Representación coadjunta

En matemáticas , la representación coadjunta de un grupo de Lie es el dual de la representación adjunta . Si denota el álgebra de Lie de , la acción correspondiente de sobre , el espacio dual a , se denomina acción coadjunta . Una interpretación geométrica es como la acción por traslación a la izquierda en el espacio de 1-formas invariantes a la derecha sobre . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

La importancia de la representación coadjunta fue enfatizada por el trabajo de Alexandre Kirillov , quien demostró que para los grupos de Lie nilpotentes un papel básico en su teoría de representación lo juegan las órbitas coadjuntas . En el método de órbitas de Kirillov, las representaciones de se construyen geométricamente comenzando a partir de las órbitas coadjuntas. En cierto sentido, estas juegan un papel sustituto para las clases de conjugación de , que nuevamente pueden ser complicadas, mientras que las órbitas son relativamente manejables. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Definición formal

Sea un grupo de Lie y sea su álgebra de Lie. Sea la representación adjunta de . Entonces la representación coadjunta se define por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}}^{*})}$

${\displaystyle \langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}\,\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,\mathrm {Ad} _{g}^{-1}Y\rangle =\langle \mu ,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}Y\rangle }$para ${\displaystyle g\in G,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*},}$

donde denota el valor de la funcional lineal en el vector . ${\displaystyle \langle \mu ,Y\rangle }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle Y}$

Sea la representación del álgebra de Lie en inducida por la representación coadjunta del grupo de Lie . Entonces la versión infinitesimal de la ecuación definitoria para se lee: ${\displaystyle \mathrm {ad} ^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Ad} ^{*}}$

${\displaystyle \langle \mathrm {ad} _{X}^{*}\mu ,Y\rangle =\langle \mu ,-\mathrm {ad} _{X}Y\rangle =-\langle \mu ,[X,Y]\rangle }$para ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}},\mu \in {\mathfrak {g}}^{*}}$

donde es la representación adjunta del álgebra de Lie . ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Órbita coadjunta

Una órbita coadjunta para en el espacio dual de puede definirse extrínsecamente, como la órbita real dentro de , o intrínsecamente como el espacio homogéneo donde es el estabilizador de con respecto a la acción coadjunta; vale la pena hacer esta distinción ya que la incrustación de la órbita puede ser complicada. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Ad} _{G}^{*}\mu }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G/G_{\mu }}$ ${\displaystyle G_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

Las órbitas coadjuntas son subvariedades de y tienen una estructura simpléctica natural. En cada órbita hay una 2-forma cerrada, no degenerada e invariante heredada de de la siguiente manera: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{2}({\mathcal {O}}_{\mu })}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \omega _{\nu }(\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu ,\mathrm {ad} _{Y}^{*}\nu ):=\langle \nu ,[X,Y]\rangle ,\nu \in {\mathcal {O}}_{\mu },X,Y\in {\mathfrak {g}}}$.

La buena definición, la no degeneración y la invariancia de se derivan de los siguientes hechos: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega }$

(i) El espacio tangente puede identificarse con , donde es el álgebra de Lie de . ${\displaystyle \mathrm {T} _{\nu }{\mathcal {O}}_{\mu }=\{-\mathrm {ad} _{X}^{*}\nu :X\in {\mathfrak {g}}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {g}}_{\nu }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\nu }}$ ${\displaystyle G_{\nu }}$

(ii) El núcleo del mapa es exactamente . ${\displaystyle X\mapsto \langle \nu ,[X,\cdot ]\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\nu }}$

(iii) La forma bilineal de es invariante bajo . ${\displaystyle \langle \nu ,[\cdot ,\cdot ]\rangle }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G_{\nu }}$

${\displaystyle \omega }$también está cerrado . La forma 2 canónica a veces se denomina forma simpléctica de Kirillov-Kostant-Souriau o forma KKS en la órbita coadjunta. ${\displaystyle \omega }$

Propiedades de las órbitas coadjuntas

La acción coadjunta en una órbita coadjunta es una acción hamiltoniana con un mapa de momento dado por la inclusión . ${\displaystyle ({\mathcal {O}}_{\mu },\omega )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mu }\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$

Ejemplos

Véase también

• Teorema de Borel-Bott-Weil , para un grupo compacto ${\displaystyle G}$
• Fórmula del personaje de Kirillov
• Teoría de la órbita de Kirillov

Referencias

• Kirillov, AA , Conferencias sobre el método de la órbita , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 64, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, ISBN  0821835300 , ISBN 978-0821835302 

Enlaces externos

• "Órbita coadjunta". PlanetMath .