Polinomio irreducible

Polinomio sin factorización no trivial

En matemáticas , un polinomio irreducible es, en términos generales, un polinomio que no se puede factorizar en el producto de dos polinomios no constantes . La propiedad de irreducibilidad depende de la naturaleza de los coeficientes que se aceptan para los posibles factores, es decir, el anillo al que se supone que pertenecen los coeficientes del polinomio y sus posibles factores. Por ejemplo, el polinomio x ² − 2 es un polinomio con coeficientes enteros , pero, como todo entero es también un número real , también es un polinomio con coeficientes reales. Es irreducible si se considera como un polinomio con coeficientes enteros, pero se factoriza como si se considerara como un polinomio con coeficientes reales. Se dice que el polinomio x ² − 2 es irreducible sobre los enteros pero no sobre los reales. ${\displaystyle \left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)}$

La irreducibilidad polinómica puede considerarse para polinomios con coeficientes en un dominio integral , y hay dos definiciones comunes. Muy a menudo, se dice que un polinomio sobre un dominio integral R es irreducible si no es el producto de dos polinomios que tienen sus coeficientes en R y que no son unidad en R. Equivalentemente, para esta definición, un polinomio irreducible es un elemento irreducible en un anillo de polinomios sobre R. Si R es un cuerpo, las dos definiciones de irreducibilidad son equivalentes. Para la segunda definición, un polinomio es irreducible si no se puede factorizar en polinomios con coeficientes en el mismo dominio que tengan ambos un grado positivo. Equivalentemente, un polinomio es irreducible si es irreducible sobre el cuerpo de fracciones del dominio integral. Por ejemplo, el polinomio es irreducible para la segunda definición, y no para la primera. Por otra parte, es irreducible en para las dos definiciones, mientras que es reducible en ${\displaystyle 2(x^{2}-2)\in \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle x^{2}-2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x].}$

Un polinomio que es irreducible sobre cualquier cuerpo que contenga los coeficientes es absolutamente irreducible . Por el teorema fundamental del álgebra , un polinomio univariante es absolutamente irreducible si y solo si su grado es uno. Por otra parte, con varios indeterminados , hay polinomios absolutamente irreducibles de cualquier grado, como por ejemplo para cualquier entero positivo n . ${\displaystyle x^{2}+y^{n}-1,}$

A un polinomio que no es irreducible a veces se le llama polinomio reducible . ^{[1] [2]}

Los polinomios irreducibles aparecen naturalmente en el estudio de la factorización polinomial y las extensiones de campos algebraicos .

Es útil comparar los polinomios irreducibles con los números primos : los números primos (junto con los números negativos correspondientes de igual magnitud) son los números enteros irreducibles . Presentan muchas de las propiedades generales del concepto de "irreducibilidad" que se aplican igualmente a los polinomios irreducibles, como la factorización esencialmente única en factores primos o irreducibles. Cuando el anillo de coeficientes es un cuerpo u otro dominio de factorización único , un polinomio irreducible también se denomina polinomio primo , porque genera un ideal primo .

Definición

Si F es un campo, un polinomio no constante es irreducible sobre F si sus coeficientes pertenecen a F y no puede factorizarse en el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes en F.

Un polinomio con coeficientes enteros, o, más generalmente, con coeficientes en un dominio de factorización único R , a veces se dice que es irreducible (o irreducible sobre R ) si es un elemento irreducible del anillo de polinomios , es decir, no es invertible , no es cero y no se puede factorizar en el producto de dos polinomios no invertibles con coeficientes en R . Esta definición generaliza la definición dada para el caso de coeficientes en un cuerpo, porque, sobre un cuerpo, los polinomios no constantes son exactamente los polinomios que no son invertibles y no son cero.

Otra definición que se utiliza con frecuencia es la de que un polinomio es irreducible sobre R si es irreducible sobre el cuerpo de fracciones de R (el cuerpo de números racionales , si R son los números enteros). Esta segunda definición no se utiliza en este artículo. La equivalencia de las dos definiciones depende de R.

