia arriba si exceden la media aritmética ponderada de $k$ y $k$ $+1$ . ^[13] Los valores más pequeños de $r$ son más favorables para los partidos más pequeños. ^[24] $r\in [0,1]$ $d(k)=k+r$

Las elecciones danesas asignan escaños de manera igualitaria a nivel provincial en distritos electorales con miembros. Divide el número de votos recibidos por un partido en un distrito electoral con varios miembros por 0,33, 1,33, 2,33, 3,33, etc. La secuencia de postes de circunscripción viene dada por $post(k) = k + 1 ⁄ 3$ ; esto tiene como objetivo asignar escaños de manera más equitativa, en lugar de exactamente proporcional. ^[32]

Poder significa familia

La familia de métodos de divisores de potencia media incluye los métodos de Adams, Huntington-Hill, Sainte-Laguë, Dean y d'Hondt (ya sea directamente o como límites). Para una constante dada $p$ , el método de potencia media tiene la función de señal $post(k) = p \sqrt k p + (k +1) p$ . El método de Huntington-Hill corresponde al límite cuando $p$ tiende a 0, mientras que Adams y d'Hondt representan los límites cuando $p$ tiende a infinito negativo o positivo. ^[13]

La familia también incluye el método de Dean , menos común , para $p = -1$ , que corresponde a la media armónica . El método de Dean es equivalente a redondear al promedio más cercano : cada estado tiene su recuento de escaños redondeado de una manera que minimiza la diferencia entre el tamaño promedio del distrito y el tamaño ideal del distrito. Por ejemplo: ^[33]^{: 29}

La población representativa de Massachusetts en 1830 era de 610.408 habitantes: si hubiera recibido 12 escaños, el tamaño medio de su circunscripción sería de 50.867; si hubiera recibido 13, habría sido de 46.954. Por lo tanto, si el divisor fuera 47.700, como propuso Polk, Massachusetts debería recibir 13 escaños porque 46.954 está más cerca de 47.700 que de 50.867.

Redondeando al promedio de votos con el menor error relativo se obtiene nuevamente el método Huntington-Hill porque $| log(x ⁄ y) | = | log(y ⁄ x) |$ , es decir, las diferencias relativas son reversibles. Este hecho fue central para el uso de errores relativos (en lugar de absolutos) por parte de Edward V. Huntington para medir la tergiversación, y para su defensa de la regla de Hill ^[34] : Huntington argumentó que la elección del método de distribución no debería depender de cómo se reordena la ecuación para la representación igualitaria, y solo el error relativo (minimizado por la regla de Hill) satisface esta propiedad. ^[33]^{: 53}

Stolarsky significa familia

De manera similar, la media de Stolarsky se puede utilizar para definir una familia de métodos divisores que minimizan el índice de entropía generalizado de tergiversación. ^[35] Esta familia incluye la media logarítmica , la media geométrica , la media idétrica y la media aritmética . Las medias de Stolarsky se pueden justificar como minimizadoras de estas métricas de tergiversación, que son de gran importancia en el estudio de la teoría de la información . ^[36]

Modificaciones

Umbrales

Muchos países tienen umbrales electorales para la representación, donde los partidos deben ganar una fracción específica de los votos para ser representados; los partidos con menos votos que el umbral requerido para la representación son eliminados. ^[25] Otros países modifican el primer divisor para introducir un umbral natural ; cuando se utiliza el método de Sainte-Laguë, el primer divisor a menudo se establece en 0,7 o 1,0 (este último se denomina modificación de escaños completos ). ^[25]

Cláusula de preservación de la mayoría

Una cláusula de preservación de la mayoría garantiza que cualquier partido que obtenga la mayoría de los votos recibirá al menos la mitad de los escaños en una legislatura. ^[25] Sin una cláusula de este tipo, es posible que un partido con un poco más de la mitad de los votos reciba apenas menos de la mitad de los escaños (si se utiliza un método distinto del D'Hondt). ^[25] Esto se logra típicamente añadiendo escaños a la legislatura hasta que se encuentre una distribución que preserve la mayoría para un parlamento. ^[25]

Método del divisor con límite de cuota

Un método de divisor con límite de cuotas es un método de distribución en el que comenzamos asignando a cada estado su cuota más baja de escaños. Luego, agregamos escaños uno por uno al estado con el promedio más alto de votos por escaño, siempre que agregar un escaño adicional no resulte en que el estado exceda su cuota superior. ^[37] Sin embargo, los métodos de divisor con límite de cuotas violan el criterio de participación (también llamado monotonía de la población ): es posible que un partido pierda un escaño como resultado de ganar más votos. ^[38]^{: Tbl.A7.2}

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