Trascendentes de Painlevé

En matemáticas, las trascendentes de Painlevé son soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de segundo orden en el plano complejo con la propiedad de Painlevé (las únicas singularidades móviles son los polos), pero que generalmente no son resolubles en términos de funciones elementales . Fueron descubiertas por Émile Picard  (1889), Paul Painlevé  (1900, 1902), Richard Fuchs (1905) y Bertrand Gambier (1910).

Historia

Las trascendentes de Painlevé tienen su origen en el estudio de funciones especiales , que a menudo surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales, así como en el estudio de deformaciones isomonodrómicas de ecuaciones diferenciales lineales. Una de las clases más útiles de funciones especiales son las funciones elípticas . Se definen por ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden cuyas singularidades tienen la propiedad de Painlevé : las únicas singularidades movibles son los polos . Esta propiedad es rara en ecuaciones no lineales. Poincaré y L. Fuchs demostraron que cualquier ecuación de primer orden con la propiedad de Painlevé puede transformarse en la ecuación elíptica de Weierstrass o la ecuación de Riccati , que pueden resolverse todas explícitamente en términos de integración y funciones especiales previamente conocidas. ^[1] Émile Picard señaló que para órdenes mayores que 1, pueden ocurrir singularidades esenciales movibles, y encontró un caso especial de lo que más tarde se llamó ecuación de Painleve VI (ver más abajo). (Para órdenes mayores que 2 las soluciones pueden tener límites naturales móviles.) Alrededor de 1900, Paul Painlevé estudió ecuaciones diferenciales de segundo orden sin singularidades móviles. Descubrió que, hasta ciertas transformaciones, cada ecuación de la forma

${\displaystyle y^{\prime \prime }=R(y^{\prime },y,t)}$

(con una función racional) se puede poner en una de cincuenta formas canónicas (enumeradas en (Ince 1956)). Painlevé (1900, 1902) encontró que cuarenta y cuatro de las cincuenta ecuaciones son reducibles en el sentido de que se pueden resolver en términos de funciones previamente conocidas, dejando solo seis ecuaciones que requieren la introducción de nuevas funciones especiales para resolverlas. Hubo algunos errores de cálculo y, como resultado, omitió tres de las ecuaciones, incluida la forma general de Painlevé VI. Los errores fueron corregidos y la clasificación completada por el estudiante de Painlevé, Bertrand Gambier. Independientemente de Painlevé y Gambier, la ecuación Painlevé VI fue encontrada por Richard Fuchs a partir de consideraciones completamente diferentes: estudió deformaciones isomonodrómicas de ecuaciones diferenciales lineales con singularidades regulares . Durante muchos años fue un problema controvertido y abierto demostrar que estas seis ecuaciones eran realmente irreducibles para valores genéricos de los parámetros (a veces son reducibles para valores de parámetros especiales; véase más adelante), pero esto fue finalmente demostrado por Nishioka (1988) e Hiroshi Umemura (1989). Estas seis ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden se denominan ecuaciones de Painlevé y sus soluciones se denominan trascendentes de Painlevé. ${\displaystyle R}$

Painlevé pasó por alto la forma más general de la sexta ecuación, pero fue descubierta en 1905 por Richard Fuchs (hijo de Lazarus Fuchs ), como la ecuación diferencial satisfecha por la singularidad de una ecuación fuchsiana de segundo orden con 4 puntos singulares regulares en la línea proyectiva bajo deformaciones que preservan la monodromía . Fue agregada a la lista de Painlevé por Gambier (1910). ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$

Chazy (1910, 1911) intentó extender el trabajo de Painlevé a ecuaciones de orden superior, encontrando algunas ecuaciones de tercer orden con la propiedad de Painlevé.

