Método Datar-Mathews para valoración de opciones reales

El método Datar-Mathews ^[1] ( método DM ) ^[2] es un método para la valoración de opciones reales . El método proporciona una forma sencilla de determinar el valor real de la opción de un proyecto simplemente utilizando el promedio de los resultados positivos para el proyecto. El método puede entenderse como una extensión del modelo multiescenario de Monte Carlo del valor actual neto (VAN) con un ajuste por aversión al riesgo y toma de decisiones económicas. El método utiliza información que surge naturalmente en una valoración financiera de proyecto estándar de flujo de caja descontado (DCF), o VAN . Fue creado en 2000 por Vinay Datar, profesor de la Universidad de Seattle ; y Scott H. Mathews, miembro técnico de The Boeing Company .

Método

La ecuación matemática para el método DM se muestra a continuación. El método captura el valor real de la opción descontando la distribución de las ganancias operativas en R , la tasa de riesgo de mercado, y descontando la distribución de la inversión discrecional en r , la tasa libre de riesgo, antes de calcular la recompensa esperada. El valor de la opción es entonces el valor esperado del máximo de la diferencia entre las dos distribuciones descontadas o cero. ^[3]^[4] Fig. 1.

C_{0}=E\left[\max \left({\tilde {S}}_{T}e^{-Rt}-{\tilde {X}}_{T}e^{-rt},0\right)\right]

${\tilde {S}}_{T}$ es una variable aleatoria que representa los beneficios futuros o las ganancias operativas en el momento T. La valoración actual de utiliza R , una tasa de descuento consistente con el nivel de riesgo de R es la tasa de rendimiento requerida para participar en el mercado objetivo, a veces denominada tasa de obstáculo . ${\tilde {S}}_{T}$ ${\tilde {S}}_{T},$ ${\tilde {S}}_{0}={\tilde {S}}_{T}e^{-RT}.$
${\tilde {X}}_{T}$ es una variable aleatoria que representa el precio de ejercicio . La valoración actual de utiliza r , la tasa consistente con el riesgo de la inversión de capital de En muchas aplicaciones de opciones generalizadas, se utiliza la tasa de descuento libre de riesgo. Sin embargo, se pueden considerar otras tasas de descuento, como la tasa de bonos corporativos, en particular cuando la aplicación es un proyecto interno de desarrollo de productos corporativos. ${\tilde {X}}_{T}$ ${\tilde {X}}_{T},$ ${\tilde {X}}_{0}={\tilde {X}}_{T}e^{-rT}.$
${\estilo de visualización C_{0}}$ es el valor real de la opción para un proyecto de una sola etapa. El valor de la opción puede entenderse como el valor esperado de la diferencia de dos distribuciones de valor actual con un umbral económicamente racional que limita las pérdidas sobre una base ajustada al riesgo. Este valor también puede expresarse como una distribución estocástica.

La tasa de descuento diferencial para R y r permite implícitamente que el método DM tenga en cuenta el riesgo subyacente. ^[5] Si R > r , entonces la opción será adversa al riesgo , algo típico tanto para las opciones financieras como para las reales. Si R < r , entonces la opción será buscadora de riesgos. Si R = r , entonces se denomina una opción neutral al riesgo y tiene paralelismos con los análisis de tipo VPN con toma de decisiones, como los árboles de decisión . El método DM da los mismos resultados que los modelos de opciones de Black-Scholes y binomial lattice , siempre que se utilicen los mismos insumos y los mismos métodos de descuento. Por lo tanto, este valor de opción real no negociada depende de la percepción de riesgo del evaluador hacia un activo de mercado en relación con un activo de inversión de propiedad privada.

El método DM es ventajoso para su uso en aplicaciones de opciones reales porque, a diferencia de otros modelos de opciones, no requiere un valor para sigma (una medida de incertidumbre) o para S ₀ (el valor del proyecto hoy), los cuales son difíciles de derivar para proyectos de desarrollo de nuevos productos; consulte más información en la valuación de opciones reales . Finalmente, el método DM utiliza valores del mundo real de cualquier tipo de distribución , evitando el requisito de conversión a valores neutrales al riesgo y la restricción de una distribución lognormal ; ^[6] consulte más información en Métodos de Monte Carlo para la valuación de opciones .

Se han desarrollado extensiones del método para otras valoraciones de opciones reales, como garantía de contrato (opción de venta), multietapa, lanzamiento anticipado (opción americana) y otras.

Implementación

El método DM se puede implementar utilizando simulación de Monte Carlo , ^[7] o en una forma algebraica simplificada u otra forma (ver la opción de rango a continuación).

Utilizando la simulación, para cada muestra, el motor extrae una variable aleatoria de ambos , calcula sus valores actuales y toma la diferencia. ^[8]^[9] Fig. 2A. El valor de la diferencia se compara con cero, se determina el máximo de los dos y el motor de simulación registra el valor resultante. Aquí, reflejando la opcionalidad inherente al proyecto, un pronóstico de un resultado de valor negativo neto corresponde a un proyecto abandonado y tiene un valor cero. Fig. 2B. Los valores resultantes crean una distribución de pagos que representa el conjunto económicamente racional de pronósticos de valor descontado plausibles del proyecto en el momento T ₀ . ${\tilde {S}}_{T}{\text{ y }}{\tilde {X}}_{T},$

Cuando se han registrado suficientes valores de pago, normalmente unos pocos cientos, se calcula la media, o valor esperado, de la distribución de pagos. Fig. 2C. El valor de la opción es el valor esperado, el primer momento de todos los VPN positivos y ceros, de la distribución de pagos. ^[10]

Una interpretación simple es:

{\text{Valor real de la opción}}={\text{promedio}}\left[\max \left({\text{ganancia operativa}}-{\text{costes de lanzamiento}}\right),0)\right]

donde el beneficio operativo y los costes de lanzamiento son el rango adecuadamente descontado de flujos de efectivo hasta el momento T ₀ . ^[11]