Ejemplos sencillos

Los siguientes seis polinomios demuestran algunas propiedades elementales de los polinomios reducibles e irreducibles:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}(x)&=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2}}\\p_{2}(x)&=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}\\p_{3}(x)&=9x^{2}-3\,=3\left(3x^{2}-1\right)\,=3\left(x{\sqrt {3}}-1\right)\left(x{\sqrt {3}}+1\right)\\p_{4}(x)&=x^{2}-{\frac {4}{9}}\,=\left(x-{\frac {2}{3}}\right)\left(x+{\frac {2}{3}}\right)\\p_{5}(x)&=x^{2}-2\,=\left(x-{\sqrt {2}}\right)\left(x+{\sqrt {2}}\right)\\p_{6}(x)&=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}\end{aligned}}}$

Sobre los números enteros , los tres primeros polinomios son reducibles (el tercero es reducible porque el factor 3 no es invertible en los números enteros); los dos últimos son irreducibles. (El cuarto, por supuesto, no es un polinomio sobre los números enteros.)

Sobre los números racionales , los dos primeros y el cuarto polinomio son reducibles, pero los otros tres polinomios son irreducibles (como polinomio sobre los racionales, 3 es una unidad y, por lo tanto, no cuenta como factor).

Sobre los números reales , los primeros cinco polinomios son reducibles, pero son irreducibles. ${\displaystyle p_{6}(x)}$

Sobre los números complejos , los seis polinomios son reducibles.

Sobre los números complejos

En el cuerpo complejo y, más generalmente, en un cuerpo algebraicamente cerrado , un polinomio univariante es irreducible si y sólo si su grado es uno. Este hecho se conoce como teorema fundamental del álgebra en el caso de los números complejos y, en general, como condición de ser algebraicamente cerrado.

De ello se deduce que todo polinomio univariante no constante puede factorizarse como

${\displaystyle a\left(x-z_{1}\right)\cdots \left(x-z_{n}\right)}$

donde es el grado, es el coeficiente principal y son los ceros del polinomio (no necesariamente distintos, y no necesariamente con expresiones algebraicas explícitas ). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$

Existen polinomios multivariados irreducibles de todos los grados sobre los números complejos. Por ejemplo, el polinomio

${\displaystyle x^{n}+y^{n}-1,}$

que define una curva de Fermat , es irreducible para cada n positivo .

Sobre los reales

Sobre el cuerpo de los números reales , el grado de un polinomio univariante irreducible es uno o dos. Más precisamente, los polinomios irreducibles son los polinomios de grado uno y los polinomios cuadráticos que tienen un discriminante negativo . De ello se deduce que todo polinomio univariante no constante puede factorizarse como un producto de polinomios de grado dos como máximo. Por ejemplo, se factoriza sobre los números reales como y no se puede factorizar más, ya que ambos factores tienen un discriminante negativo: ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac.}$ ${\displaystyle x^{4}+1}$ ${\displaystyle \left(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1\right)\left(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1\right),}$ ${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {2}}\right)^{2}-4=-2<0.}$

Propiedad de factorización única

Todo polinomio sobre un cuerpo F puede factorizarse en un producto de una constante distinta de cero y un número finito de polinomios irreducibles (sobre F ). Esta descomposición es única hasta el orden de los factores y la multiplicación de los factores por constantes distintas de cero cuyo producto sea 1.

El mismo teorema es válido para un dominio de factorización único , pero se formula con mayor precisión utilizando la noción de polinomio primitivo. Un polinomio primitivo es un polinomio para un dominio de factorización único, tal que 1 es el máximo común divisor de sus coeficientes.

Sea F un dominio de factorización único. Un polinomio irreducible no constante sobre F es primitivo. Un polinomio primitivo sobre F es irreducible sobre F si y solo si es irreducible sobre el cuerpo de fracciones de F . Todo polinomio sobre F puede descomponerse en el producto de una constante distinta de cero y un número finito de polinomios primitivos irreducibles no constantes. La constante distinta de cero puede a su vez descomponerse en el producto de una unidad de F y un número finito de elementos irreducibles de F . Ambas factorizaciones son únicas hasta el orden de los factores y la multiplicación de los factores por una unidad de F .

Este es el teorema que motiva que la definición de polinomio irreducible sobre un dominio de factorización único suponga a menudo que el polinomio no es constante.