Lista de ecuaciones de Painlevé

Estas seis ecuaciones, tradicionalmente denominadas Painlevé I–VI, son las siguientes:

• Yo (Painlevé):

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=6y^{2}+t}$

• II (Dolor leve):

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=2y^{3}+ty+\alpha }$

• III (Dolor leve):

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{y}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {1}{t}}(\alpha y^{2}+\beta )+\gamma y^{3}+{\frac {\delta }{y}}}$

• IV (Gambier):

  ${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{2y}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+{\tfrac {3}{2}}y^{3}+4ty^{2}+2(t^{2}-\alpha )y+{\frac {\beta }{y}}}$

• V (Gambier):

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\left({\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {(y-1)^{2}}{t^{2}}}\left(\alpha y+{\frac {\beta }{y}}\right)+\gamma {\frac {y}{t}}+\delta {\frac {y(y+1)}{y-1}}\\\end{aligned}}}$

• VI (R. Fuchs):

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{t}}+{\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right){\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {y(y-1)(y-t)}{t^{2}(t-1)^{2}}}\left\{\alpha +\beta {\frac {t}{y^{2}}}+\gamma {\frac {t-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {t(t-1)}{(y-t)^{2}}}\right\}\\\end{aligned}}}$

Los números , , , son constantes complejas. Al cambiar la escala , se pueden elegir dos de los parámetros para el tipo III y uno de los parámetros para el tipo V, por lo que estos tipos realmente tienen solo 2 y 3 parámetros independientes. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$

Singularidades

Las singularidades de las soluciones de estas ecuaciones son

• El punto , y ${\displaystyle \infty }$
• El punto 0 para los tipos III, V y VI, y
• El punto 1 para el tipo VI, y
• Posiblemente algunos postes móviles

Para el tipo I, las singularidades son polos dobles (móviles) de residuo 0, y todas las soluciones tienen un número infinito de tales polos en el plano complejo. Las funciones con un polo doble en tienen la expansión en serie de Laurent ${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle (z-z_{0})^{-2}-{\frac {z_{0}}{10}}(z-z_{0})^{2}-{\frac {1}{6}}(z-z_{0})^{3}+h(z-z_{0})^{4}+{\frac {z_{0}^{2}}{300}}(z-z_{0})^{6}+\cdots }$

convergente en algún entorno de (donde es un número complejo). La ubicación de los polos fue descrita en detalle por (Boutroux 1913, 1914). El número de polos en una bola de radio crece aproximadamente como una constante multiplicada por . ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R^{5/2}}$

Para el tipo II, las singularidades son todas polos simples (móviles).

Degeneraciones

Las primeras cinco ecuaciones de Painlevé son degeneraciones de la sexta ecuación. Más precisamente, algunas de las ecuaciones son degeneraciones de otras según el siguiente diagrama (véase Clarkson (2006), pág. 380), que también da las degeneraciones correspondientes de la función hipergeométrica de Gauss (véase Clarkson (2006), pág. 372).

Sistemas hamiltonianos

Todas las ecuaciones de Painlevé pueden representarse como sistemas hamiltonianos .

Ejemplo: Si ponemos

${\displaystyle \displaystyle q=y,\quad p=y^{\prime }+y^{2}+t/2}$

Luego la segunda ecuación de Painlevé

${\displaystyle \displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2}$

es equivalente al sistema hamiltoniano

${\displaystyle \displaystyle q^{\prime }={\frac {\partial H}{\partial p}}=p-q^{2}-t/2}$

${\displaystyle \displaystyle p^{\prime }=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=2pq+b}$

Para el hamiltoniano

${\displaystyle \displaystyle H=p(p-2q^{2}-t)/2-bq.}$

Simetrías

Una transformada de Bäcklund es una transformación de las variables dependientes e independientes de una ecuación diferencial que la transforma en una ecuación similar. Todas las ecuaciones de Painlevé tienen grupos discretos de transformaciones de Bäcklund que actúan sobre ellas y que pueden utilizarse para generar nuevas soluciones a partir de soluciones conocidas.