El valor de la opción también puede entenderse como una distribución ( ) que refleja la incertidumbre de las variables subyacentes. ${\tilde {C}}_{0}$

Variaciones de la opción DM

Forma lognormal algebraica

La opción real DM puede considerarse una forma generalizada de valoración de opciones. Su simulación produce una distribución de valor presente truncada cuyo valor medio se interpreta como el valor de la opción. Con ciertas condiciones límite, la opción DM puede reformularse algebraicamente como una expectativa condicional de una distribución lognormal similar a la forma y las características de una opción financiera típica, como la opción financiera europea de una sola etapa de Black-Scholes. Esta sección ilustra la transformación de la opción real DM a su forma lognormal algebraica y su relación con la fórmula de la opción financiera de Black-Scholes. El proceso arroja luz sobre algunos de los elementos más técnicos de la formulación de la opción, lo que proporciona una mayor comprensión de los conceptos subyacentes.

La forma lognormal del método DM sigue siendo un concepto simple basado en los mismos procedimientos de cálculo que la forma de simulación. Es la expectativa condicional de la distribución de resultados de valor futuro proyectado descontado, , menos un costo de compra predeterminado (precio de ejercicio o costo de lanzamiento), , (modelado en este ejemplo como un valor escalar) multiplicado por la probabilidad de que esa distribución truncada sea mayor que un umbral, nominalmente 0. Una expectativa condicional es el valor esperado de la distribución truncada (media de la cola), MT , calculado con respecto a su distribución de probabilidad condicional ^[12] (Fig. 3). ${\tilde {S}}_{T}$ ${\bar {X}}_{T}$

El procedimiento de cálculo de la opción valora la inversión del proyecto (compra de la opción), C ₀ , en T ₀ . Para la opción DM el descuento diferenciado en el tiempo ( R y r ) da como resultado un cambio aparente de la distribución del resultado del valor proyectado, , en relación con , o la media escalar en el ejemplo que se muestra en la figura 4. ^[13]^[14] Este cambio relativo establece la expectativa condicional de la distribución truncada en T ₀ . ${\tilde {S}}$ ${\tilde {X}}$ ${\bar {X}}$

En una distribución lognormal para el resultado de valor futuro de un proyecto, , se deben especificar tanto la media, , como la desviación estándar, . ^[15] La desviación estándar, , de la distribución se descuenta proporcionalmente junto con la distribución, ^[16] ${\tilde {S}}_{T}$ ${\bar {S}}_{T}$ $Estilo de visualización SD_{T}$ $Estilo de visualización SD_{T}$ ${\tilde {S}}_{T}$ $SD_{0}=SD_{T}e^{-RT}.$

Los parámetros de , de una función lognormal en T ₀ se pueden derivar de los valores respectivamente, como: $\sigma {\text{ y }}\mu$ $SD_{0}{\text{ y }}S_{0}$

\sigma ={\sqrt {\ln \left[1+\left({\tfrac {SD}{S}}\right)^{2}\right]}}{\text{ donde }}{\tfrac {SD}{S}}={\tfrac {SD_{0}}{S_{0}}}={\tfrac {SD_{T}}{S_{T}}}

\mu =\ln \left({\tfrac {S_{0}}{\sqrt {1+\left({\tfrac {SD}{S}}\right)^{2}}}}\right)=\ln S_{0}-0,5\ln \left[1+\left({\tfrac {SD}{S}}\right)^{2}\right]=\ln S_{0}-0,5\sigma ^{2}.

La expectativa condicional del resultado del valor descontado es la media de la cola MT :

E\left[{\tilde {S}}\mid {\tilde {S}}\geq X\right]=S_{0}\left[{\tfrac {N\left({\tfrac {\mu +\sigma ^{2}-\ln X_{0}}{\sigma }}\right)}{N\left({\tfrac {\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right)}}\right]{\text{ donde }}N(\cdot )

es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar (N(0,1)).

La probabilidad de que el proyecto tenga éxito y se lance (“ejercite”) es $N\left({\tfrac {\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right).$

El valor de la inversión (opción) del proyecto es:

C_{0}=\left\{S_{0}\left[{\tfrac {N\left({\tfrac {\sigma ^{2}+\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right)}{N\left({\tfrac {\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right)}}\right]-X_{0}\right\}N\left({\tfrac {\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right).

Las matemáticas lognormales involucradas pueden ser engorrosas y opacas para algunas prácticas comerciales dentro de una corporación. Sin embargo, varias simplificaciones pueden aliviar esa carga y brindar claridad sin sacrificar la solidez del cálculo de la opción. Una simplificación es el empleo de la distribución normal estándar , también conocida como distribución Z, que tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1. Es una práctica común convertir una distribución normal en una distribución normal estándar y luego usar la tabla normal estándar para encontrar el valor de las probabilidades.

Definir como variable normal estándar : $Z={\tfrac {\left(\ln X_{0}-\mu \right)}{\sigma }}.$

La expectativa condicional del resultado del valor descontado es:

S_{0}[{\frac {N\left({\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln X_{0}}{\sigma }}\right)}{N\left({\frac {\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right)}}\right]=S_{0}[{\frac {N\left(\sigma -Z\right)}{N\left(-Z\right)}}\right].

Entonces la probabilidad de que el proyecto rinda dinero y se lance (“ejercite”) es: $N({\tfrac {\mu -\ln X_{0}}{\sigma }}\right)=N\left(-Z\right).$

El valor de la opción lognormal de Datar-Mathews se simplifica a:

C_{\text{DM}}=\left\{S_{0}\left[{\tfrac {N\left(\sigma -Z\right)}{N\left(-Z\right)}}\right]-X_{0}\right\}N\left(-Z\right)=S_{0}N\left(\sigma -Z\right)-X_{0}N\left(-Z\right).

