Sistema integrable Garnier

Sistema clásico integrable

En física matemática , el sistema integrable de Garnier , también conocido como modelo clásico de Gaudin , es un sistema mecánico clásico descubierto por René Garnier en 1919 al tomar la ' simplificación de Painlevé ' o 'límite autónomo' de las ecuaciones de Schlesinger . ^{[1] [2]} Es un análogo clásico del modelo cuántico de Gaudin debido a Michel Gaudin ^[3] (de manera similar, las ecuaciones de Schlesinger son un análogo clásico de las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov ). Los modelos clásicos de Gaudin son integrables .

Son también un caso específico de sistemas integrables de Hitchin , cuando la curva algebraica sobre la que se define la teoría es la esfera de Riemann y el sistema está dócilmente ramificado .

Como límite de las ecuaciones de Schlesinger

Las ecuaciones de Schlesinger son un sistema de ecuaciones diferenciales para funciones matriciales , dadas por ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle A_{i}:\mathbb {C} ^{n+2}\rightarrow \mathrm {Mat} (m,\mathbb {C} )}$ $${\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}$$ $${\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}$$

El 'límite autónomo' se da reemplazando la dependencia en el denominador por constantes con : Este es el sistema de Garnier en la forma originalmente derivada por Garnier. ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \alpha _{n+1}=0,\alpha _{n+2}=1}$ $${\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\alpha _{i}-\alpha _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}$$ $${\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}$$

Según el modelo clásico de Gaudin

Existe una formulación del sistema Garnier como sistema mecánico clásico, el modelo clásico de Gaudin, que se cuantifica según el modelo cuántico de Gaudin y cuyas ecuaciones de movimiento son equivalentes al sistema Garnier. Esta sección describe esta formulación. ^[4]

Como para cualquier sistema clásico, el modelo de Gaudin se especifica mediante una variedad de Poisson denominada espacio de fases y una función suave en la variedad denominada hamiltoniano . ${\displaystyle M}$

Espacio de fases

Sea un álgebra de Lie cuadrática , es decir, un álgebra de Lie con una forma bilineal invariante no degenerada . Si es compleja y simple , se puede tomar como la forma de Killing . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El dual , denotado , se puede transformar en una estructura de Poisson lineal mediante el corchete de Kirillov-Kostant . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

El espacio de fases del modelo clásico de Gaudin es entonces el producto cartesiano de copias de para un entero positivo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle N}$

Sitios

A cada una de estas copias se asocia un punto en , denominado y al que se hace referencia como sitios . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}}$

Matriz laxa

Fijando una base del álgebra de Lie con constantes de estructura , existen funciones con en el espacio de fases que satisfacen el corchete de Poisson ${\displaystyle \{I^{a}\}}$ ${\displaystyle f_{c}^{ab}}$ ${\displaystyle X_{(r)}^{a}}$ ${\displaystyle r=1,\cdots ,N}$ $${\displaystyle \{X_{(r)}^{a},X_{(s)}^{b}\}=\delta _{rs}f_{c}^{ab}X_{(r)}^{c}.}$$

Estos a su vez se utilizan para definir funciones con valores - con suma implícita . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle X^{(r)}=\kappa _{ab}I^{a}\otimes X_{(r)}^{b}}$$

A continuación, se utilizan para definir la matriz Lax , que también es una función valorada en el espacio de fases que además depende meromórficamente de un parámetro espectral , y es un elemento constante en , en el sentido de que conmuta Poisson (tiene corchete de Poisson que se desvanece) con todas las funciones. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda )=\sum _{r=1}^{N}{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}}+\Omega ,}$$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Hamiltoniano (cuadrático)

El hamiltoniano (cuadrático) es que es de hecho una función en el espacio de fases, que además depende de un parámetro espectral . Esto se puede escribir como con y $${\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )={\frac {1}{2}}\kappa ({\mathcal {L}}(\lambda ),{\mathcal {L}}(\lambda ))}$$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )=\Delta _{\infty }+\sum _{r=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{r}}{(\lambda -\lambda _{r})^{2}}}+{\frac {{\mathcal {H}}_{r}}{\lambda -\lambda _{r}}}\right),}$$ $${\displaystyle \Delta _{r}={\frac {1}{2}}\kappa (X^{(r)},X^{(r)}),\Delta _{\infty }={\frac {1}{2}}\kappa (\Omega ,\Omega )}$$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}=\sum _{s\neq r}{\frac {\kappa (X^{(r)},X^{(s)})}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}+\kappa (X^{(r)},\Omega ).}$$

