Deformación isomonodrómica

En matemáticas , las ecuaciones que gobiernan la deformación isomonodrómica de sistemas lineales meromórficos de ecuaciones diferenciales ordinarias son, en un sentido bastante preciso, las ecuaciones diferenciales no lineales exactas más fundamentales . Como resultado, sus soluciones y propiedades se encuentran en el corazón del campo de la no linealidad exacta y los sistemas integrables .

Las deformaciones isomonodrómicas fueron estudiadas por primera vez por Richard Fuchs, con contribuciones pioneras de Lazarus Fuchs , Paul Painlevé , René Garnier y Ludwig Schlesinger . Inspirándose en los resultados de la mecánica estadística , Michio Jimbo , Tetsuji Miwa y Kimio Ueno hicieron una contribución fundamental a la teoría , quienes estudiaron casos que involucraban singularidades irregulares.

Sistemas fucsianos y ecuaciones de Schlesinger

sistema fucsiano

Un sistema fucsiano es el sistema de ecuaciones diferenciales lineales ^[1]

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=A(x)y=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{x-\lambda _{i}}}y}$

donde x toma valores en la recta proyectiva compleja , y toma valores en y Ai son matrices _constantes n × n . Las soluciones a esta ecuación tienen crecimiento polinómico en el límite x = λ _i . Al colocar n soluciones de columnas independientes en una matriz fundamental , se puede considerar que y toma valores en . Para simplificar, supongamos que no hay más polos en el infinito, lo que equivale a la condición de que ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle Y=(y_{1},...,y_{n})}$ ${\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=AY}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}=0.}$

Datos de monodromía

Ahora, fija un punto base b en la esfera de Riemann lejos de los polos . La continuación analítica de una solución fundamental alrededor de cualquier polo λ _i y de regreso al punto base producirá una nueva solución definida cerca de b . Las soluciones nuevas y antiguas están vinculadas por la matriz _de monodromía Mi de la siguiente manera: ${\displaystyle Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle Y_{2}=Y_{1}M_{i}.}$

Por tanto, se tiene el homomorfismo de Riemann-Hilbert desde el grupo fundamental de la esfera perforada hasta la representación monodromía:

${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {CP} ^{1}-\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\}\right)\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

Un cambio de punto base simplemente da como resultado una conjugación (simultánea) de todas las matrices monodromías. La conjugación del módulo de matrices de monodromía define los datos de monodromía del sistema fucsiano.

El vigésimo primer problema de Hilbert

Ahora bien, con los datos de monodromía dados, ¿se puede encontrar un sistema fucsiano que exhiba esta monodromía? Ésta es una forma del vigésimo primer problema de Hilbert . No se distingue entre coordenadas x y que están relacionadas por transformaciones de Möbius , y tampoco se distingue entre sistemas fucsianos equivalentes de calibre ; esto significa que A y ${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle g^{-1}(x)Ag(x)-g^{-1}(x){\frac {dg(x)}{dx}}}$

se consideran equivalentes para cualquier transformación de calibre holomórfico g ( x ). (Por tanto, es más natural considerar geométricamente un sistema fucsiano, como una conexión con polos simples en un haz de vectores de rango n trivial sobre la esfera de Riemann).

Para los datos genéricos de monodromía, la respuesta al vigésimo primer problema de Hilbert es "sí". La primera prueba la dio Josip Plemelj . ^{[2] Sin embargo, la prueba sólo es válida para datos genéricos, y} Andrei Bolibrukh demostró en 1989 que hay ciertos casos "degenerados" en los que la respuesta es "no". ^[3] Aquí, el caso genérico se centra por completo.

ecuaciones de schlesinger

Generalmente existen muchos sistemas fucsianos con los mismos datos de monodromía. Por lo tanto, dado cualquier sistema fucsiano con datos de monodromía específicos, se pueden realizar deformaciones isomonodrómicas . Se trata pues de estudiar familias de sistemas fucsianos, donde las matrices Ai _dependen de las posiciones de los polos.

En 1912, Ludwig Schlesinger demostró que, en general, las deformaciones que preservan los datos de monodromía de un sistema fucsiano genérico se rigen por el sistema holonómico integrable de ecuaciones diferenciales parciales que ahora lleva su nombre: ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}&={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i\\{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{i}}}&=-\sum _{j\neq i}{\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}.\end{aligned}}}$

La última ecuación a menudo se escribe de manera equivalente como ${\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}$

Estas son las ecuaciones de isomonodromía para sistemas fucsianos genéricos. La interpretación natural de estas ecuaciones es como la planitud de una conexión natural en un conjunto de vectores sobre el 'espacio de parámetros de deformación' que consta de las posibles posiciones polares. Para deformaciones isomonodromías no genéricas, seguirá habiendo una ecuación de isomonodromía integrable, pero ya no será la de Schlesinger.