Transformación hacia la opción Black-Scholes

La fórmula de la opción Black-Scholes (así como la red binomial ) es un caso especial de la opción real DM simulada. Con diferencias sutiles, pero notables, la forma logarítmica de la opción DM se puede transformar algebraicamente en la fórmula de la opción Black-Scholes. ^[17] La valoración de la opción real se basa en una aproximación de la distribución del resultado del valor futuro, que puede ser lognormal, en el momento T _T proyectado (descontado) a T ₀ . En contraste, la Black-Scholes se basa en una distribución lognormal proyectada a partir de los rendimientos históricos de los activos hasta el momento actual T ₀ . ^[18] El análisis de estas tendencias históricas da como resultado un cálculo denominado factor de volatilidad (finanzas) . Para Black-Scholes (BS), el factor de volatilidad es . ^[19]^[20] $\sigma _{BS}{\sqrt {T}}$

La siguiente distribución lognormal con una desviación estándar se reemplaza por el factor de volatilidad . $\sigma$ $\sigma _{BS}{\sqrt {T}}$

\left(\sigma -Z\right)=\sigma -{\tfrac {\left(\ln X_{0}-\mu \right)}{\sigma }}=\ln S_{0}-0.5\ln \left[1+\left({\tfrac {SD}{S}}\right)^{2}\right]={\tfrac {\left[\ln \left({\tfrac {S_{0}}{X_{T}}}\right)+\left(r+{\tfrac {\sigma _{\text{BS}}^{2}}{2}}\right)T\right]}{\left(\sigma _{\text{BS}}{\sqrt {T}}\right)}}=d_{1}{\text{ where }}\ln X_{T}=\ln X_{0}-rT

\left(-Z\right)=-{\tfrac {\left(\ln X_{0}-\mu \right)}{\sigma }}={\tfrac {\left[\left(\ln S_{0}-0.5\sigma ^{2}\right)-\ln X_{0}\right]}{\sigma }}={\tfrac {\left[\ln \left({\tfrac {S_{0}}{X_{T}}}\right)+\left(r-{\tfrac {\sigma _{\text{BS}}^{2}}{2}}\right)T\right]}{\left(\sigma _{\text{BS}}{\sqrt {T}}\right)}}=d_{1}-\sigma _{\text{BS}}{\sqrt {T}}=d_{2}

El valor de la opción Black-Scholes se simplifica a su forma familiar:

C_{\text{BS}}=SN\left(d_{1}\right)-X_{T}e^{-rT}N\left(d_{2}\right)

Los términos N ( d ₁ ) y N ( d ₂ ) se aplican en el cálculo de la fórmula de Black–Scholes y son expresiones relacionadas con operaciones en distribuciones lognormales; ^[21] véase la sección "Interpretación" en Black–Scholes . Con referencia a la Figura 5 y utilizando la forma lognormal de la opción DM, es posible obtener cierta información sobre el funcionamiento interno de una opción:

N\left(\sigma -Z\right)=N\left(d_{1}\right)

N\left(-Z\right)=N\left(d_{2}\right)

N ( -Z ) o N ( d ₂ ) es una medida del área de la cola de la distribución , MT (delineada por X ₀ ), relativa a la de toda la distribución, p. ej. la probabilidad de cola de la distribución, en el momento T ₀ . Fig. 5, derecha. La verdadera probabilidad de vencimiento en el dinero en el mundo real ("físico") se calcula en el momento T ₀ , la fecha de lanzamiento o de ejercicio, medida por el área de la cola de la distribución. N ( σ-Z ) o N ( d ₁ ) es el valor del pago de la opción relativo al del activo. donde MT es la media de la cola en el momento T ₀ . $N(d_{1})=\left[MT\ x\ N(d_{2})\right]/S_{0},$

Patrones de datos

Un cálculo simplificado del Método DM se ajusta a las mismas características esenciales: es la expectativa condicional descontada de la distribución del resultado del valor futuro proyectado descontado, o , menos un costo descontado, , multiplicado por la probabilidad de ejercicio. El valor de la opción del Método DM puede entenderse como Esta formulación simplificada tiene fuertes paralelismos con un cálculo de valor esperado . $MT$ $X_{0}$ $N\left(-Z\right).$ $C_{0}=\left(MT-X_{0}\right)\ x\ N\left(-Z\right).$

Las empresas que recopilan datos históricos pueden aprovechar la similitud de supuestos entre proyectos relacionados, lo que facilita el cálculo de los valores de las opciones. Una simplificación resultante es el índice de incertidumbre , que a menudo se puede modelar como una constante para proyectos similares. El índice de incertidumbre es el grado de certeza con el que se pueden estimar los flujos de efectivo futuros proyectados. El índice de incertidumbre es invariable en el tiempo y sus valores suelen estar entre 0,35 y 1,0 para muchos proyectos empresariales plurianuales. $\textstyle UR=(SD/S)$ $\textstyle \left({\tfrac {SD_{T}}{S_{T}}}={\tfrac {SD_{0}}{S_{0}}}\right)$

La aplicación de esta observación como una constante, K , a las fórmulas anteriores da como resultado una formulación más simple:

{\text{Define }}K=\sigma ={\sqrt {\left[\ln(1+UR^{2})\right]}}{\text{, and }}\mu =\ln S_{0}-0.5\sigma ^{2}=\ln S_{0}-0.5K^{2}.

Z={\frac {(\ln X_{0}-\mu )}{\sigma }}={\tfrac {\ln \left({\tfrac {X_{0}}{S_{0}}}\right)}{K}}+0.5K{\text{, and }}-Z={\tfrac {\ln \left({\tfrac {S_{0}}{X_{0}}}\right)}{K}}-0.5K.

$Z$ se distribuye normalmente y se puede acceder a los valores en una tabla de variables normales estándar . El valor de la opción real resultante se puede derivar simplemente con una calculadora portátil una vez que se determina K:

C_{0}=S_{0}N\left(\sigma -Z\right)-X_{0}N\left(-Z\right)=S_{0}N\left(K-Z\right)-X_{0}N\left(-Z\right).