Todos los algoritmos que se implementan actualmente para factorizar polinomios sobre números enteros y sobre números racionales utilizan este resultado (ver Factorización de polinomios ).

Sobre los cuerpos enteros y finitos

La irreducibilidad de un polinomio sobre los números enteros está relacionada con la del campo de elementos (para un primo ). En particular, si un polinomio univariante f sobre es irreducible sobre para algún primo que no divida el coeficiente principal de f (el coeficiente de la potencia más alta de la variable), entonces f es irreducible sobre (es decir, no es el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros). El criterio de Eisenstein es una variante de esta propiedad en la que también interviene la irreducibilidad sobre. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p^{2}}$

Sin embargo, lo inverso no es cierto: hay polinomios de grado arbitrariamente grande que son irreducibles sobre los números enteros y reducibles sobre cualquier cuerpo finito. ^[3] Un ejemplo simple de tal polinomio es ${\displaystyle x^{4}+1.}$

La relación entre irreducibilidad sobre los enteros e irreducibilidad módulo p es más profunda que el resultado anterior: hasta la fecha, todos los algoritmos implementados para factorización e irreducibilidad sobre los enteros y sobre los números racionales utilizan la factorización sobre cuerpos finitos como una subrutina .

El número de polinomios mónicos irreducibles de grado n sobre un cuerpo para q una potencia prima está dado por la función de conteo de collares de Moreau : ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle M(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}},}$

donde μ es la función de Möbius . Para q = 2 , estos polinomios se utilizan comúnmente para generar secuencias binarias pseudoaleatorias .

En cierto sentido, casi todos los polinomios con coeficientes cero o uno son irreducibles sobre los números enteros. Más precisamente, si se supone una versión de la hipótesis de Riemann para las funciones zeta de Dedekind , la probabilidad de ser irreducible sobre los números enteros para un polinomio con coeficientes aleatorios en {0, 1} tiende a uno cuando el grado aumenta. ^{[6] [7]}

Algoritmos

La propiedad única de factorización de los polinomios no significa que siempre se pueda calcular la factorización de un polinomio dado. Incluso la irreducibilidad de un polinomio no siempre se puede demostrar mediante un cálculo: hay campos sobre los cuales no puede existir ningún algoritmo para decidir la irreducibilidad de polinomios arbitrarios. ^[8]

Se conocen algoritmos para factorizar polinomios y decidir la irreducibilidad y se han implementado en sistemas de álgebra computacional para polinomios sobre números enteros, números racionales, cuerpos finitos y extensiones de estos cuerpos finitamente generados. Todos estos algoritmos utilizan los algoritmos para factorizar polinomios sobre cuerpos finitos .

Extensión de campo

Las nociones de polinomio irreducible y de extensión de campo algebraico están fuertemente relacionadas, de la siguiente manera.

Sea x un elemento de una extensión L de un cuerpo K . Se dice que este elemento es algebraico si es raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes en K . Entre los polinomios de los que x es raíz, hay exactamente uno que es mónico y de grado mínimo, llamado polinomio mínimo de x . El polinomio mínimo de un elemento algebraico x de L es irreducible, y es el único polinomio irreducible mónico del que x es raíz. El polinomio mínimo de x divide a todo polinomio que tenga x como raíz (este es el teorema de irreducibilidad de Abel ).

Por el contrario, si es un polinomio univariado sobre un cuerpo K , sea el anillo cociente del anillo de polinomios por el ideal generado por P . Entonces L es un cuerpo si y solo si P es irreducible sobre K . En este caso, si x es la imagen de X en L , el polinomio minimal de x es el cociente de P por su coeficiente principal . ${\displaystyle P(X)\in K[X]}$ ${\displaystyle L=K[X]/P(X)}$ ${\displaystyle K[X]}$

Un ejemplo de lo anterior es la definición estándar de los números complejos como ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [X]\;/\left(X^{2}+1\right).}$

Si un polinomio P tiene un factor irreducible Q sobre K , que tiene un grado mayor que uno, se puede aplicar a Q la construcción precedente de una extensión algebraica, para obtener una extensión en la que P tiene al menos una raíz más que en K . Iterando esta construcción, se obtiene eventualmente un cuerpo sobre el cual P se factoriza en factores lineales. Este cuerpo, único hasta un isomorfismo de cuerpo , se llama cuerpo de desdoblamiento de P .

