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Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo

En el método de diferencias finitas en el dominio del tiempo, se utiliza la "red de Yee" para discretizar las ecuaciones de Maxwell en el espacio. Este esquema implica la colocación de campos eléctricos y magnéticos en una cuadrícula escalonada.

El método de diferencias finitas en el dominio del tiempo ( FDTD , por sus siglas en inglés ) o método de Yee (llamado así por el matemático aplicado chino-estadounidense Kane S. Yee , nacido en 1934) es una técnica de análisis numérico utilizada para modelar la electrodinámica computacional (encontrar soluciones aproximadas al sistema asociado de ecuaciones diferenciales ). Dado que es un método en el dominio del tiempo , las soluciones FDTD pueden cubrir un amplio rango de frecuencias con una sola ejecución de simulación y tratar propiedades de materiales no lineales de manera natural.

El método FDTD pertenece a la clase general de métodos de modelado numérico diferencial basados ​​en cuadrículas ( métodos de diferencias finitas ). Las ecuaciones de Maxwell dependientes del tiempo (en forma diferencial parcial ) se discretizan utilizando aproximaciones de diferencia central a las derivadas parciales espaciales y temporales. Las ecuaciones de diferencias finitas resultantes se resuelven en software o hardware de manera gradual : los componentes del vector del campo eléctrico en un volumen de espacio se resuelven en un instante dado en el tiempo; luego, los componentes del vector del campo magnético en el mismo volumen espacial se resuelven en el siguiente instante en el tiempo; y el proceso se repite una y otra vez hasta que se desarrolla por completo el comportamiento del campo electromagnético transitorio o de estado estable deseado.

Historia

Los esquemas de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales parciales (EDP) dependientes del tiempo se han empleado durante muchos años en problemas de dinámica de fluidos computacional , [1] incluida la idea de usar operadores de diferencias finitas centrados en cuadrículas escalonadas en el espacio y el tiempo para lograr una precisión de segundo orden. [1] La novedad del esquema FDTD de Kane Yee, presentado en su artículo seminal de 1966, [2] fue aplicar operadores de diferencias finitas centrados en cuadrículas escalonadas en el espacio y el tiempo para cada componente de campo vectorial eléctrico y magnético en las ecuaciones de rizo de Maxwell. El descriptor "dominio del tiempo de diferencias finitas" y su acrónimo correspondiente "FDTD" fueron originados por Allen Taflove en 1980. [3] Desde aproximadamente 1990, las técnicas FDTD han surgido como medios primarios para modelar computacionalmente muchos problemas científicos y de ingeniería que tratan con interacciones de ondas electromagnéticas con estructuras materiales. Las aplicaciones actuales de modelado FDTD varían desde cerca de CC ( geofísica de frecuencia ultrabaja que involucra toda la guía de ondas de la ionosfera de la Tierra ) a través de microondas (tecnología de firma de radar, antenas , dispositivos de comunicaciones inalámbricas, interconexiones digitales, imágenes/tratamiento biomédico) a luz visible ( cristales fotónicos , nanoplasmónica , solitones y biofotónica ) . [4] En 2006, aparecieron aproximadamente 2000 publicaciones relacionadas con FDTD en la literatura científica y de ingeniería (ver Popularidad). A partir de 2013, hay al menos 25 proveedores de software FDTD comercial/propietario; 13 proyectos FDTD de software libre/software de código abierto ; y 2 ​​proyectos FDTD de software gratuito/código cerrado, algunos no para uso comercial (ver Enlaces externos).

Desarrollo de FDTD y ecuaciones de Maxwell

Para comprender la base, el desarrollo técnico y el posible futuro de las técnicas numéricas FDTD para las ecuaciones de Maxwell, es necesario considerar primero su historia. A continuación se enumeran algunas de las publicaciones clave en esta área.

Modelos y métodos FDTD

Cuando se examinan las ecuaciones diferenciales de Maxwell , se puede ver que el cambio en el campo E en el tiempo (la derivada temporal) depende del cambio en el campo H a través del espacio (el rizo ). Esto da como resultado la relación básica de pasos de tiempo FDTD de que, en cualquier punto en el espacio, el valor actualizado del campo E en el tiempo depende del valor almacenado del campo E y del rizo numérico de la distribución local del campo H en el espacio. [2]

El campo H se escalona en el tiempo de una manera similar. En cualquier punto del espacio, el valor actualizado del campo H en el tiempo depende del valor almacenado del campo H y del bucle numérico de la distribución local del campo E en el espacio. La iteración de las actualizaciones del campo E y del campo H da como resultado un proceso de marcha en el tiempo en el que los análogos de datos muestreados de las ondas electromagnéticas continuas en consideración se propagan en una cuadrícula numérica almacenada en la memoria de la computadora.