A partir de la relación de corchete de Poisson, al variar y debe ser cierto que las , las y están todas en involución. Se puede demostrar que las y Poisson conmutan con todas las funciones en el espacio de fases, pero las no lo hacen en general. Estas son las cargas conservadas en involución para los fines de la integrabilidad de Arnold Liouville . $${\displaystyle \{{\mathcal {H}}(\lambda ),{\mathcal {H}}(\mu )\}=0,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}$ ${\displaystyle \Delta _{r}}$ ${\displaystyle \Delta _{\infty }}$ ${\displaystyle \Delta _{r}}$ ${\displaystyle \Delta _{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}$

Ecuación laxa

Se puede demostrar que la matriz Lax satisface la ecuación de Lax cuando la evolución temporal está dada por cualquiera de los hamiltonianos , así como cualquier combinación lineal de ellos. $${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{r},{\mathcal {L}}(\lambda )\}=\left[{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}},{\mathcal {L}}(\lambda )\right],}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}$

Hamiltonianos superiores

El cuadrático de Casimir corresponde a un polinomio invariante de Weyl cuadrático para el álgebra de Lie , pero de hecho se pueden generar muchas más cargas conmutativas conservadas utilizando polinomios invariantes. Estos polinomios invariantes se pueden encontrar utilizando el isomorfismo de Harish-Chandra en el caso de que sea complejo, simple y finito. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Teorías de campos integrables como modelos clásicos de Gaudin

Ciertas teorías de campos clásicas integrables pueden formularse como modelos clásicos afines de Gaudin, donde es un álgebra de Lie afín . Tales teorías de campos clásicas incluyen el modelo quiral principal , los modelos de coset sigma y la teoría de campos afines de Toda . ^[5] Como tales, los modelos afines de Gaudin pueden verse como una "teoría maestra" para sistemas integrables, pero se formulan de manera más natural en el formalismo hamiltoniano, a diferencia de otras teorías maestras como la teoría de Chern-Simons de cuatro dimensiones o la teoría de Yang-Mills anti-auto-dual . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Modelos cuánticos de Gaudin

Se sabe mucho sobre la estructura integrable de los modelos cuánticos de Gaudin . En particular, Feigin , Frenkel y Reshetikhin los estudiaron utilizando la teoría de álgebras de operadores de vértices , mostrando la relación de los modelos de Gaudin con temas de matemáticas, incluidas las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov y la correspondencia geométrica de Langlands . ^[6]

Referencias

1. Garnier, Par M. René (diciembre de 1919). "Sur una clase de sistemas diferentes abéliens déduits de la teoría de las ecuaciones lineales". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 43 (1): 155-191. doi :10.1007/BF03014668. S2CID  120557738.
2. Chudnovsky, DV (diciembre de 1979). "Sistemas de Schlesinger simplificados". Letra al Nuevo Cimento . 26 (14): 423–427. doi :10.1007/BF02817023. S2CID  122196561.
3. Gaudín, Michel (1976). "Diagonalización de una clase de hamiltoniens de spin". Revista de físico . 37 (10): 1087–1098. doi :10.1051/jphys:0197600370100108700 . Consultado el 26 de septiembre de 2022 .
4. Lacroix, Sylvain (2018). Modéles intégrables avec fonction twist et modèles de Gaudin affines (tesis doctoral). Universidad de Lyon .
5. Vicedo, Benoit (2017). "Sobre teorías de campos integrables como modelos diédricos afines de Gaudin". arXiv : 1701.04856 [hep-th].
6. Feigin, Boris; Frenkel, Eduardo; Reshetikhin, Nikolai (3 de abril de 1994). "Modelo Gaudin, Bethe Ansatz y nivel crítico". Comunitario. Matemáticas. Física . 166 (1): 27–62. arXiv : hep-th/9402022 . Código Bib : 1994CMaPh.166...27F. doi :10.1007/BF02099300. S2CID  17099900.