Forma triangular (opción de rango)

Dada la dificultad de estimar la media y la desviación estándar de la distribución lognormal de los rendimientos futuros, se aplican con mayor frecuencia otras distribuciones para las opciones reales utilizadas en la toma de decisiones comerciales. Las distribuciones muestreadas pueden adoptar cualquier forma, aunque a menudo se utiliza la distribución triangular , como es típico para situaciones de pocos datos , seguida de una distribución uniforme (continua) o una distribución beta . ^[22]^[23] Este enfoque es útil para estimaciones tempranas del valor de la opción del proyecto cuando no ha habido tiempo o recursos suficientes para recopilar la información cuantitativa necesaria requerida para una simulación completa del flujo de caja, o en una cartera de proyectos cuando la simulación de todos los proyectos es demasiado exigente computacionalmente. ^[24] Independientemente de la distribución elegida, el procedimiento sigue siendo el mismo para una valoración de opciones reales.

Para una distribución triangular, a veces denominada estimación de tres puntos , el valor de la moda corresponde al escenario “más probable”, y los otros dos escenarios, “pesimista” y “optimista”, representan desviaciones plausibles del escenario más probable (a menudo modelados como una aproximación a una probabilidad bilateral de 1 de cada 10 o una confianza del 95%). ^[26]^[27]^[28]^[29] Este rango de estimaciones da como resultado el nombre epónimo de la opción, la Opción de Rango DM. ^[30] El método de la Opción de Rango DM es similar al método difuso para las opciones reales . El siguiente ejemplo (Fig. 6) utiliza un rango de ganancias operativas futuras estimadas de a (pesimista), b (optimista) y m (moda o más probable).

Para descuento a , b y m por $T_{0}$ $e^{-RT}{\text{ and }}X_{0}=X_{T}e^{-rT}.$

El método DM clásico presupone que el precio de ejercicio está representado por una variable aleatoria (distribución ) y que la solución de la opción se obtiene mediante simulación . Alternativamente, sin la carga de realizar una simulación, la aplicación del valor escalar promedio o medio de la distribución del costo de lanzamiento (precio de ejercicio) da como resultado una estimación conservadora del valor de la opción de rango DM. Si el costo de lanzamiento está predeterminado como un valor escalar, entonces el cálculo del valor de la opción de rango DM es exacto. ${\tilde {X}}_{0}$ ${\bar {X}}_{0}$

El valor esperado de la distribución triangular truncada (media de la cola derecha), es $MT={\tfrac {\left(2X_{0}+b\right)}{3}}.$

La probabilidad de que el proyecto tenga éxito y se lance es el área proporcional de la distribución truncada en relación con la distribución triangular completa. (Véase la figura 16) Esta expectativa parcial se calcula mediante la función de distribución acumulativa (CDF) dado que la distribución de probabilidad se encontrará en un valor mayor o igual a X :

P(X_{0}|X_{0}\geq x)={\frac {\left(b-X_{0}\right)^{2}}{\left[\left(b-a\right)\left(b-m\right)\right]}}.

El valor de la opción de rango DM, o inversión del proyecto, es:

C_{0}=\left(MT-X_{0}\right)\cdot P\left(X_{0}\vert X_{0}\geq x\right)=\left(MT-X_{0}\right)\cdot \left\{{\frac {\left(b-X_{0}\right)^{2}}{\left[\left(b-a\right)\left(b-m\right)\right]}}\right\}.

{\text{Note: }}\mu =0.5*\ln(a+b){\text{, }}\sigma =0.25*\ln(b/a){\text{, and }}UR={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.

^[31]

El uso de una opción de rango DM facilita la aplicación de la valoración de opciones reales a futuras inversiones en proyectos. La opción de rango DM proporciona una estimación de valoración que difiere marginalmente de la forma de distribución lognormal algebraica de la opción DM. Sin embargo, el resultado del valor futuro proyectado, S , de un proyecto rara vez se basa en una distribución lognormal derivada de los rendimientos históricos de los activos, como es el caso de una opción financiera. En cambio, el resultado del valor futuro, S , (así como el precio de ejercicio, X , y la desviación estándar, SD ), es más que probablemente una estimación de tres puntos basada en parámetros de ingeniería y marketing. Por lo tanto, la facilidad de aplicación de la opción de rango DM a menudo se justifica por su conveniencia y es suficiente para estimar el valor condicional de un proyecto futuro.

Opción multietapa (compuesta)

Timothy Luehrman, en un artículo de HBR , afirma: “En términos financieros, una estrategia empresarial se parece mucho más a una serie de opciones que a una serie de flujos de efectivo estáticos o incluso a árboles de decisiones . La ejecución de una estrategia casi siempre implica tomar una secuencia de decisiones arriesgadas”. ^[32] Una valoración de estrategia empresarial en múltiples etapas se puede modelar como una secuencia de decisiones de inversión contingente por etapas estructuradas como una serie de opciones de DM de una sola etapa.

Al valorar una oportunidad estratégica compleja, una opción de múltiples etapas o compuesta , ^[33] es un enfoque más preciso, pero matemáticamente más exigente, que los cálculos más simples que utilizan modelos de árboles de decisión , diagramas de influencia o modelos de red / binomiales . ^[34]^[35] Cada etapa depende de la ejecución o abandono (ganancia/éxito o pérdida/fracaso) de la etapa posterior, lo que representa el costo de inversión de las etapas anteriores. La literatura hace referencia a varios enfoques para modelar una opción de múltiples etapas. ^[36]^[37]^[38]^{[39] [}⁴⁰^]^{[41] [42]}^[43]^[44]^[45] Una opción de tres etapas (1 Prueba de concepto, 2 Desarrollo de prototipos, 3 Lanzamiento/Producción) se puede modelar como: ^[46] ${\begin{alignedat}{2}C_{0}=E{\Bigl (}&if\langle \left({\tilde {S}}_{1}e^{-Rt_{0}}\geq {\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\right),if\lbrace \left({\tilde {S}}_{2}e^{-Rt_{0}}\geq {\tilde {X}}_{2}e^{-rt_{0}}+{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\right),\\&\left[max\left({\tilde {S}}_{3}e^{-Rt_{0}}-{\tilde {X}}_{3}e^{-rt_{0}},0\right)-{\tilde {X}}_{2}e^{-rt_{0}}-{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\right],-{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\rbrace ,0\rangle {\Bigr )}.\end{alignedat}}$

La valoración se realiza entonces en orden inverso, dependiendo del éxito o el fracaso en cada etapa. El valor nominal de esta opción de tres etapas es la media de los múltiples flujos de caja simulados (normalmente varios miles de pruebas).

