Bloque de periodicidad de Fokker

Bloque de periodicidad de Fokker para afinación igual de 12 pasos , que muestra solo los valores de entonación a la izquierda y los valores de afinación igual correspondientes a la derecha

Los bloques de periodicidad de Fokker son un concepto de la teoría de la afinación que se utiliza para relacionar matemáticamente los intervalos musicales en entonación justa con los de afinación igual . Reciben su nombre en honor a Adriaan Daniël Fokker . Se incluyen como el subconjunto principal de lo que Erv Wilson denomina estructuras constantes, donde "cada intervalo siempre aparece subtendido por el mismo número de pasos". ^[1]

La idea básica de los bloques de periodicidad de Fokker es representar proporciones justas como puntos en una red y encontrar vectores en la red que representen intervalos muy pequeños, conocidos como comas . Tratar los tonos separados por una coma como equivalentes "pliega" la red, reduciendo efectivamente su dimensión en uno; matemáticamente, esto corresponde a encontrar el grupo cociente de la red original por la subred generada por las comas. Para una red n -dimensional, identificar n comas linealmente independientes reduce la dimensión de la red a cero, lo que significa que el número de tonos en la red es finito; matemáticamente, su cociente es un grupo abeliano finito . Este conjunto de tonos de dimensión cero es un bloque de periodicidad. Con frecuencia, forma un grupo cíclico , en cuyo caso la identificación de los m tonos del bloque de periodicidad con m -ajuste igual da aproximaciones de ajuste igual de las proporciones justas que definieron la red original.

Nótese que las octavas suelen ignorarse al construir bloques de periodicidad (como ocurre generalmente en la teoría de escalas) porque se supone que para cualquier tono en el sistema de afinación, todos los tonos que difieren de él en cierta cantidad de octavas también están disponibles en principio. En otras palabras, todos los tonos e intervalos pueden considerarse como residuos módulo octava. Esta simplificación se conoce comúnmente como equivalencia de octava .

Definición de bloques de periodicidad

Sea una red n -dimensional (es decir, una cuadrícula de números enteros) incrustada en un espacio n -dimensional que tenga un valor numérico asignado a cada uno de sus nodos, de modo que moverse dentro de la red en una de las direcciones cardinales corresponde a un cambio de paso en un intervalo particular. Normalmente, n varía de uno a tres. Simultáneamente, en el caso bidimensional, la red es cuadrada . En el caso tridimensional, la red es cúbica.

Ejemplos de tales redes son los siguientes ( x , y , z y w son números enteros ):

• En el caso unidimensional, el intervalo correspondiente a un paso único se toma generalmente como una quinta perfecta , con una relación 3/2, que define una afinación de límite 3. Los puntos de la red corresponden a los números enteros, y el punto en la posición x se etiqueta con el valor de tono 3 ^x /2 ^y para un número y elegido para que el valor resultante se encuentre en el rango de 1 a 2. Por lo tanto, A (0) = 1, y a su alrededor están los valores

... 128/81, 32/27, 16/9, 4/3, 1, 3/2, 9/8, 27/16, 81/64, ...

• En el caso bidimensional, correspondiente a la afinación de límite 5, los intervalos que definen la red son una quinta perfecta y una tercera mayor , con una relación de 5/4. Esto da una red cuadrada en la que el punto en la posición ( x , y ) está etiquetado con el valor 3 ^x 5 ^y 2 ^z . Nuevamente, se elige z como el único entero que hace que el valor resultante se encuentre en el intervalo [1,2).
• El caso tridimensional es similar, pero agrega el séptimo armónico al conjunto de intervalos definitorios, lo que conduce a una red cúbica en la que el punto en la posición ( x , y , z ) está etiquetado con un valor 3 ^x 5 ^y 7 ^z 2 ^w con w elegido para hacer que este valor se encuentre en el intervalo [1,2).

Una vez que se ha fijado la red y su etiquetado, se eligen n nodos de la red distintos del origen cuyos valores estén cerca de 1 o 2. Los vectores desde el origen hasta cada uno de estos nodos especiales se denominan vectores unísono . Estos vectores definen una subred de la red original, que tiene un dominio fundamental que en el caso bidimensional es un paralelogramo acotado por vectores unísono y sus copias desplazadas, y en el caso tridimensional es un paralelepípedo . Estos dominios forman las teselas en una teselación de la red original.

La baldosa tiene un área o volumen dado por el valor absoluto del determinante de la matriz de vectores unísono: es decir, en el caso 2-D, si los vectores unísono son u y v , tales que y entonces el área de una baldosa 2-D es ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{matrix}}\right|=u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}.}$

Cada mosaico se denomina bloque de periodicidad de Fokker . El área de cada bloque es siempre un número natural igual a la cantidad de nodos que se encuentran dentro de cada bloque.

Ejemplos

Ejemplo 1: Tome la red bidimensional de quintas perfectas (razón 3/2) y terceras mayores (razón 5/4). Elija las comas 128/125 (la diesis , la distancia por la cual tres terceras mayores quedan por debajo de una octava, aproximadamente 41 centésimas ) y 81/80 (la coma sintónica , la diferencia entre cuatro quintas perfectas y una tercera mayor, aproximadamente 21,5 centésimas). El resultado es un bloque de doce, que muestra cómo el temperamento igual de doce tonos se aproxima a las razones del límite de 5 .