Ilustración de una celda Yee cartesiana estándar utilizada para FDTD, alrededor de la cual se distribuyen los componentes del vector de campo eléctrico y magnético. [2] Visualizada como un vóxel cúbico , los componentes del campo eléctrico forman los bordes del cubo, y los componentes del campo magnético forman las normales a las caras del cubo. Una red espacial tridimensional consta de una multiplicidad de tales celdas Yee. Una estructura de interacción de ondas electromagnéticas se mapea en la red espacial asignando valores apropiados de permitividad a cada componente del campo eléctrico y permeabilidad a cada componente del campo magnético.

Esta descripción es válida para las técnicas FDTD 1-D, 2-D y 3-D. Cuando se consideran múltiples dimensiones, el cálculo del rizo numérico puede volverse complicado. El artículo seminal de Kane Yee de 1966 propuso escalonar espacialmente los componentes vectoriales del campo E y el campo H alrededor de celdas unitarias rectangulares de una cuadrícula computacional cartesiana de modo que cada componente vectorial del campo E se ubique a mitad de camino entre un par de componentes vectoriales del campo H, y viceversa. [2] Este esquema, ahora conocido como red Yee , ha demostrado ser muy robusto y sigue siendo el núcleo de muchas construcciones de software FDTD actuales.

Además, Yee propuso un esquema de salto de rana para marchar en el tiempo en el que las actualizaciones de los campos E y H se escalonan de modo que las actualizaciones de los campos E se realizan a mitad de camino durante cada paso de tiempo entre actualizaciones sucesivas de los campos H, y viceversa. [2] En el lado positivo, este esquema explícito de pasos de tiempo evita la necesidad de resolver ecuaciones simultáneas y, además, produce una propagación de ondas numéricas sin disipación. En el lado negativo, este esquema exige un límite superior en el paso de tiempo para garantizar la estabilidad numérica. [9] Como resultado, ciertas clases de simulaciones pueden requerir muchos miles de pasos de tiempo para completarse.

Utilizando el método FDTD

Para implementar una solución FDTD de las ecuaciones de Maxwell, primero se debe establecer un dominio computacional. El dominio computacional es simplemente la región física sobre la que se realizará la simulación. Los campos E y H se determinan en cada punto del espacio dentro de ese dominio computacional. Se debe especificar el material de cada celda dentro del dominio computacional. Por lo general, el material es espacio libre (aire), metal o dieléctrico . Se puede utilizar cualquier material siempre que se especifiquen la permeabilidad , la permitividad y la conductividad .

La permitividad de los materiales dispersivos en forma tabular no se puede sustituir directamente en el esquema FDTD. En cambio, se puede aproximar utilizando múltiples términos de Debye, Drude, Lorentz o de punto crítico. Esta aproximación se puede obtener utilizando programas de ajuste abiertos [70] y no necesariamente tiene un significado físico.

Una vez que se han establecido el dominio computacional y los materiales de la red, se especifica una fuente. La fuente puede ser una corriente en un cable, un campo eléctrico aplicado o una onda plana incidente. En el último caso, la FDTD se puede utilizar para simular la dispersión de la luz desde objetos de forma arbitraria, estructuras periódicas planas en varios ángulos de incidencia, [71] [72] y la estructura de banda fotónica de estructuras periódicas infinitas. [73] [74]

Dado que los campos E y H se determinan directamente, el resultado de la simulación suele ser el campo E o H en un punto o una serie de puntos dentro del dominio computacional. La simulación hace evolucionar los campos E y H hacia adelante en el tiempo.

El procesamiento puede realizarse en los campos E y H devueltos por la simulación. El procesamiento de datos también puede ocurrir mientras la simulación está en curso.

Si bien la técnica FDTD calcula campos electromagnéticos dentro de una región espacial compacta, los campos lejanos dispersos y/o radiados se pueden obtener mediante transformaciones de campo cercano a campo lejano. [14]

Ventajas del modelado FDTD

Cada técnica de modelado tiene fortalezas y debilidades, y el método FDTD no es diferente.

Debilidades del modelado FDTD

Dispersión numérica de una señal de pulso cuadrado en un esquema FDTD unidimensional simple. Los artefactos de zumbido alrededor de los bordes del pulso están muy acentuados ( fenómeno de Gibbs ) y la señal se distorsiona a medida que se propaga, incluso en ausencia de un medio dispersivo . Este artefacto es un resultado directo del esquema de discretización. [4]

Técnicas de truncamiento de cuadrícula

Las técnicas de truncamiento de cuadrícula más comúnmente utilizadas para problemas de modelado FDTD de región abierta son la condición de contorno absorbente Mur (ABC), [13] el ABC de Liao, [16] y varias formulaciones de capa perfectamente emparejada (PML). [4] [43] [42] [47] Las técnicas Mur y Liao son más simples que PML. Sin embargo, PML (que técnicamente es una región absorbente en lugar de una condición de contorno per se ) puede proporcionar reflexiones órdenes de magnitud más bajas. El concepto PML fue introducido por J.-P. Berenger en un artículo seminal de 1994 en el Journal of Computational Physics. [42] Desde 1994, la implementación de campo dividido original de Berenger se ha modificado y extendido a la PML uniaxial (UPML), la PML convolucional (CPML) y la PML de orden superior. Las dos últimas formulaciones de PML tienen una mayor capacidad para absorber ondas evanescentes y, por lo tanto, en principio pueden ubicarse más cerca de una estructura de dispersión o radiación simulada que la formulación original de Berenger.