Ejemplo tipo I

El conjunto de soluciones de la ecuación de Painlevé tipo I

${\displaystyle y^{\prime \prime }=6y^{2}+t}$

se ve afectada por la simetría de orden 5 , donde es una raíz quinta de 1. Hay dos soluciones invariantes bajo esta transformación, una con un polo de orden 2 en 0 y la otra con un cero de orden 3 en 0. ${\displaystyle y\to \zeta ^{3}y}$ ${\displaystyle t\to \zeta t}$ ${\displaystyle \zeta }$

Ejemplo tipo II

En el formalismo hamiltoniano de la ecuación de Painlevé tipo II

${\displaystyle \displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2}$

con

${\displaystyle \displaystyle q=y,p=y^{\prime }+y^{2}+t/2}$

dos transformaciones de Bäcklund están dadas por

${\displaystyle \displaystyle (q,p,b)\to (q+b/p,p,-b)}$

y

${\displaystyle \displaystyle (q,p,b)\to (-q,-p+2q^{2}+t,1-b).}$

Ambas tienen orden 2 y generan un grupo diedro infinito de transformaciones de Bäcklund (que de hecho es el grupo de Weyl afín de ; ver más abajo). Si entonces la ecuación tiene la solución ; la aplicación de las transformaciones de Bäcklund genera una familia infinita de funciones racionales que son soluciones, como , , ... ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle b=1/2}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y=1/t}$ ${\displaystyle y=2(t^{3}-2)/t(t^{3}-4)}$

Okamoto descubrió que el espacio de parámetros de cada ecuación de Painlevé se puede identificar con la subálgebra de Cartan de un álgebra de Lie semisimple , de modo que las acciones del grupo de Weyl afín se elevan a transformaciones de Bäcklund de las ecuaciones. Las álgebras de Lie para , , , , , son 0, , , , , y . ${\displaystyle P_{I}}$ ${\displaystyle P_{II}}$ ${\displaystyle P_{III}}$ ${\displaystyle P_{IV}}$ ${\displaystyle P_{V}}$ ${\displaystyle P_{VI}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}\oplus A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A_{3}}$ ${\displaystyle D_{4}}$

Relación con otras áreas

Una de las principales razones por las que se estudian las ecuaciones de Painlevé es su relación con la invariancia de la monodromía de sistemas lineales con singularidades regulares ante cambios en el lugar geométrico de los polos. En particular, la ecuación Painlevé VI fue descubierta por Richard Fuchs debido a esta relación. Este tema se describe en el artículo sobre deformación isomonodrómica .

Las ecuaciones de Painlevé son todas reducciones de ecuaciones diferenciales parciales integrables ; véase MJ Ablowitz y PA Clarkson (1991).

Las ecuaciones de Painlevé son todas reducciones de las ecuaciones autoduales de Yang-Mills ; véase Ablowitz, Chakravarty y Halburd (2003).

Los trascendentes de Painlevé aparecen en la teoría de matrices aleatorias en la fórmula de la distribución de Tracy-Widom , el modelo de Ising 2D , el proceso de exclusión simple asimétrico y en la gravedad cuántica bidimensional.

La ecuación de Painlevé VI aparece en la teoría de campos conforme bidimensional : es obedecida por combinaciones de bloques conformes tanto en como , donde es la carga central del álgebra de Virasoro . ${\displaystyle c=1}$ ${\displaystyle c=\infty }$ ${\displaystyle c}$

Notas

1. Conte, Robert (1999). Conte, Robert (ed.). La Propiedad Painlevé . Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. pag. 105. doi :10.1007/978-1-4612-1532-5. ISBN 978-0-387-98888-7.

Referencias

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Enlaces externos

• Clarkson, PA Painlevé Transcendents, Capítulo 32 de la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST
• Joshi, Nalini ¿Qué es esta cosa llamada Painlevé?
• Takasaki, Kanehisa Painlevé Ecuaciones
• Weisstein, Eric W. "Trascendentes de Painleve". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Propiedad de Painleve". MathWorld .