Deformación isomonodrómica

En matemáticas , las ecuaciones que rigen la deformación isomonodrómica de los sistemas lineales meromórficos de ecuaciones diferenciales ordinarias son, en un sentido bastante preciso, las ecuaciones diferenciales no lineales exactas más fundamentales . Como resultado, sus soluciones y propiedades se encuentran en el corazón del campo de la no linealidad exacta y los sistemas integrables .

Las deformaciones isomonodrómicas fueron estudiadas por primera vez por Richard Fuchs, con contribuciones pioneras de Lazarus Fuchs , Paul Painlevé , René Garnier y Ludwig Schlesinger . Inspirados por los resultados de la mecánica estadística , Michio Jimbo , Tetsuji Miwa y Kimio Ueno realizaron una contribución seminal a la teoría , quienes estudiaron casos que involucraban singularidades irregulares.

Sistemas fuchsianos y ecuaciones de Schlesinger

Sistema fucsia

Un sistema fuchsiano es el sistema de ecuaciones diferenciales lineales ^[1]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=A(x)y=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{x-\lambda _{i}}}y}$

donde x toma valores en la línea proyectiva compleja , y toma valores en y A _i son matrices constantes n × n . Las soluciones de esta ecuación tienen crecimiento polinomial en el límite x = λ _i . Al colocar n soluciones de columna independientes en una matriz fundamental , entonces y se puede considerar que toman valores en . Para simplificar, supongamos que no hay más polos en el infinito, lo que equivale a la condición de que ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle Y=(y_{1},...,y_{n})}$ ${\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=AY}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}=0.}$

Datos de monodromía

Ahora, fijamos un punto base b en la esfera de Riemann alejado de los polos . La continuación analítica de una solución fundamental alrededor de cualquier polo λ _i y de regreso al punto base producirá una nueva solución definida cerca de b . Las soluciones nueva y antigua están vinculadas por la matriz de monodromía M _i de la siguiente manera: ${\displaystyle Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle Y_{2}=Y_{1}M_{i}.}$

Se tiene entonces el homomorfismo de Riemann-Hilbert desde el grupo fundamental de la esfera perforada hasta la representación de la monodromía:

${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {CP} ^{1}-\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\}\right)\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

Un cambio de punto base simplemente da como resultado una conjugación (simultánea) de todas las matrices de monodromía. Las matrices de monodromía módulo conjugación definen los datos de monodromía del sistema fuchsiano.

El vigésimo primer problema de Hilbert

Ahora bien, con los datos de monodromía dados, ¿se puede encontrar un sistema fuchsiano que presente esta monodromía? Esta es una forma del vigésimo primer problema de Hilbert . No se distingue entre las coordenadas x y que están relacionadas por transformaciones de Möbius , y tampoco se distingue entre sistemas fuchsianos equivalentes de norma - esto significa que A y ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle g^{-1}(x)Ag(x)-g^{-1}(x){\frac {dg(x)}{dx}}}$

se consideran equivalentes para cualquier transformación de calibre holomórfica g ( x ). (Por lo tanto, es más natural considerar un sistema fuchsiano geométricamente, como una conexión con polos simples en un fibrado vectorial trivial de rango n sobre la esfera de Riemann).

Para los datos monodromía genéricos, la respuesta al vigésimo primer problema de Hilbert es "sí". La primera prueba fue dada por Josip Plemelj . ^{[2] Sin embargo, la prueba sólo es válida para datos genéricos, y en 1989} Andrei Bolibrukh demostró que hay ciertos casos "degenerados" en los que la respuesta es "no". ^[3] Aquí, nos centramos por completo en el caso genérico.

Ecuaciones de Schlesinger

Existen muchos sistemas fuchsianos con los mismos datos de monodromía. Por lo tanto, dado cualquier sistema fuchsiano con datos de monodromía específicos, se pueden realizar deformaciones isomonodrómicas del mismo. Por lo tanto, se llega al estudio de familias de sistemas fuchsianos, donde las matrices A _i dependen de las posiciones de los polos.

En 1912 Ludwig Schlesinger demostró que, en general, las deformaciones que preservan los datos de monodromía de un sistema fuchsiano genérico están gobernadas por el sistema holonómico integrable de ecuaciones diferenciales parciales que ahora llevan su nombre: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}&={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i\\{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{i}}}&=-\sum _{j\neq i}{\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}.\end{aligned}}}$

La última ecuación a menudo se escribe de manera equivalente como ${\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}$

Estas son las ecuaciones de isomonodromía para sistemas fuchsianos genéricos. La interpretación natural de estas ecuaciones es la de la planitud de una conexión natural en un fibrado vectorial sobre el "espacio de parámetros de deformación" que consiste en las posibles posiciones polares. Para deformaciones isomonodromía no genéricas, seguirá existiendo una ecuación de isomonodromía integrable, pero ya no será de Schlesinger.

