Proyección de Thomas-Fermi

El apantallamiento de Thomas-Fermi es un enfoque teórico para calcular los efectos del apantallamiento del campo eléctrico por los electrones en un sólido. ^[1] Es un caso especial de la teoría más general de Lindhard ; en particular, el apantallamiento de Thomas-Fermi es el límite de la fórmula de Lindhard cuando el vector de onda (el recíproco de la escala de longitud de interés) es mucho más pequeño que el vector de onda de Fermi, es decir, el límite de larga distancia. ^[1] Lleva el nombre de Llewellyn Thomas y Enrico Fermi .

El vector de onda de Thomas-Fermi (en unidades gaussianas-cgs ) es ^[1] donde μ es el potencial químico ( nivel de Fermi ), n es la concentración de electrones y e es la carga elemental . $${\displaystyle k_{0}^{2}=4\pi e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }},}$$

Para el ejemplo de semiconductores que no están demasiado dopados, la densidad de carga n ∝ e ^{μ / k _B T} , donde k _B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura. En este caso, $${\displaystyle k_{0}^{2}={\frac {4\pi e^{2}n}{k_{\rm {B}}T}},}$$

es decir, 1/ k ₀ se obtiene mediante la fórmula conocida para la longitud de Debye . En el extremo opuesto, en el límite de baja temperatura T = 0 , los electrones se comportan como partículas cuánticas ( fermiones ). Esta aproximación es válida para metales a temperatura ambiente, y el vector de onda de apantallamiento de Thomas-Fermi k _TF dado en unidades atómicas es $${\displaystyle k_{\rm {TF}}^{2}=4\left({\frac {3n}{\pi }}\right)^{1/3}.}$$

Si restauramos la masa del electrón y la constante de Planck , el vector de onda de apantallamiento en unidades gaussianas es . ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle k_{0}^{2}=k_{\rm {TF}}^{2}(m_{e}/\hbar ^{2})}$

Para más detalles y discusión, incluidos los casos unidimensionales y bidimensionales, consulte el artículo sobre la teoría de Lindhard .

Derivación

Relación entre la densidad electrónica y el potencial químico interno

El potencial químico interno (estrechamente relacionado con el nivel de Fermi , ver más abajo) de un sistema de electrones describe cuánta energía se requiere para introducir un electrón adicional en el sistema, sin tener en cuenta la energía potencial eléctrica. A medida que aumenta el número de electrones en el sistema (con temperatura y volumen fijos), aumenta el potencial químico interno. Esta consecuencia se debe en gran medida a que los electrones satisfacen el principio de exclusión de Pauli : solo un electrón puede ocupar un nivel de energía y los estados de electrones de menor energía ya están llenos, por lo que los nuevos electrones deben ocupar estados de energía cada vez más altos.

Dado un gas de Fermi de densidad , el estado de momento ocupado más alto (a temperatura cero) se conoce como el momento de Fermi, . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{\rm {F}}}$

La relación requerida se describe entonces mediante la densidad numérica de electrones en función de μ , el potencial químico interno. La forma funcional exacta depende del sistema. Por ejemplo, para un gas de Fermi tridimensional , un gas de electrones que no interactúa, a temperatura de cero absoluto, la relación es . ${\displaystyle n(\mu )}$ ${\displaystyle n(\mu )\propto \mu ^{3/2}}$

Prueba: Incluyendo la degeneración del espín,

$${\displaystyle n=2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}{\frac {4}{3}}\pi k_{\rm {F}}^{3}\quad ,\quad \mu ={\frac {\hbar ^{2}k_{\rm {F}}^{2}}{2m}}.}$$

(en este contexto, es decir, cero absoluto, el potencial químico interno se denomina más comúnmente energía de Fermi ).

Como otro ejemplo, para un semiconductor de tipo n con una concentración de electrones baja a moderada, . ${\displaystyle n(\mu )\propto e^{\mu /k_{\rm {B}}T}}$

Aproximación local

El supuesto principal del modelo de Thomas-Fermi es que existe un potencial químico interno en cada punto r que depende únicamente de la concentración de electrones en el mismo punto r . Este comportamiento no puede ser exactamente cierto debido al principio de incertidumbre de Heisenberg . Ningún electrón puede existir en un único punto; cada uno se distribuye en un paquete de ondas de tamaño ≈ 1 / k _F , donde k _F es el número de onda de Fermi, es decir, un número de onda típico para los estados en la superficie de Fermi . Por lo tanto, no es posible definir un potencial químico en un único punto, independientemente de la densidad de electrones en los puntos cercanos.

