Teorema de Liouville-Arnold

En la teoría de sistemas dinámicos , el teorema de Liouville-Arnold establece que si, en un sistema dinámico hamiltoniano con n grados de libertad , también hay n primeras integrales de movimiento independientes conmutativas de Poisson , y los conjuntos de nivel de todas las primeras integrales son compactos, entonces existe una transformación canónica a coordenadas de acción-ángulo en la que el hamiltoniano transformado depende solo de las coordenadas de acción y las coordenadas de ángulo evolucionan linealmente en el tiempo. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento para el sistema se pueden resolver en cuadraturas si las condiciones de conjunto simultáneo de nivel se pueden separar. El teorema recibe su nombre de Joseph Liouville y Vladimir Arnold . ^{[1] [2] [3] [4] [5] : 270–272}

Historia

El teorema fue demostrado en su forma original por Liouville en 1853 para funciones en con estructura simpléctica canónica . Fue generalizado al contexto de variedades simplécticas por Arnold, quien presentó una demostración en su libro de texto Métodos matemáticos de mecánica clásica publicado en 1974. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Declaración

Definiciones preliminares

Sea una variedad simpléctica -dimensional con estructura simpléctica . ${\displaystyle (M^{2n},\omega )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \omega }$

Un sistema integrable en es un conjunto de funciones en , etiquetadas , que satisfacen ${\displaystyle M^{2n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M^{2n}}$ ${\displaystyle F=(F_{1},\cdots ,F_{n})}$

• Independencia lineal (genérica): en un conjunto denso ${\displaystyle dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0}$
• Conmutación mutua de Poisson: el corchete de Poisson se desvanece para cualquier par de valores . ${\displaystyle (F_{i},F_{j})}$ ${\displaystyle i,j}$

El corchete de Poisson es el corchete de Lie de los campos vectoriales del campo vectorial hamiltoniano correspondiente a cada . En forma completa, si es el campo vectorial hamiltoniano correspondiente a una función suave , entonces para dos funciones suaves , el corchete de Poisson es . ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle H:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle (F,G)=[X_{F},X_{G}]}$

Un punto es un punto regular si . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle df_{1}\wedge \cdots \wedge df_{n}(p)\neq 0}$

El sistema integrable define una función . Denotemos por el conjunto de niveles de las funciones , o alternativamente, . ${\displaystyle F:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L_{\mathbf {c} }}$ ${\displaystyle F_{i}}$ $${\displaystyle L_{\mathbf {c} }=\{x:F_{i}(x)=c_{i}\},}$$ ${\displaystyle L_{\mathbf {c} }=F^{-1}(\mathbf {c} )}$

Ahora bien, si se da la estructura adicional de una función distinguida , el sistema hamiltoniano es integrable si puede completarse en un sistema integrable, es decir, existe un sistema integrable . ${\displaystyle M^{2n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (M^{2n},\omega ,H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F=(F_{1}=H,F_{2},\cdots ,F_{n})}$

Teorema

Si es un sistema hamiltoniano integrable, y es un punto regular, el teorema caracteriza el conjunto de niveles de la imagen del punto regular : ${\displaystyle (M^{2n},\omega ,F)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle c=F(p)}$

• ${\displaystyle L_{c}}$es una variedad suave que es invariante bajo el flujo hamiltoniano inducido por (y por lo tanto bajo el flujo hamiltoniano inducido por cualquier elemento del sistema integrable). ${\displaystyle H=F_{1}}$
• Si además es compacto y conexo, es difeomorfo al N-toro . ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle T^{n}}$
• Existen coordenadas (locales) en tales que son constantes en el nivel establecido mientras . Estas coordenadas se denominan coordenadas del ángulo de acción . ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle (\theta _{1},\cdots ,\theta _{n},\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})}$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{i}:=(H,\theta _{i})=\omega _{i}}$

Ejemplos de sistemas integrables de Liouville

Un sistema hamiltoniano que es integrable se denomina "integrable en el sentido de Liouville" o "integrable en el sentido de Liouville". En esta sección se ofrecen ejemplos famosos.

En la literatura, algunas notaciones son estándar. Cuando la variedad simpléctica en cuestión es , sus coordenadas se escriben a menudo y la forma simpléctica canónica es . A menos que se indique lo contrario, se supone que son válidas para esta sección. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$ ${\displaystyle \omega =\sum _{i}dq_{i}\wedge dp_{i}}$

• Oscilador armónico :con. Definiendo, el sistema integrable es. ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega ,H)}$ ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)}$ ${\displaystyle H_{i}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}}$ ${\displaystyle (H,H_{1},\cdots ,H_{n-1})}$

• Sistema de fuerza central :conalgunafunción potencial. Definiendo el momento angular, el sistema integrable es. ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{6},\omega ,H)}$ ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-U(\mathbf {q} ^{2})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} }$ ${\displaystyle (H,\mathbf {L} ^{2},L_{3})}$

• Cumbres integrables : Las cumbres de Lagrange, Euler y Kovalevskaya son integrables en el sentido de Liouville.

Véase también

• Integrabilidad de Frobenius : una noción más general de integrabilidad.
• Sistemas integrables

Referencias

1. J. Liouville, «Note sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique, présentée au Bureau des Longitudes le 29 juin 1853», JMPA , 1855, p. 137-138, pdf.
2. Fabio Benatti (2009). Dinámica, información y complejidad en sistemas cuánticos. Springer Science & Business Media . p. 16. ISBN 978-1-4020-9306-7.
3. P. Tempesta; P. Winternitz; J. Harnad; W. Miller Jr; G. Pogosyan; M. Rodríguez, eds. (2004). Superintegrabilidad en sistemas clásicos y cuánticos. American Mathematical Society . p. 48. ISBN 978-0-8218-7032-7.
4. Christopher KRT Jones; Alexander I. Khibnik, eds. (2012). Sistemas dinámicos de múltiples escalas temporales. Springer Science & Business Media . p. 1. ISBN 978-1-4613-0117-2.
5. Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica . Springer. ISBN 9780387968902.