Si bien la valoración de una opción de múltiples etapas es de interés técnico, el enfoque principal de un gerente de proyecto es la maximización de la probabilidad de éxito y el valor general del proyecto. La selección astuta de los hitos de la etapa del proyecto puede lograr simultáneamente estos objetivos y, al mismo tiempo, proporcionar claridad en la gestión del proyecto. ^[47]^[48] Los puntos de ajuste de los hitos se determinan especificando el pago de la opción para la distribución del valor de la etapa final n y retrospectivamente . Se designan hitos prospectivos, o umbrales de valor, para cada etapa i (se pronuncia 'P-star'). Múltiples flujos de efectivo simulados, proyectados a partir de , crean un patrón de respuestas de valor de opción para cada etapa que revela hitos candidatos prospectivos. ^[49] La simulación evalúa los valores de la opción de pago ^[50] Una simulación de miles de ensayos da como resultado una valoración y clasificación de un gran conjunto de pares de datos para cada etapa i: valores de opción de la etapa i mapeados a valores candidatos. $P_{i}^{*}$ ${\tilde {S}}_{0}$ $E\lbrace \left[max\left({\tilde {S}}_{i}e^{-Rt_{0}}-{\tilde {X}}_{i}e^{-rt_{0}},0\right)-{\tilde {X}}_{i-1}e^{-rt_{0}}\right]\geq P_{i}^{*}\rbrace .$ $P_{i}^{*}$

Una distribución parabólica de pares de puntos de datos representa gráficamente el rango ordenado de valores de opciones de la etapa i en relación con los valores de los hitos prospectivos. Si el umbral seleccionado se establece demasiado bajo, hay un exceso de fallas en el ejercicio y, numéricamente, el valor de la opción esperada se reduce. Por otra parte, si el umbral seleccionado se establece demasiado alto, entonces no hay suficientes instancias de ejercicios exitosos y, numéricamente, el valor de la opción esperada se reduce nuevamente. El valor del hito óptimo ('P-doble estrella') que surge durante la simulación maximiza el valor general de la opción del proyecto al equilibrar las ganancias y las pérdidas. $P_{i}^{*}$ $P_{i}^{*}$ $\left({\tilde {S}}_{i}e^{-Rt_{0}}<P_{i}^{*}\right)$ $P_{i}^{*}$ $P_{i}^{**}$

Una opción de tres etapas optimizada para la gestión por hitos y maximización del valor se puede modelar como: ^[51]

${\begin{alignedat}{2}C_{0}=E{\Bigl (}&if\langle \left({\tilde {S}}_{1}e^{-Rt_{0}}\geq P_{1}^{**}\right),if\lbrace \left({\tilde {S}}_{2}e^{-Rt_{0}}\geq P_{2}^{**}\right),\\&\left[max\left({\tilde {S}}_{3}e^{-Rt_{0}}-{\tilde {X}}_{3}e^{-rt_{0}},0\right)-{\tilde {X}}_{2}e^{-rt_{0}}-{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\right],-{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\rbrace ,0\rangle {\Bigr )}.\end{alignedat}}$ ^[52]

O, sucintamente,

$C_{0}=E\left[max\left({\tilde {S}}_{n}e^{-Rt_{0}}-{\tilde {X}}_{n}e^{-rt_{0}},0\right)-{\tilde {X}}_{n-i}e^{-rt_{0}}\right]\times \mathbb {P} \left({\tilde {S}}_{1}^{n-1}e^{-Rt_{0}}\geq P_{1}^{n-1**}\right).$ ^[53]

Tenga en cuenta que, por lo general, la inserción de estos hitos condicionales cuidadosamente determinados aumenta el valor general de la opción nominal de múltiples etapas porque cada etapa sucesiva se ha optimizado para maximizar el valor de la opción. Mediante el uso de hitos seleccionados, el gerente de proyecto logra los objetivos de aumentar la probabilidad de éxito y el valor general del proyecto, al tiempo que reduce la carga de gestión del proyecto. $P_{i}^{**}\gg {\tilde {X}}_{i}e^{-rt_{0}}.$

Integración de la curva de demanda

En muchos proyectos en etapa inicial, los valores desconocidos dominantes son las estimaciones de rango de primer orden de los principales componentes de las ganancias operativas: ingresos y costo de fabricación de los bienes vendidos (COGS). A su vez, la incertidumbre sobre los ingresos se debe a estimaciones aproximadas del precio o el tamaño de la demanda del mercado. El precio y el tamaño del mercado se pueden estimar de forma independiente, aunque combinarlos en una relación de demanda del mercado es un mejor enfoque. El COGS, el costo total de la cantidad de producto a vender, es el componente final y tiende de acuerdo con una relación de costos de la experiencia o la curva de aprendizaje vinculada al tamaño del mercado. La interacción de estos tres elementos del mercado dentro de una simulación de opciones reales de DM, incluso con rangos en etapa inicial, puede reducir la incertidumbre para la planificación del proyecto al producir estimaciones objetivo razonablemente acotadas para el precio del producto y el tamaño de la producción que maximizan las ganancias operativas potenciales y mejoran el valor de la opción.