Si se limita la atención al caso en que A _i toma valores en el álgebra de Lie , se obtienen los sistemas integrables de Garnier . Si se especializa más en el caso en que sólo hay cuatro polos, entonces las ecuaciones de Schlesinger/Garnier pueden reducirse a la famosa sexta ecuación de Painlevé . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Singularidades irregulares

Motivados por la aparición de trascendentes de Painlevé en funciones de correlación en la teoría de gases de Bose , Michio Jimbo, Tetsuji Miwa y Kimio Ueno extendieron la noción de deformación isomonodrómica al caso de singularidades irregulares con polos de cualquier orden, bajo el siguiente supuesto: el coeficiente principal en cada polo es genérico, es decir, es una matriz diagonalizable con espectro simple. ^[5]

El sistema lineal en estudio ahora tiene la forma

${\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=AY=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{r_{i}+1}{\frac {A_{j}^{(i)}}{(x-\lambda _{i})^{j}}}Y,}$

con n polos, siendo el polo en λ _i de orden . Son matrices constantes (y es genérico para ). ${\displaystyle (r_{i}+1)}$ ${\displaystyle A_{j}^{(i)}}$ ${\displaystyle A_{r_{i+1}}^{(i)}}$ ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$

Datos de monodromía extendida

Además de la representación monodromía descrita en el contexto fuchsiano, se requieren deformaciones de sistemas irregulares de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales para preservar los datos monodromía extendidos . En términos generales, los datos monodromía ahora se consideran como datos que unen soluciones canónicas cerca de las singularidades. Si se toma como coordenada local cerca de un polo λ _i de orden , se puede resolver término por término para una transformación de calibre holomorfa g tal que localmente, el sistema se ve como ${\displaystyle x_{i}=x-\lambda _{i}}$ ${\displaystyle r_{i}+1}$

${\displaystyle {\frac {d(g_{i}^{-1}Z_{i})}{dx_{i}}}=\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {(-j)T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j+1}}}+{\frac {M^{(i)}}{x_{i}}}\right)(g_{i}^{-1}Z_{i})}$

donde y son matrices diagonales . Si esto fuera válido, sería extremadamente útil, porque entonces (al menos localmente), se ha desacoplado el sistema en n ecuaciones diferenciales escalares que se pueden resolver fácilmente para encontrar que (localmente): ${\displaystyle M^{(i)}}$ ${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$

${\displaystyle Z_{i}=g_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).}$

Sin embargo, esto no funciona porque la serie de potencias resuelta término por término para g , en general, no convergerá.

Jimbo, Miwa y Ueno demostraron que este enfoque proporciona, no obstante, soluciones canónicas cerca de las singularidades y, por lo tanto, puede utilizarse para definir datos de monodromía extendida. Esto se debe a un teorema de George Birkhoff ^{[ cita requerida ]} que establece que, dada una serie formal de este tipo, existe una función convergente única G _i tal que en cualquier sector suficientemente grande ^{[ aclaración necesaria ]} alrededor del polo, G _i es asintótica a g _i , y

${\displaystyle Y=G_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).}$

es una solución verdadera de la ecuación diferencial. Por lo tanto, aparece una solución canónica en cada uno de esos sectores cerca de cada polo. Los datos de monodromía extendida consisten en

• los datos de la representación de la monodromía como para el caso fucsiano;
• Matrices de Stokes que conectan soluciones canónicas entre sectores adyacentes en el mismo polo;
• matrices de conexión que conectan soluciones canónicas entre sectores en diferentes polos.

Deformaciones isomonodrómicas de Jimbo-Miwa-Ueno

Como antes, ahora se consideran familias de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, todas con la misma estructura de singularidad (genérica). Por lo tanto, se permite que las matrices dependan de parámetros. Se permite variar las posiciones de los polos λ _i , pero ahora, además, también se varían las entradas de las matrices diagonales que aparecen en la solución canónica cerca de cada polo. ${\displaystyle A_{j}^{(i)}}$ ${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$

Jimbo, Miwa y Ueno demostraron que si se define una forma única en el 'espacio de parámetros de deformación' mediante

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}\left(Ad\lambda _{i}-g_{i}D\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}T_{j}^{(i)}\right)g_{i}^{-1}\right)}$

(donde D denota diferenciación exterior respecto de los componentes del único) ${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$

entonces las deformaciones del sistema lineal meromórfico especificado por A son isomonodrómicas si y sólo si

${\displaystyle dA+[\Omega ,A]+{\frac {d\Omega }{dx}}=0.}$

Estas son las ecuaciones de isomonodromía de Jimbo—Miwa—Ueno . Como antes, estas ecuaciones pueden interpretarse como la planitud de una conexión natural en el espacio de parámetros de deformación.