Sobre un dominio integral

Si R es un dominio entero , un elemento f de R que no es ni cero ni una unidad se llama irreducible si no hay no-unidades g y h con f = gh . Se puede demostrar que cada elemento primo es irreducible; ^[9] el recíproco no es cierto en general pero se cumple en dominios de factorización única . El anillo polinomial F [ x ] sobre un cuerpo F (o cualquier dominio de factorización única) es nuevamente un dominio de factorización única. Inductivamente, esto significa que el anillo polinomial en n indeterminados (sobre un anillo R ) es un dominio de factorización única si lo mismo es cierto para R .

Véase también

• Lema de Gauss (polinomio)
• Teorema de la raíz racional , un método para determinar si un polinomio tiene un factor lineal con coeficientes racionales.
• El criterio de Eisenstein
• Criterio de irreducibilidad de Perron
• Teorema de irreducibilidad de Hilbert
• Criterio de irreducibilidad de Cohn
• Componente irreducible de un espacio topológico
• Factorización de polinomios sobre cuerpos finitos
• Función cuártica § Cuárticas reducibles
• Función cúbica § Factorización
• Casus irreducibilis , la cúbica irreducible con tres raíces reales
• Ecuación cuadrática § Factorización cuadrática

Notas

1. Gallian 2012, pág. 311
2. Mac Lane y Birkhoff 1999 no definen explícitamente "reducible", pero lo utilizan en varios lugares. Por ejemplo: "Por el momento, sólo observamos que cualquier polinomio cuadrático o cúbico reducible debe tener un factor lineal" (p. 268).
3. David Dummit; Richard Foote (2004). "cap. 9, Proposición 12". Álgebra abstracta . Wiley. pág. 309. ISBN 0-471-43334-9.
4. Jacobson, Nathan (1985). "4.13 Campos finitos". Álgebra básica I (PDF) . Nueva York: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9.
5. Chebolu, Sunil; Mináč, Ján (2011). "Conteo de polinomios irreducibles sobre cuerpos finitos utilizando el principio de inclusión-exclusión" (PDF) . Revista de Matemáticas . 84 (5): 369–371. doi :10.4169/math.mag.84.5.369 . Consultado el 3 de abril de 2023 .
6. Breuillard, Emmanuel; Varjú, Péter P. (2018). "Irreductibilidad de polinomios aleatorios de gran grado". Acta Matemática . 223 (2): 195–249. arXiv : 1810.13360 . doi :10.4310/ACTA.2019.v223.n2.a1. S2CID  119173838.
7. Hartnett, Kevin. "En el universo de ecuaciones, prácticamente todas son primos". Quanta Magazine . Consultado el 13 de enero de 2019 .
8. Fröhlich, A.; Shepherson, JC (1955), "Sobre la factorización de polinomios en un número finito de pasos", Mathematische Zeitschrift , 62 (1): 331–4, doi :10.1007/BF01180640, ISSN  0025-5874, S2CID  119955899
9. Consideremos p como un primo reducible: p = ab . Entonces p | ab ⇒ p | a o p | b . Digamos p | a ⇒ a = pc , entonces tenemos: p = ab = pcb ⇒ p (1 − cb ) = 0. Como R es un dominio, tenemos cb = 1. Por lo tanto , b es una unidad y p es irreducible.

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556Este libro clásico cubre la mayor parte del contenido de este artículo.
• Gallian, Joseph (2012), Álgebra abstracta contemporánea (8.ª ed.), Cengage Learning, ISBN 978-1285402734
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Campos finitos (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39231-0, págs. 91.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra (3.ª ed.), American Mathematical Society, ISBN 9780821816462
• Menezes, Alfred J. ; Van Oorschot, Paul C. ; Vanstone, Scott A. (1997), Manual de criptografía aplicada , CRC Press , ISBN 978-0-8493-8523-0, pág. 154.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Polinomio irreducible". MathWorld .
• polinomio irreducible en PlanetMath .
• Información sobre polinomios primitivos e irreducibles, El servidor de objetos (combinatorio).