Una curva de demanda de precio de mercado representa gráficamente la relación entre el precio y el tamaño, o la cantidad demandada. La ley de la demanda establece que existe una relación inversa entre el precio y la cantidad demandada, o simplemente que, a medida que el precio disminuye, la cantidad demandada del producto aumentará. Una segunda curva, la gráfica de costos de fabricación, modela el efecto de la curva de aprendizaje e ilustra la relación entre la cantidad de bienes producidos y las ganancias de eficiencia de esa producción. Figura 12. Matemáticamente, la curva de aprendizaje toma la forma de una función de potencia. ^[54]

Una curva de demanda se puede modelar de manera realista utilizando una distribución lognormal inversa que convoluciona la estimación de la distribución de precios de mercado con el rango de tamaño del mercado. ^[55]^[56] Una curva de demanda modela hábilmente mercados altamente diferenciados que a través de la fijación de precios distinguen características selectivas de productos o servicios como calidad o grado, características funcionales y disponibilidad, junto con la cantidad vendida. Algunos ejemplos son los automóviles, los zapatos, los teléfonos inteligentes y las computadoras. Los mercados de tarifas aéreas están altamente diferenciados donde la fijación de precios de demanda y la cantidad vendida dependen de la estacionalidad, el día de la semana, la hora del día, la ruta, las promociones de venta y el asiento o la clase de tarifa. El patrón de distribución de la demanda de tarifas aéreas está bien representado con una distribución lognormal inversa como se muestra en la Figura 13.

Las curvas de todos los componentes anteriores (precio de mercado, tamaño y costo de los bienes vendidos) se pueden simular con variabilidad para obtener un insumo óptimo de utilidad operativa para el cálculo de la opción real (Fig. 14). Por ejemplo, los resultados de la simulación representados en la Fig. 15 indican rangos de precio y cantidad unitaria que potencialmente maximizarán la rentabilidad. Extraídos de estas estimaciones de rango de primer orden, una selección de los valores pico (de frecuencia) identifica una gama significativamente reducida de estimaciones prometedoras. Conocer estas gamas de valores óptimos reduce sustancialmente la incertidumbre y proporciona un conjunto mejor y más específico de parámetros a partir de los cuales basar con confianza los planes de desarrollo de innovación y el valor de la opción.

Comparación con otros métodos

El método de pago difuso para la valoración de opciones reales , creado en 2009, ofrece otro enfoque accesible para la valoración de opciones reales. Aunque cada uno utiliza métodos matemáticos diferentes (Fuzzy: lógica difusa ; DM: simulación numérica y geometría), el principio subyacente es sorprendentemente similar: la probabilidad de un pago positivo. Examinar por separado los dos factores (posibilidad/probabilidad y pago positivo) demuestra esta similitud.

La función de posibilidad para el pago difuso es . Una interpretación simple es la razón de proporcionalidad del área positiva del VPN difuso sobre el área total del VPN difuso. La probabilidad del pago del proyecto para la opción de rango DM es proporcional al área (CDF) de la distribución positiva relativa a la distribución completa. Esto se calcula como En cada uno de los cocientes de las áreas se calculan al mismo valor de posibilidad/probabilidad. El pago positivo del pago difuso simplemente es la media del área positiva del VPN difuso, o . Del mismo modo, el pago positivo para la opción de rango DM es la media de la cola derecha ( MT ), o menos el precio de ejercicio Esta perspectiva de la mecánica de los dos métodos ilustra no solo su similitud sino también su equivalencia. ${\tfrac {A(Pos)}{A(Pos)+A(Neg)}}$ ${\tfrac {\left(b-X_{0}\right)^{2}}{\left[\left(b-a\right)\left(b-m\right)\right]}}.$ $E[A^{+}]$ ${\tfrac {\left(2X_{0}+b\right)}{3}}$ $X_{0}$

En un artículo de 2016 en la revista Advances in Decision Sciences , investigadores de la Escuela de Negocios y Gestión de la Universidad Tecnológica de Lappeenranta compararon el método DM con el método de pago difuso para la valoración de opciones reales y observaron que, si bien los resultados de la valoración eran similares, el método de pago difuso era más sólido en algunas condiciones. ^[57] En algunos casos comparativos, el método Datar-Mathews tiene una ventaja significativa, ya que es más fácil de operar y conecta la valoración del VPN y el análisis de escenarios con la técnica de simulación de Monte Carlo (o geometría), mejorando así en gran medida la intuición en el uso de métodos de opciones reales en la toma de decisiones gerenciales y la explicación a terceros. ^[58] A través de su interfaz de simulación, el método Datar-Mathews acomoda fácilmente escenarios de flujo de efectivo múltiples y a veces correlacionados, incluida la programación dinámica, típica de proyectos complejos, como el aeroespacial, que son difíciles de modelar utilizando conjuntos difusos. ^[59]

Método DM y teoría prospectiva

Las opciones reales consisten en valorar objetivamente las oportunidades de innovación . Lamentablemente, estas oportunidades, efímeras y aparentemente riesgosas, suelen entenderse de manera subjetiva. Sin embargo, tanto el mecanismo de valoración objetivo como la interpretación subjetiva de los resultados suelen malinterpretarse, lo que genera reticencia a invertir y, potencialmente, infravaloración de las oportunidades.