Sin embargo, es probable que el modelo de Thomas-Fermi sea una aproximación razonablemente precisa siempre que el potencial no varíe mucho en longitudes comparables o menores que 1 / k _F . Esta longitud generalmente corresponde a unos pocos átomos en los metales.

Electrones en equilibrio, ecuación no lineal

Finalmente, el modelo de Thomas-Fermi supone que los electrones están en equilibrio, lo que significa que el potencial químico total es el mismo en todos los puntos. (En terminología de electroquímica, "el potencial electroquímico de los electrones es el mismo en todos los puntos". En terminología de física de semiconductores, "el nivel de Fermi es plano"). Este equilibrio requiere que las variaciones en el potencial químico interno se correspondan con variaciones iguales y opuestas en la energía potencial eléctrica. Esto da lugar a la "ecuación básica de la teoría no lineal de Thomas-Fermi": ^[1] donde n ( μ ) es la función discutida anteriormente (densidad electrónica como función del potencial químico interno), e es la carga elemental , r es la posición y es la carga inducida en r . El potencial eléctrico se define de tal manera que en los puntos donde el material es neutro en carga (el número de electrones es exactamente igual al número de iones), y de manera similar μ ₀ se define como el potencial químico interno en los puntos donde el material es neutro en carga. $${\displaystyle \rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )=-e[n(\mu _{0}+e\phi (\mathbf {r} ))-n(\mu _{0})]}$$ ${\displaystyle \rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )=0}$

Linealización, función dieléctrica

Si el potencial químico no varía demasiado, la ecuación anterior se puede linealizar: donde se evalúa en μ ₀ y se trata como una constante. $${\displaystyle \rho ^{\text{induced}}(\mathbf {r} )\approx -e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\phi (\mathbf {r} )}$$ ${\displaystyle \partial n/\partial \mu }$

Esta relación se puede convertir en una función dieléctrica dependiente del vector de onda : ^[1] (en unidades cgs-gaussianas ) donde A largas distancias ( q → 0 ), la constante dieléctrica se acerca al infinito, lo que refleja el hecho de que las cargas se acercan cada vez más al apantallamiento perfecto a medida que se las observa desde más lejos. $${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {q} )=1+{\frac {k_{0}^{2}}{q^{2}}}}$$ $${\displaystyle k_{0}={\sqrt {4\pi e^{2}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}.}$$

Ejemplo: Una carga puntual

Si se coloca una carga puntual Q en r = 0 en un sólido, ¿qué campo producirá, teniendo en cuenta el apantallamiento de electrones?

Se busca una solución autoconsistente para dos ecuaciones:

• La fórmula de apantallamiento de Thomas-Fermi proporciona la densidad de carga en cada punto r en función del potencial en ese punto. ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$
• La ecuación de Poisson (derivada de la ley de Gauss ) relaciona la segunda derivada del potencial con la densidad de carga.

En el caso de la fórmula no lineal de Thomas-Fermi, resolver estos problemas simultáneamente puede resultar difícil y, por lo general, no existe una solución analítica. Sin embargo, la fórmula linealizada tiene una solución simple (en unidades cgs-gaussianas ): con k ₀ = 0 (sin apantallamiento), se convierte en la conocida ley de Coulomb . $${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{r}}e^{-k_{0}r}}$$

Tenga en cuenta que puede haber permitividad dieléctrica además del apantallamiento que se analiza aquí; por ejemplo, debido a la polarización de los electrones inmóviles del núcleo. En ese caso, reemplace Q por Q / ε , donde ε es la permitividad relativa debida a estas otras contribuciones.

Gas de Fermi a temperatura arbitraria

Temperatura efectiva para el apantallamiento de Thomas-Fermi. La forma aproximada se explica en el artículo y utiliza la potencia p=1,8.

