Longitud de Debye

Medida del efecto electrostático y su persistencia

En plasmas y electrolitos , la longitud de Debye ( radio de Debye o longitud de apantallamiento de Debye–Hückel ), es una medida del efecto electrostático neto de un portador de carga en una solución y de cuánto persiste su efecto electrostático. ^[1] Con cada longitud de Debye, las cargas se apantallan eléctricamente cada vez más y el potencial eléctrico disminuye en magnitud en 1/ e . Una esfera de Debye es un volumen cuyo radio es la longitud de Debye. La longitud de Debye es un parámetro importante en la física del plasma , electrolitos y coloides ( teoría DLVO ). El vector de onda de apantallamiento de Debye correspondiente para partículas de densidad , carga a una temperatura se da en unidades gaussianas . A continuación se darán expresiones en unidades MKS. Las cantidades análogas a temperaturas muy bajas ( ) se conocen como longitud de Thomas–Fermi y vector de onda de Thomas–Fermi. Son de interés para describir el comportamiento de los electrones en metales a temperatura ambiente. ${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}=1/\lambda _{\rm {D}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}^{2}=4\pi nq^{2}/(k_{\rm {B}}T)}$ ${\displaystyle T\to 0}$

La longitud de Debye debe su nombre al físico y químico holandés-estadounidense Peter Debye (1884-1966), premio Nobel de Química.

Origen físico

La longitud de Debye surge de forma natural en la descripción termodinámica de grandes sistemas de cargas móviles. En un sistema de diferentes especies de cargas, la especie -ésima lleva carga y tiene concentración en la posición . Según el llamado "modelo primitivo", estas cargas se distribuyen en un medio continuo que se caracteriza únicamente por su permitividad estática relativa , . Esta distribución de cargas dentro de este medio da lugar a un potencial eléctrico que satisface la ecuación de Poisson : donde , es la constante eléctrica , y es una densidad de carga externa (lógicamente, no espacialmente) al medio. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle q_{j}}$ ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} ),}$$ ${\displaystyle \varepsilon \equiv \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}}$

Las cargas móviles no solo contribuyen a establecer sino que también se mueven en respuesta a la fuerza de Coulomb asociada , . Si suponemos además que el sistema está en equilibrio termodinámico con un baño de calor a temperatura absoluta , entonces las concentraciones de cargas discretas, , pueden considerarse como promedios termodinámicos (de conjunto) y el potencial eléctrico asociado como un campo medio termodinámico . Con estas suposiciones, la concentración de la especie de carga -ésima se describe mediante la distribución de Boltzmann , donde es la constante de Boltzmann y donde es la concentración media de cargas de especies . ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right),}$$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle n_{j}^{0}}$ ${\displaystyle j}$

Al identificar las concentraciones instantáneas y el potencial en la ecuación de Poisson con sus contrapartes de campo medio en la distribución de Boltzmann se obtiene la ecuación de Poisson-Boltzmann : $${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} ).}$$

Se conocen soluciones de esta ecuación no lineal para algunos sistemas simples. Se pueden obtener soluciones para sistemas más generales en el límite de alta temperatura (acoplamiento débil), , mediante la expansión de Taylor de la exponencial: ${\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{\rm {B}}T}$ $${\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}.}$$

Esta aproximación produce la ecuación de Poisson-Boltzmann linealizada que también se conoce como la ecuación de Debye-Hückel : ^{[2] [3] [4] [5] [6]} El segundo término en el lado derecho se desvanece para sistemas que son eléctricamente neutros. El término entre paréntesis dividido por , tiene las unidades de una longitud inversa al cuadrado y por análisis dimensional conduce a la definición de la escala de longitud característica que comúnmente se conoce como la longitud de Debye-Hückel. Como la única escala de longitud característica en la ecuación de Debye-Hückel, establece la escala para las variaciones en el potencial y en las concentraciones de especies cargadas. Todas las especies cargadas contribuyen a la longitud de Debye-Hückel de la misma manera, independientemente del signo de sus cargas. Para un sistema eléctricamente neutro, la ecuación de Poisson se convierte en Para ilustrar el apantallamiento de Debye, el potencial producido por una carga puntual externa es El potencial de Coulomb desnudo es apantallado exponencialmente por el medio, en una distancia de la longitud de Debye: esto se llama apantallamiento o blindaje de Debye ( efecto de apantallamiento ). $${\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k_{\rm {B}}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}$$ ${\displaystyle \lambda _{D}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\lambda _{\rm {D}}^{-2}\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}}$$ ${\displaystyle \rho _{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\rm {D}}}}$$