Propiedades

Las ecuaciones de isomonodromía disfrutan de una serie de propiedades que justifican su condición de funciones especiales no lineales .

Propiedad de Painlevé

Esta es quizás la propiedad más importante de una solución de las ecuaciones de deformación isomonodrómicas. Esto significa que todas las singularidades esenciales de las soluciones son fijas, aunque las posiciones de los polos puedan moverse. Fue demostrada por Bernard Malgrange para el caso de los sistemas fuchsianos y por Tetsuji Miwa en el contexto general.

De hecho, supongamos que se nos da una ecuación diferencial parcial (o un sistema de ellas). En ese caso, "poseer una reducción a una ecuación isomonodromía" es más o menos equivalente a la propiedad de Painlevé y, por lo tanto, puede utilizarse como prueba de integrabilidad .

Trascendencia

En general, las soluciones de las ecuaciones de isomonodromía no pueden expresarse en términos de funciones más simples, como las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales. Sin embargo, para opciones particulares (más precisamente, reducibles) de datos de monodromía extendida, las soluciones pueden expresarse en términos de tales funciones (o al menos, en términos de trascendentes de isomonodromía "más simples"). El estudio de lo que significa precisamente esta trascendencia ha sido llevado a cabo en gran medida por la invención de la " teoría de Galois diferencial no lineal " por Hiroshi Umemura y Bernard Malgrange .

También hay soluciones muy especiales que son algebraicas . El estudio de tales soluciones algebraicas implica examinar la topología del espacio de parámetros de deformación (y en particular, su grupo de clases de mapeo ); para el caso de polos simples, esto equivale al estudio de la acción de los grupos de trenzas . Para el caso particularmente importante de la sexta ecuación de Painlevé , ha habido una notable contribución de Boris Dubrovin y Marta Mazzocco, que ha sido recientemente extendida a clases más grandes de datos de monodromía por Philip Boalch.

Las soluciones racionales suelen asociarse a polinomios especiales. A veces, como en el caso de la sexta ecuación de Painlevé, se trata de polinomios ortogonales bien conocidos , pero existen nuevas clases de polinomios con una distribución de ceros y propiedades de entrelazamiento extremadamente interesantes. El estudio de dichos polinomios ha sido realizado en gran medida por Peter Clarkson y colaboradores.

Estructura simpléctica

Las ecuaciones de isomonodromía pueden reescribirse utilizando formulaciones hamiltonianas . Este punto de vista fue ampliamente estudiado por Kazuo Okamoto en una serie de artículos sobre las ecuaciones de Painlevé en la década de 1980.

También pueden considerarse como una extensión natural de la estructura simpléctica de Atiyah-Bott en espacios de conexiones planas sobre superficies de Riemann al mundo de la geometría meromórfica, una perspectiva seguida por Philip Boalch. De hecho, si se fijan las posiciones de los polos, se pueden incluso obtener variedades hiperkähler completas , un resultado demostrado por Olivier Biquard y Philip Boalch. ^[6]

Existe otra descripción en términos de aplicaciones de momentos a (extensiones centrales de) álgebras de bucles : un punto de vista introducido por John Harnad y extendido al caso de la estructura de singularidad general por Nick Woodhouse . Esta última perspectiva está íntimamente relacionada con una curiosa transformada de Laplace entre ecuaciones de isomonodromía con diferente estructura de polos y rango para las ecuaciones subyacentes.

Estructura del twistor

Las ecuaciones de isomonodromía surgen como reducciones (genéricas) de dimensión completa de ecuaciones de Yang-Mills anti-auto-duales (generalizadas) . Por lo tanto, mediante la transformada de Penrose-Ward pueden interpretarse en términos de fibrados vectoriales holomorfos en variedades complejas llamadas espacios twistores . Esto permite el uso de técnicas poderosas de la geometría algebraica para estudiar las propiedades de los trascendentes. Este enfoque ha sido seguido por Nigel Hitchin , Lionel Mason y Nick Woodhouse .