La opción real DM emplea la fórmula de valoración objetiva donde es el umbral predeterminado cuando es económicamente racional terminar (abandonar) un evento de oportunidad. Si un evento de simulación ("draw") calcula un resultado negativo (es decir, ganancias operativas menores que los costos de lanzamiento), entonces ese resultado del evento debería cortarse o terminarse racionalmente, registrando un residuo. Solo se contabilizan los resultados económicos netos positivos . Esta operación deja la percepción errónea de que "las probabilidades están apiladas" a favor de solo los resultados positivos, lo que aparentemente resulta en una valoración anormalmente alta. Sin embargo, la fórmula calcula matemáticamente el valor correcto de la opción ajustando estos resultados positivos según su probabilidad, es decir, la probabilidad de un éxito (POS). ^[60] $C_{0}=E[\max(...,{\color {red}0)}],$ $\color {red}0$ $[{\tilde {S}}_{T}e^{-Rt}\leq {\tilde {X}}_{T}e^{-rt}],$ $\color {red}0$ $[{\tilde {S}}_{T}e^{-Rt}>{\tilde {X}}_{T}e^{-rt}]$ $E$ $C_{0}=E[\max(...,0)]$

La fórmula actual de DM es aquella en la que el umbral ('piso') puede asumir cualquier valor (o fórmula alternativa) incluido el valor predeterminado . El uso de un umbral distinto de transforma la fórmula en una variación de opción ponderada por obstáculos. El resultado ya no es equivalente al valor de una opción financiera. $C_{0}=E[\max(...,{\color {red}?})],$ $\color {red}?$ $\color {red}0$ $\color {red}0$

Gran parte del alto valor percibido de una valoración de opción real se ubica desproporcionadamente en el extremo derecho de la cola de la distribución de simulación, un área de baja probabilidad pero resultados de alto valor. La valoración de la opción refleja el valor de oportunidad potencial si se validan los diversos supuestos de resultados. Las inversiones incrementales específicas pueden validar estos supuestos de baja probabilidad. Si no es así, reemplace los supuestos con elementos "plausibles" comprobados y luego vuelva a calcular el valor en función de los nuevos aprendizajes.

La subvaloración subjetiva de las opciones reales se puede explicar parcialmente mediante las ciencias del comportamiento . Un inversor en innovación puede percibir que las inversiones iniciales son potencialmente una pérdida, en particular si el POS es bajo. La teoría de la perspectiva de Kahneman y Tversky ^[61] proclama que se percibe que las pérdidas tienen un impacto más del doble que las ganancias para el mismo valor. ^[62]^[63] El resultado es que el inversor reacio a las pérdidas subvalorará subjetivamente la oportunidad y, por lo tanto, la inversión, a pesar de la valoración objetiva y financieramente precisa de la opción real.

La aversión al arrepentimiento , otra observación de la ciencia del comportamiento, se produce cuando se toma una decisión infundada para evitar arrepentirse de un resultado futuro. Por ejemplo, un inversor reacio al arrepentimiento decide invertir en una oportunidad relativamente "segura" pero con una rentabilidad menor en relación con una alternativa con una rentabilidad significativamente mayor pero presumiblemente incierta. El fenómeno de la aversión al arrepentimiento está estrechamente relacionado con la aversión a la incertidumbre (sesgo de certeza), donde los aspectos desconocidos de la oportunidad de innovación (es decir, novedad, falta de control) se racionalizan como un obstáculo para futuras inversiones. Las consecuencias de la toma de decisiones con aversión a la pérdida y al arrepentimiento son inversiones parsimoniosas y una financiación insuficiente ("infravaloración") de oportunidades prometedoras de innovación en fase inicial.

Un inversor astuto puede superar la percepción de una valoración errónea del precio de una opción. La aversión a las pérdidas se registra significativamente alta cuando el valor total de la opción se interpreta como riesgo de inversión. Esta respuesta emocional no tiene en cuenta que las inversiones iniciales en la etapa inicial son solo una fracción del valor total de la opción, necesariamente destinadas a validar los supuestos más destacados. De manera similar, la aversión al arrepentimiento no debe confundirse con aversión al riesgo porque la exposición de pequeñas inversiones en la etapa inicial por lo general no es material. En cambio, estas inversiones iniciales investigan cuidadosamente el valor central de la oportunidad al tiempo que brindan una sensación de control sobre un resultado que de otro modo sería incierto. El arrepentimiento se minimiza al darse cuenta de que el desarrollo de la oportunidad puede terminar si los resultados de los supuestos no son prometedores. Los fondos de inversión gastados se aplican con prudencia solo para investigar una oportunidad prometedora y, a cambio, se mejoran con el conocimiento adquirido.

Dado que las personas son propensas a los sesgos cognitivos , se han diseñado varias estrategias de intervención para reducirlos, incluida la revisión por parte de expertos junto con la conciencia del sesgo y el realismo ingenuo . ^[64] Un fenómeno denominado " punto ciego del sesgo " describe sucintamente la susceptibilidad inconsciente de un individuo a los sesgos. ^[65] Este error de atribución fundamental permanece inconscientemente oculto por una ilusión de autointrospección , es decir, que creemos, falsamente, que tenemos acceso a nuestras intenciones o motivaciones internas. Los sesgos pueden racionalizarse a posteriori, pero no obstante afectan la toma de decisiones. Para contrarrestar los sesgos, no basta con ser consciente de sus características, sino que también es necesario educarse sobre la propia ilusión de introspección. ^[66]