Si se limita la atención al caso en que Ai toma valores en el álgebra de Lie _, se obtienen los sistemas integrables de Garnier . Si uno se especializa más en el caso en el que sólo hay cuatro polos, entonces las ecuaciones de Schlesinger/Garnier pueden reducirse a la famosa sexta ecuación de Painlevé . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$

Singularidades irregulares

Motivados por la aparición de trascendentes Painlevé en funciones de correlación en la teoría de los gases de Bose , Michio Jimbo, Tetsuji Miwa y Kimio Ueno ampliaron la noción de deformación isomonodrómica al caso de singularidades irregulares con cualquier polo de orden, bajo el siguiente supuesto: el coeficiente principal en cada polo es genérica, es decir, es una matriz diagonalizable con espectro simple. ^[5]

El sistema lineal bajo estudio tiene ahora la forma

${\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=AY=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{r_{i}+1}{\frac {A_{j}^{(i)}}{(x-\lambda _{i})^{j}}}Y,}$

con n polos, con el polo en λ _i de orden . Son matrices constantes (y son genéricas para ). ${\displaystyle (r_{i}+1)}$ ${\displaystyle A_{j}^{(i)}}$ ${\displaystyle A_{r_{i+1}}^{(i)}}$ ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$

Datos de monodromía extendida

Además de la representación de monodromía descrita en el entorno fucsiano, se requieren deformaciones de sistemas irregulares de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales para preservar los datos de monodromía extendidos . En términos generales, los datos de monodromía ahora se consideran datos que unen soluciones canónicas cerca de las singularidades. Si se toma como coordenada local cerca de un polo λ _i de orden , se puede resolver término por término para una transformación de calibre holomorfa g tal que localmente, el sistema se vea así ${\displaystyle x_{i}=x-\lambda _{i}}$ ${\displaystyle r_{i}+1}$

${\displaystyle {\frac {d(g_{i}^{-1}Z_{i})}{dx_{i}}}=\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {(-j)T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j+1}}}+{\frac {M^{(i)}}{x_{i}}}\right)(g_{i}^{-1}Z_{i})}$

donde y the son matrices diagonales . Si esto fuera válido, sería extremadamente útil, porque entonces (al menos localmente), uno ha desacoplado el sistema en n ecuaciones diferenciales escalares que se pueden resolver fácilmente para encontrar que (localmente): ${\displaystyle M^{(i)}}$ ${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$

${\displaystyle Z_{i}=g_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).}$

Sin embargo, esto no funciona, porque la serie de potencias resuelta término por término para g , en general, no convergerá.

Jimbo, Miwa y Ueno demostraron que, no obstante, este enfoque proporciona soluciones canónicas cerca de las singularidades y, por lo tanto, puede usarse para definir datos de monodromía extendida. Esto se debe a un teorema de George Birkhoff ^{[ cita necesaria ]} que establece que dada una serie tan formal, existe una función convergente única G _i tal que en cualquier sector suficientemente grande ^{[ aclaración necesaria ]} alrededor del polo, G _i es asintótico a g _i , y

${\displaystyle Y=G_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).}$

es una verdadera solución de la ecuación diferencial. Por tanto, aparece una solución canónica en cada uno de esos sectores cerca de cada polo. Los datos de monodromía extendida consisten en

• los datos de la representación monodromía como para el caso fucsiano;
• matrices de Stokes que conectan soluciones canónicas entre sectores adyacentes en el mismo polo;
• matrices de conexión que conectan soluciones canónicas entre sectores en diferentes polos.

Deformaciones isomonodrómicas de Jimbo-Miwa-Ueno

Como antes, ahora se consideran familias de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, todos con la misma estructura de singularidad (genérica). Por lo tanto, se permite que las matrices dependan de parámetros. Se permite variar las posiciones de los polos λ _i , pero ahora, además, también se varían las entradas de las matrices diagonales que aparecen en la solución canónica cerca de cada polo. ${\displaystyle A_{j}^{(i)}}$ ${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$

Jimbo, Miwa y Ueno demostraron que si se define una forma única en el 'espacio de parámetros de deformación' mediante

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}\left(Ad\lambda _{i}-g_{i}D\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}T_{j}^{(i)}\right)g_{i}^{-1}\right)}$

(donde D denota diferenciación exterior respecto de los componentes del único) ${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$

entonces las deformaciones del sistema lineal meromorfo especificado por A son isomonodrómicas si y sólo si

${\displaystyle dA+[\Omega ,A]+{\frac {d\Omega }{dx}}=0.}$

Estas son las ecuaciones de isomonodromía de Jimbo-Miwa-Ueno . Como antes, estas ecuaciones pueden interpretarse como la planitud de una conexión natural en el espacio de parámetros de deformación.