Para un gas de Fermi tridimensional (gas de electrones que no interactúan), el vector de onda de apantallamiento se puede expresar como una función tanto de la temperatura como de la energía de Fermi . El primer paso es calcular el potencial químico interno , que implica la inversa de una integral de Fermi-Dirac . ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle E_{\rm {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle {\frac {\mu }{k_{\rm {B}}T}}=F_{1/2}^{-1}\left[{2 \over {3\Gamma (3/2)}}\left({E_{\rm {F}} \over T}\right)^{3/2}\right].}$$

Podemos expresar en términos de una temperatura efectiva : , o . El resultado general para es En el límite clásico , encontramos , mientras que en el límite degenerado encontramos Una forma aproximada simple que recupera ambos límites correctamente es para cualquier potencia . Un valor que da un acuerdo decente con el resultado exacto para todos es , ^[2] que tiene un error relativo máximo de < 2,3%. ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle T_{\rm {eff}}}$ ${\displaystyle k_{0}^{2}=4\pi e^{2}n/k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}=n\partial \mu /\partial n}$ ${\displaystyle T_{\rm {eff}}}$ $${\displaystyle {T_{\rm {eff}} \over T}={4 \over 3\Gamma (1/2)}{(E_{\rm {F}}/k_{\rm {B}}T)^{3/2} \over F_{-1/2}(\mu /k_{\rm {B}}T)}.}$$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\gg E_{\rm {F}}}$ ${\displaystyle T_{\rm {eff}}=T}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T\ll E_{\rm {F}}}$ $${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}=(2/3)E_{\rm {F}}.}$$ $${\displaystyle k_{\rm {B}}T_{\rm {eff}}=\left[(k_{\rm {B}}T)^{p}+(2E_{\rm {F}}/3)^{p}\right]^{1/p},}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}T/E_{\rm {F}}}$ ${\displaystyle p=1.8}$

En la temperatura efectiva dada anteriormente, la temperatura se utiliza para construir un modelo clásico efectivo. Sin embargo, esta forma de la temperatura efectiva no recupera correctamente el calor específico y la mayoría de las demás propiedades del fluido de electrones finitos incluso para el gas de electrones que no interactúa. Por supuesto, no intenta incluir los efectos de interacción electrón-electrón. Se ha dado una forma simple para una temperatura efectiva que recupera correctamente todas las propiedades funcionales de densidad incluso del gas de electrones que interactúa , incluidas las funciones de distribución de pares en finito , utilizando el modelo de mapa clásico de cadena hiperredada ( CHNC ) del fluido de electrones. Ahí es donde la temperatura cuántica se define como: donde a = 1.594 , b = −0.3160 ​​, c = 0.0240 . Aquí está el radio de Wigner-Seitz correspondiente a una esfera en unidades atómicas que contiene un electrón. Es decir, si es el número de electrones en una unidad de volumen utilizando unidades atómicas donde la unidad de longitud es el Bohr, a saber, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle {\frac {T_{\rm {eff}}}{E_{\rm {F}}}}=\left({\frac {T^{2}}{E_{\rm {F}}^{2}}}+{\frac {T_{q}^{2}}{E_{\rm {F}}^{2}}}\right)^{1/2}}$$ ${\displaystyle T_{q}}$ $${\displaystyle {\frac {T_{q}}{E_{\rm {F}}}}={\frac {1}{a+b{\sqrt {r_{\rm {s}}}}+cr_{\rm {s}}}}}$$ ${\displaystyle r_{\rm {s}}}$ ${\displaystyle n}$5.291 77 × 10 ⁻⁹  cm , entonces Para un gas de electrones denso, por ejemplo, con o menos, las interacciones electrón-electrón se vuelven insignificantes en comparación con la energía de Fermi, entonces, usando un valor cercano a la unidad, vemos que la temperatura efectiva de CHNC en se aproxima a la forma . También se han dado otras asignaciones para el caso 3D, ^[3] y fórmulas similares para la temperatura efectiva para el mapa clásico del gas de electrones bidimensional. ^[4] $${\displaystyle r_{\rm {s}}=\left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3}.}$$ ${\displaystyle r_{\rm {s}}\approx 1}$ ${\displaystyle r_{\rm {s}}}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle 2E_{\rm {F}}/3}$

Véase también

• Ecuación de Thomas-Fermi

Referencias

1. NW Ashcroft y ND Mermin, Física del estado sólido (Thomson Learning, Toronto, 1976)
2. Stanton, Liam G.; Murillo, Michael S. (8 de abril de 2016). "Transporte iónico en materia de alta densidad energética". Physical Review E . 93 (4). American Physical Society (APS): 043203. Bibcode :2016PhRvE..93d3203S. doi : 10.1103/physreve.93.043203 . ISSN  2470-0045. PMID  27176414.
3. Yu Liu y Jianzhong Wu, J. Chem. Física. 141 064115 (2014)
4. François Perrot y MWC Dharma-wardana, Phys. Rev. Lett. 87 , 206404 (2001)