Para reducir la reflexión numérica no deseada del PML, se puede utilizar la técnica de capas absorbentes posteriores adicionales. [76]

Popularidad


A pesar del aumento general en el rendimiento de las publicaciones académicas durante el mismo período y la expansión general del interés en todas las técnicas de electromagnetismo computacional (CEM), hay siete razones principales para la enorme expansión del interés en los enfoques de solución computacional FDTD para las ecuaciones de Maxwell:

  1. La FDTD no requiere una inversión de matriz. Al ser un cálculo totalmente explícito, la FDTD evita las dificultades con las inversiones de matriz que limitan el tamaño de los modelos electromagnéticos de elementos finitos y ecuaciones integrales en el dominio de la frecuencia a generalmente menos de 10 9 incógnitas de campo electromagnético. [4] Se han ejecutado modelos FDTD con hasta 10 9 incógnitas de campo; no hay un límite superior intrínseco para este número. [4]
  2. La FDTD es precisa y robusta. Las fuentes de error en los cálculos de FDTD se comprenden bien y se pueden limitar para permitir modelos precisos para una gran variedad de problemas de interacción de ondas electromagnéticas. [4]
  3. La FDTD trata el comportamiento impulsivo de forma natural. Al ser una técnica de dominio temporal, la FDTD calcula directamente la respuesta al impulso de un sistema electromagnético. Por lo tanto, una única simulación FDTD puede proporcionar formas de onda temporales de banda ultraancha o la respuesta sinusoidal en estado estable a cualquier frecuencia dentro del espectro de excitación. [4]
  4. La FDTD trata el comportamiento no lineal de forma natural. Al ser una técnica de dominio temporal, la FDTD calcula directamente la respuesta no lineal de un sistema electromagnético. Esto permite la hibridación natural de la FDTD con conjuntos de ecuaciones diferenciales auxiliares que describen no linealidades desde el punto de vista clásico o semiclásico. [4] Una frontera de investigación es el desarrollo de algoritmos híbridos que unen los modelos de electrodinámica clásica de la FDTD con fenómenos que surgen de la electrodinámica cuántica, especialmente fluctuaciones del vacío, como el efecto Casimir . [4] [77]
  5. La FDTD es un enfoque sistemático. Con la FDTD, la especificación de una nueva estructura a modelar se reduce a un problema de generación de malla en lugar de la reformulación potencialmente compleja de una ecuación integral. Por ejemplo, la FDTD no requiere el cálculo de funciones de Green dependientes de la estructura. [4]
  6. Las arquitecturas informáticas de procesamiento paralelo han llegado a dominar la supercomputación. La FDTD escala con alta eficiencia en computadoras basadas en CPU de procesamiento paralelo y extremadamente bien en la tecnología de aceleradores basada en GPU desarrollada recientemente. [4]
  7. Las capacidades de visualización por computadora están aumentando rápidamente. Si bien esta tendencia influye positivamente en todas las técnicas numéricas, es particularmente ventajosa para los métodos FDTD, que generan matrices de magnitudes de campo en marcha temporal adecuadas para su uso en videos en color para ilustrar la dinámica del campo. [4]

Taflove ha argumentado que estos factores se combinan para sugerir que la FDTD seguirá siendo una de las técnicas de electrodinámica computacional dominantes (así como potencialmente otros problemas multifísicos ). [4]

Véase también

Referencias

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Lectura adicional

El siguiente artículo en Nature Milestones: Photons ilustra la importancia histórica del método FDTD en relación con las ecuaciones de Maxwell:

Entrevista a Allen Taflove, "Solución numérica", en el número especial de enero de 2015 de Nature Photonics, en honor al 150 aniversario de la publicación de las ecuaciones de Maxwell. Esta entrevista aborda cómo el desarrollo de la FDTD se vincula con el siglo y medio de historia de la teoría de la electrodinámica de Maxwell:

Los siguientes libros de texto de nivel universitario proporcionan una buena introducción general al método FDTD:

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo .

Proyectos FDTD de software libre / software de código abierto :

Proyectos FDTD de código cerrado o gratuito (algunos no para uso comercial):