Propiedades

Las ecuaciones de isomonodromía gozan de una serie de propiedades que justifican su condición de funciones especiales no lineales .

propiedad Painlevé

Esta es quizás la propiedad más importante de una solución de las ecuaciones de deformación isomonodrómica. Esto significa que todas las singularidades esenciales de las soluciones son fijas, aunque las posiciones de los polos pueden moverse. Lo demostró Bernard Malgrange para el caso de los sistemas fucsianos y Tetsuji Miwa en el caso general.

De hecho, supongamos que se nos da una ecuación diferencial parcial (o un sistema de ellas). Entonces, 'poseer una reducción a una ecuación de isomonodromía' es más o menos equivalente a la propiedad de Painlevé y, por lo tanto, puede usarse como prueba de integrabilidad .

Trascendencia

En general, las soluciones de las ecuaciones de isomonodromía no se pueden expresar en términos de funciones más simples, como las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales. Sin embargo, para elecciones particulares (más precisamente, reducibles) de datos de monodromía extendida, las soluciones se pueden expresar en términos de tales funciones (o al menos, en términos de trascendentes de isomonodromía "más simples"). El estudio de lo que significa precisamente esta trascendencia se ha llevado a cabo en gran medida gracias a la invención de la " teoría diferencial no lineal de Galois " por Hiroshi Umemura y Bernard Malgrange .

También existen soluciones muy especiales que son algebraicas . El estudio de tales soluciones algebraicas implica examinar la topología del espacio de parámetros de deformación (y en particular, su grupo de clases de mapeo ); para el caso de postes simples, esto equivale al estudio de la acción de grupos trenzados . Para el caso particularmente importante de la sexta ecuación de Painlevé , ha habido una contribución notable de Boris Dubrovin y Marta Mazzocco, que recientemente ha sido ampliada a clases más grandes de datos de monodromía por Philip Boalch.

Las soluciones racionales suelen estar asociadas con polinomios especiales. A veces, como en el caso de la sexta ecuación de Painlevé, se trata de polinomios ortogonales muy conocidos , pero existen nuevas clases de polinomios con una distribución de ceros y propiedades de entrelazado sumamente interesantes. El estudio de estos polinomios ha sido realizado en gran medida por Peter Clarkson y sus colaboradores.

estructura simpléctica

Las ecuaciones de isomonodromía se pueden reescribir utilizando formulaciones hamiltonianas . Este punto de vista fue ampliamente defendido por Kazuo Okamoto en una serie de artículos sobre las ecuaciones de Painlevé en la década de 1980.

También pueden considerarse una extensión natural de la estructura simpléctica de Atiyah-Bott en espacios de conexiones planas en superficies de Riemann al mundo de la geometría meromórfica, una perspectiva seguida por Philip Boalch. De hecho, si se fijan las posiciones de los polos, se pueden incluso obtener variedades hiperkähler completas ; un resultado demostrado por Olivier Biquard y Philip Boalch. ^[6]

Hay otra descripción en términos de mapas de momentos para (extensiones centrales de) álgebras de bucles : un punto de vista introducido por John Harnad y extendido al caso de estructura de singularidad general por Nick Woodhouse . Esta última perspectiva está íntimamente relacionada con una curiosa transformada de Laplace entre ecuaciones de isomonodromía con diferente estructura polar y rango para las ecuaciones subyacentes.

Estructura torsional

Las ecuaciones de isomonodromía surgen como reducciones (genéricas) de dimensión completa de ecuaciones de Yang-Mills anti-autoduales (generalizadas) . Por lo tanto, mediante la transformada de Penrose-Ward, pueden interpretarse en términos de haces de vectores holomórficos en variedades complejas llamadas espacios twistor . Esto permite el uso de poderosas técnicas de geometría algebraica para estudiar las propiedades de las trascendentes. Este enfoque ha sido seguido por Nigel Hitchin , Lionel Mason y Nick Woodhouse .

Conexiones Gauss-Manin

Al considerar los datos asociados con familias de superficies de Riemann ramificadas sobre las singularidades, se pueden considerar las ecuaciones de isomonodromía como conexiones Gauss-Manin no homogéneas . Esto conduce a descripciones alternativas de las ecuaciones de isomonodromía en términos de funciones abelianas , un enfoque conocido por Fuchs y Painlevé, pero perdido hasta su redescubrimiento por Yuri Manin en 1996.