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^ De aquí en adelante, se supone que las variables son escalables a menos que se especifique lo contrario como una distribución indicada por una tilde. $\sim .$
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^ El modelo Black-Scholes suponía clásicamente que una distribución lognormal era la que más se aproximaba a la distribución estadística de los rendimientos de un activo. Esta suposición simplificaba convenientemente las matemáticas de la fórmula de fijación de precios de opciones y sigue siendo una aproximación útil. En realidad, los precios de los títulos no siguen un proceso lognormal estacionario estricto. Los resultados de valor obtenidos con el modelo Black-Scholes difieren ligeramente de los precios de las opciones financieras del mundo real, en parte debido a las suposiciones simplificadoras del modelo.
^ La varianza de una distribución lognormal es , y su desviación estándar es . Se supone que la varianza de los precios de las acciones sigue un proceso de Wiener o un movimiento browniano geométrico proporcional al tiempo y su desviación estándar (o volatilidad) es . La relación entre la volatilidad de Black Scholes (BS) (anualizada) y la desviación estándar logarítmica es entonces: Alternativamente, donde S es la media y SD es la desviación estándar de la distribución lognormal de valor presente. $\sigma ^{2}$ $\sigma$ $\sigma ^{2}T$ $\sigma {\sqrt {T}}$ $\sigma _{BS}{\sqrt {T}}=\sigma .$ $\sigma _{BS}={\sqrt {\tfrac {\ln \left[1+\left({\tfrac {SD}{S}}\right)^{2}\right]}{T}}}$
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^ El modelo se basa en una simulación estocástica para generar los flujos de efectivo con valores iniciales y proyectados con una tasa forward y volatilidad. ${\tilde {S}}_{0}{\text{ and }}{\tilde {X}}_{i}$
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^ Establecer hitos del proyecto, al menos para la primera y posiblemente la segunda etapa de construcción, es clave para gestionar estas decisiones de inversión "decisivas" sin involucrar a la alta gerencia en los cálculos de la valoración de opciones de múltiples etapas.
^ Por ejemplo, la perspectiva desde la etapa , con un costo de ejecución de es un rango de valores desde un máximo de hasta un mínimo de . $i-1$ $-{\tilde {X}}_{i-1}e^{-rt_{0}},$ $\left({\tilde {S}}_{i}e^{-Rt_{0}}-{\tilde {X}}_{i}e^{-rt_{0}},0\right)-{\tilde {X}}_{i-1}e^{-rt_{0}}$ $-{\tilde {X}}_{i-1}e^{-rt_{0}}$
^ Dada la perspectiva en la etapa y el costo incurrido, ¿cuál es el hito o valor umbral que maximizará? $n-1,$ $-{\tilde {X}}_{n-1}e^{-rt_{0}},$ $P_{i}^{*}$ $\left[max\left({\tilde {S}}_{i}e^{-Rt_{0}}-{\tilde {X}}_{i}e^{-rt_{0}},0\right)-{\tilde {X}}_{i-1}e^{-rt_{0}}\right]?$
^ El valor de esta opción optimizada es casi siempre (significativamente) mayor y no equivalente al valor nominal de la opción de tres etapas anterior.
^ Se pueden establecer valores de hitos alternativos en función de los valores proyectados para el futuro. Una vez ajustados, el valor no cambia. ${\tilde {S}}_{i}e^{Rt_{i}}\geq P_{i}^{**}$ $C_{0}$
^ Una opción de varias etapas se puede valorar con fracciones. A continuación se muestra un ejemplo de una opción de tres etapas: ${\begin{alignedat}{7}&1.\quad \mathbb {P} \left({\tilde {S}}_{1}e^{-Rt_{0}}<P_{1}^{**}\right)\times 0\\&2.\quad \mathbb {P} \left({\tilde {S}}_{1}e^{-Rt_{0}}\geq P_{1}^{**}\;\And \;{\tilde {S}}_{2}e^{-Rt_{0}}<P_{2}^{**}\right)\times -{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\\&3.\quad \mathbb {P} \left({\tilde {S}}_{1}e^{-Rt_{0}}\geq P_{1}^{**}\;\And \;{\tilde {S}}_{2}e^{-Rt_{0}}\geq P_{2}^{**}\;\And \;{\tilde {S}}_{3}e^{-Rt_{0}}<{\tilde {X}}_{3}e^{-rt_{0}}\right)\\&\qquad \;\times -\left({\tilde {X}}_{2}e^{-rt_{0}}+{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\right)\\&4.\quad \mathbb {P} \left({\tilde {S}}_{1}e^{-Rt_{0}}\geq P_{1}^{**}\;\And \;{\tilde {S}}_{2}e^{-Rt_{0}}\geq P_{2}^{**}\;\And \;{\tilde {S}}_{3}e^{-Rt_{0}}\geq {\tilde {X}}_{3}e^{-rt_{0}}\right)\\&\qquad \;\times \left[{\tilde {S}}_{3}e^{-Rt_{0}}-\left({\tilde {X}}_{3}e^{-rt_{0}}+{\tilde {X}}_{2}e^{-rt_{0}}+{\tilde {X}}_{1}e^{-rt_{0}}\right)\right]\\&5.\quad \sum \left(1:4\right)\\\end{alignedat}}$
^ Ley de Wright: donde es el costo de producción de la unidad, es el costo de la primera unidad y b es la tasa de progreso. 1-b es la reducción proporcional del costo unitario con cada duplicación en la producción acumulada (tasa de aprendizaje). En muchas industrias, las estimaciones de b varían de 0,75 a 0,9. A veces puede ser difícil de estimar, especialmente en la planificación de proyectos en etapa temprana. En cambio, se estima un costo de producción objetivo para una unidad de producción futura, por ejemplo. Luego, se calcula la fórmula de la curva de aprendizaje a la inversa para estimar $C_{x}=C_{1}x^{\log _{2}(b)},$ $C_{x}$ $x^{th}$ $C_{1}$ $C_{1}$ $C_{30,000}$ $C_{1}.$
^ Curva de demanda. Patente de EE.UU. N.º 7.627.495 (emitida el 1 de diciembre de 2009).
^ Normalmente, el precio de demanda del mercado se estima como un rango en unidades normales, como $40K - $90K, con un rango de confianza como 10%-90%. La evaluación matemática de un precio de mercado por probabilidad, es decir, incrementos porcentuales del tamaño del mercado, requiere la conversión a unidades lognormales. Muchos programas complementarios de hojas de cálculo (Oracle's Crystal Ball, @Risk, etc.) convierten automáticamente los rangos de confianza de los valores de desviación estándar y media normales en parámetros de distribución lognormal. Estas son las fórmulas de conversión: y . La fórmula de Excel para el precio de mercado por incrementos de probabilidad se expresa como una función lognormal inversa: $LogMean=\ln \left({\tfrac {NormMean^{2}}{\sqrt {NormStdev^{2}+NormMean^{2}}}}\right),$ $LogStdev={\sqrt {\ln \left(1+{\tfrac {NormStdev^{2}}{NormMean^{2}}}\right)}}$ $Lognorm.inv=(probability,LogMean,LogStdev).$
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