Conexiones de Gauss-Manin

Al considerar los datos asociados con familias de superficies de Riemann ramificadas sobre las singularidades, se pueden considerar las ecuaciones de isomonodromía como conexiones de Gauss-Manin no homogéneas . Esto conduce a descripciones alternativas de las ecuaciones de isomonodromía en términos de funciones abelianas , un enfoque conocido por Fuchs y Painlevé, pero perdido hasta que fue redescubierto por Yuri Manin en 1996.

Asintóticos

Los trascendentes particulares pueden caracterizarse por su comportamiento asintótico. El estudio de dicho comportamiento se remonta a los primeros tiempos de la isomonodromía, en el trabajo de Pierre Boutroux y otros.

Aplicaciones

Su universalidad como uno de los sistemas integrables no lineales más simples significa que las ecuaciones de isomonodromía tienen una amplia gama de aplicaciones. Quizás la de mayor importancia práctica sea el campo de la teoría de matrices aleatorias . Aquí, las propiedades estadísticas de los valores propios de matrices aleatorias grandes se describen mediante trascendentes particulares.

El impulso inicial para el resurgimiento del interés en la isomonodromía en la década de 1970 fue la aparición de trascendentes en las funciones de correlación en los gases de Bose . ^[7]

Proporcionan funciones generadoras para espacios de módulos de teorías cuánticas de campos topológicos bidimensionales y, por lo tanto, son útiles en el estudio de la cohomología cuántica y los invariantes de Gromov-Witten .

Recientemente se han utilizado ecuaciones de isomonodromía de 'orden superior' para explicar el mecanismo y las propiedades de universalidad de la formación de choques para el límite sin dispersión de la ecuación de Korteweg-de Vries .

Son reducciones naturales de la ecuación de Ernst y, por lo tanto, proporcionan soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general; también dan lugar a otras soluciones (bastante distintas) de las ecuaciones de Einstein en términos de funciones theta .

Han surgido en trabajos recientes en simetría especular , tanto en el programa geométrico Langlands como en trabajos sobre espacios de módulos de condiciones de estabilidad en categorías derivadas .

Generalizaciones

Las ecuaciones de isomonodromía se han generalizado para conexiones meromórficas en una superficie de Riemann general .

También se pueden adaptar fácilmente para tomar valores en cualquier grupo de Lie , reemplazando las matrices diagonales por el toro máximo y otras modificaciones similares.

Existe un campo floreciente que estudia versiones discretas de ecuaciones de isomonodromía.

Referencias

1. Anosov, DV; Bolibruch, AA (1994). El problema de Riemann-Hilbert . Braunschweig/Wiesbaden. pag. 5.ISBN​ 978-3-322-92911-2.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Plemelj, Josip (1964). Problemas en el sentido de Riemann y Klein. Interscience Publishers. ISBN 978-0-470-69125-0.
3. Bolibrukh, AA (febrero de 1992). "Sobre las condiciones suficientes para la solubilidad positiva del problema de Riemann-Hilbert". Notas matemáticas . 51 (2): 110–117. doi :10.1007/BF02102113. S2CID  121743184.
4. Schlesinger, Ludwig (1 de enero de 1912). "Über eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischen Punkten". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1912 (141): 96-145. doi :10.1515/crll.1912.141.96. S2CID  120990400.
5. Jimbo, Michio; Miwa, Tetsuji; Ueno, Kimio (1981-04-01). "Monodromía que preserva la deformación de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes racionales: I. Teoría general y función τ". Physica D: Nonlinear Phenomena . 2 (2): 306–352. Bibcode :1981PhyD....2..306J. doi :10.1016/0167-2789(81)90013-0. ISSN  0167-2789.
6. Biquard, Olivier; Boalch, Philip (enero de 2004). "Teoría salvaje no abeliana de Hodge sobre curvas". Compositio Mathematica . 140 (1): 179–204. arXiv : math/0111098 . doi :10.1112/S0010437X03000010. ISSN  0010-437X. S2CID  119682616.
7. Yasuko ; Sato, Mikio (abril de 1980). "Matriz de densidad de un gas de Bose impenetrable y el quinto trascendente de Painlevé". Physica D: Nonlinear Phenomena . 1 (1): 80–158. doi :10.1016/0167-2789(80)90006-8 . Consultado el 7 de mayo de 2023 .

Fuentes

• Su, Alexander R.; Novokshenov, Victor Yu. (1986), El método de deformación isomonodrómica en la teoría de ecuaciones de Painlevé , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1191, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16483-8, Sr.  0851569
• Sabbah, Claude (2007), Deformaciones isomonodrómicas y variedades de Frobenius , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84800-053-7, ISBN 978-2-7598-0047-6 MR1933784​