Asintóticas

Los trascendentes particulares pueden caracterizarse por su comportamiento asintótico. El estudio de tal comportamiento se remonta a los primeros días de la isomonodromía, en el trabajo de Pierre Boutroux y otros.

Aplicaciones

Su universalidad como algunos de los sistemas integrables no lineales más simples significa que las ecuaciones de isomonodromía tienen una amplia gama de aplicaciones. Quizás el de mayor importancia práctica sea el campo de la teoría de matrices aleatorias . Aquí, las propiedades estadísticas de los valores propios de matrices aleatorias grandes se describen mediante trascendentes particulares.

El impulso inicial para el resurgimiento del interés por la isomonodromía en la década de 1970 fue la aparición de trascendentes en las funciones de correlación de los gases de Bose . ^[7]

Proporcionan funciones generadoras para espacios de módulos de teorías de campos cuánticos topológicos bidimensionales y, por lo tanto, son útiles en el estudio de la cohomología cuántica y las invariantes de Gromov-Witten .

Recientemente se han utilizado ecuaciones de isomonodromía de 'orden superior' para explicar el mecanismo y las propiedades de universalidad de la formación de choques para el límite sin dispersión de la ecuación de Korteweg-de Vries .

Son reducciones naturales de la ecuación de Ernst y, por tanto, proporcionan soluciones a las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein ; también dan lugar a otras soluciones (bastante distintas) de las ecuaciones de Einstein en términos de funciones theta .

Han surgido en trabajos recientes sobre simetría especular , tanto en el programa geométrico de Langlands como en trabajos sobre los espacios de módulos de condiciones de estabilidad en categorías derivadas .

Generalizaciones

Las ecuaciones de isomonodromía se han generalizado para conexiones meromórficas en una superficie general de Riemann .

También se pueden adaptar fácilmente para tomar valores en cualquier grupo de Lie , reemplazando las matrices diagonales por el toro máximo y otras modificaciones similares.

Existe un campo floreciente que estudia versiones discretas de ecuaciones de isomonodromía.

Referencias

1. Anosov, DV; Bolibruch, AA (1994). El problema de Riemann-Hilbert . Braunschweig/Wiesbaden. pag. 5.ISBN​ 978-3-322-92911-2.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Plemelj, Josip (1964). Problemas en el sentido de Riemann y Klein. Editores intercientíficos. ISBN 978-0-470-69125-0.
3. Bolibrukh, AA (febrero de 1992). "En condiciones suficientes para la solucion positiva del problema de Riemann-Hilbert". Apuntes Matemáticos . 51 (2): 110-117. doi :10.1007/BF02102113. S2CID  121743184.
4. Schlesinger, Ludwig (1 de enero de 1912). "Über eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischen Punkten". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1912 (141): 96-145. doi :10.1515/crll.1912.141.96. S2CID  120990400.
5. Jimbo, Michio; Miwa, Tetsuji; Ueno, Kimio (1 de abril de 1981). "Monodromía que preserva la deformación de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes racionales: I. Teoría general y función τ". Physica D: Fenómenos no lineales . 2 (2): 306–352. Código bibliográfico : 1981PhyD....2..306J. doi :10.1016/0167-2789(81)90013-0. ISSN  0167-2789.
6. Biquard, Olivier; Boalch, Philip (enero de 2004). "Teoría salvaje de Hodge no abeliana sobre curvas". Composición Matemática . 140 (1): 179–204. arXiv : matemáticas/0111098 . doi :10.1112/S0010437X03000010. ISSN  0010-437X. S2CID  119682616.
7. Jimbo, Michio; Miwa, Tetsuji; Mori, Yasuko; Sato, Mikio (abril de 1980). "Matriz de densidad de un gas Bose impenetrable y el quinto trascendente Painlevé". Physica D: Fenómenos no lineales . 1 (1): 80-158. Código bibliográfico : 1980PhyD....1...80J. doi :10.1016/0167-2789(80)90006-8 . Consultado el 7 de mayo de 2023 .

Fuentes

• Su, Alejandro R.; Novokshenov, Víctor Yu. (1986), El método de deformación isomonodrómica en la teoría de las ecuaciones de Painlevé , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1191, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16483-8, SEÑOR  0851569
• Sabbah, Claude (2007), Deformaciones isomonodrómicas y variedades de Frobenius , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84800-053-7, ISBN 978-2-7598-0047-6 SEÑOR 1933784