Ejemplo 2: Sin embargo, si rechazáramos la diesis como un vector unísono y en su lugar eligiéramos la diferencia entre cinco terceras mayores (menos una octava) y una cuarta, 3125/3072 (aproximadamente 30 centésimas), el resultado es un bloque de 19, lo que muestra cómo 19-TET se aproxima a las proporciones del límite 5.

Ejemplo 3: En la red tridimensional de quintas perfectas, solo terceras mayores y solo séptimas menores (proporción 7/4), la identificación de la coma sintónica, el cleisma septimal (225/224, aproximadamente 8 cents) y la proporción 1029/1024 (la diferencia entre tres tonos enteros septimales y una quinta perfecta, aproximadamente 8,4 cents) da como resultado un bloque de 31, lo que muestra cómo 31-TET se aproxima a las proporciones del límite 7 .

Características matemáticas de los bloques de periodicidad

Los bloques de periodicidad forman una red secundaria oblicua, superpuesta a la primera. Esta red puede estar dada por una función φ:

${\displaystyle \phi _{B}(x,y):=(x_{0},y_{0})+(x,y){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}}$

que es realmente una combinación lineal :

${\displaystyle \phi _{B}(x,y):=(x_{0},y_{0})+x\mathbf {u} +y\mathbf {v} }$

donde el punto ( x ₀ , y ₀ ) puede ser cualquier punto, preferiblemente no un nodo de la red primaria, y preferiblemente de modo que los puntos φ(0,1), φ(1,0) y φ(1,1) tampoco sean ningún nodo.

Luego, la pertenencia de los nodos primarios dentro de los bloques de periodicidad se puede probar analíticamente a través de la función φ inversa :

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(x,y):=\left((x,y)-(x_{0},y_{0})\right){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle ={\left((x,y)-(x_{0},y_{0})\right) \over u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}}{\begin{pmatrix}v_{y}&-u_{y}\\-v_{x}&u_{x}\end{pmatrix}}}$

Dejar

${\displaystyle \nu _{B}(x,y):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ),}$

${\displaystyle \mu _{B}(x,y):=\nu _{B}(\phi _{B}^{-1}(x,y)),}$

Entonces, sea que el tono B ( x , y ) pertenezca a la escala MB _, si y solo si. ${\displaystyle \mu _{B}(x,y)=\mu _{B}(0,0),}$

${\displaystyle M_{B}=\{B(x,y):\mu _{B}(x,y)=\mu _{B}(0,0)\}.}$

Para el caso unidimensional:

${\displaystyle \phi _{A}(x):=x_{0}+Lx}$

donde L es la longitud del vector unísono,

${\displaystyle \phi _{A}^{-1}(x)={x-x_{0} \over L}}$

${\displaystyle \mu _{A}(x):=\left\lfloor {x-x_{0} \over L}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle M_{A}=\{A(x):\mu _{A}(x)=\mu _{A}(0)\}.}$

Para el caso tridimensional,

${\displaystyle \phi _{C}(x,y,z):=(x_{0},y_{0},z_{0})+(x,y,z){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\w_{x}&w_{y}&w_{z}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \phi _{C}^{-1}(x,y,z)={((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})) \over \Delta }{\begin{pmatrix}v_{y}w_{z}-v_{z}w_{y}&u_{z}w_{y}-u_{y}w_{z}&u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y}\\v_{z}w_{x}-v_{x}w_{z}&u_{x}w_{z}-u_{z}w_{x}&u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z}\\v_{x}w_{y}-v_{y}w_{x}&u_{y}w_{x}-u_{x}w_{y}&u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}\end{pmatrix}}}$

donde es el determinante de la matriz de vectores unísono. ${\displaystyle \Delta =u_{x}v_{y}w_{z}+u_{y}v_{z}w_{x}+u_{z}v_{x}w_{y}-u_{x}v_{z}w_{y}-u_{y}v_{x}w_{z}-u_{z}v_{y}w_{x}}$

${\displaystyle \nu _{C}(x,y,z):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ,\lfloor z\rfloor )}$

${\displaystyle \mu _{C}(x,y,z):=\nu _{C}(\phi _{C}^{-1}(x,y,z))}$

${\displaystyle M_{C}=\{C(x,y,z):\mu _{C}(x,y,z)=\mu _{C}(0,0,0)\}.}$

Referencias

1. Kraig Grady (4 de octubre de 1999). "CS". Launch.groups.yahoo.com. Archivado desde el original el 10 de julio de 2012. Consultado el 4 de diciembre de 2010 .

Lectura adicional

• Fokker, AD (1969), "Vectores al unísono y bloques de periodicidad en la red armónica tridimensional (3-5-7-) de notas", Proc. Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen , B72 (3).
• Paul Erlich, (1999), Una introducción sencilla a los bloques de periodicidad de Fokker: Parte 1; Parte 2; etc.