La longitud de Debye-Hückel se puede expresar en términos de la longitud de Bjerrum como donde es el número de carga entero que relaciona la carga de la -ésima especie iónica con la carga elemental . ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$ $${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left(4\pi \,\lambda _{\rm {B}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2},}$$ ${\displaystyle z_{j}=q_{j}/e}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle e}$

En un plasma

En el caso de un plasma débilmente colisionante, el apantallamiento de Debye se puede introducir de una forma muy intuitiva teniendo en cuenta el carácter granular de dicho plasma. Imaginemos una esfera alrededor de uno de sus electrones y comparemos el número de electrones que atraviesan esta esfera con y sin repulsión de Coulomb. Con repulsión, este número es menor. Por lo tanto, según el teorema de Gauss, la carga aparente del primer electrón es menor que en ausencia de repulsión. Cuanto mayor sea el radio de la esfera, mayor será el número de electrones desviados y menor la carga aparente: esto es el apantallamiento de Debye. Dado que la desviación global de partículas incluye las contribuciones de muchas otras, la densidad de los electrones no cambia, a diferencia del apantallamiento que funciona junto a una sonda Langmuir ( vaina de Debye ). Los iones contribuyen de manera similar al apantallamiento, debido a la desviación atractiva de Coulomb de cargas con signos opuestos.

Esta imagen intuitiva conduce a un cálculo efectivo del apantallamiento de Debye (ver sección II.A.2 de ^[7] ). La suposición de una distribución de Boltzmann no es necesaria en este cálculo: funciona para cualquier función de distribución de partículas. El cálculo también evita aproximar plasmas débilmente colisionales como medios continuos. Un cálculo de N cuerpos revela que la aceleración de Coulomb desnuda de una partícula por otra se modifica por una contribución mediada por todas las demás partículas, una firma del apantallamiento de Debye (ver sección 8 de ^[8] ). Cuando se parte de posiciones de partículas aleatorias, la escala de tiempo típica para que se establezca el apantallamiento es el tiempo que tarda una partícula térmica en cruzar una longitud de Debye, es decir, la inversa de la frecuencia del plasma. Por lo tanto, en un plasma débilmente colisional, las colisiones juegan un papel esencial al generar un proceso de autoorganización cooperativa: el apantallamiento de Debye. Este apantallamiento es importante para obtener un coeficiente de difusión finito en el cálculo de la dispersión de Coulomb ( colisión de Coulomb ).

En un plasma no isotérmico, las temperaturas de los electrones y las especies pesadas pueden diferir mientras que el medio de fondo puede ser tratado como el vacío ( ), ${\displaystyle \varepsilon _{r}=1}$ y la longitud de Debye es donde $${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{j}}}}}$$

• λ _D es la longitud de Debye,
• ε ₀ es la permitividad del espacio libre ,
• k _B es la constante de Boltzmann ,
• q _e es la carga de un electrón ,
• T _e y T _i son las temperaturas de los electrones y los iones, respectivamente,
• n _e es la densidad de electrones,
• n _j es la densidad de la especie atómica j , con carga iónica positiva z _j q _e

Incluso en el plasma frío cuasineneutral, donde la contribución de los iones prácticamente parece ser mayor debido a la menor temperatura de los iones, el término de iones a menudo se descarta, aunque esto solo es válido cuando la movilidad de los iones es insignificante en comparación con la escala de tiempo del proceso. ^[9] $${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}}$$

Valores típicos

En plasmas espaciales donde la densidad electrónica es relativamente baja, la longitud de Debye puede alcanzar valores macroscópicos, como en la magnetosfera, el viento solar, el medio interestelar y el medio intergaláctico. Véase la tabla a continuación: ^[10]

En una solución electrolítica

En un electrolito o una suspensión coloidal , la longitud de Debye ^{[11] [12] [13]} para un electrolito monovalente se denota generalmente con el símbolo κ ⁻¹ $${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T}{2e^{2}I}}}}$$

dónde

• I es la fuerza iónica del electrolito en unidades número/ ^m3 ,
• ε ₀ es la permitividad del espacio libre ,
• ε _r es la constante dieléctrica ,
• k _B es la constante de Boltzmann ,
• T es la temperatura absoluta en kelvin ,
• ${\displaystyle e}$es la carga elemental ,

o, para un electrolito monovalente simétrico, donde $${\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C_{0}}}}}$$

• R es la constante del gas ,
• F es la constante de Faraday ,
• C ₀ es la concentración de electrolitos en unidades molares (M o mol/L).

Alternativamente, donde es la longitud de Bjerrum del medio en nm, y el factor se deriva de transformar el volumen unitario de dm cúbicos a nm cúbicos. $${\displaystyle \kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{\rm {B}}N_{\rm {A}}\times 10^{-24}I}}}}$$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$ ${\displaystyle 10^{-24}}$

Para agua desionizada a temperatura ambiente, a pH=7, λ _B ≈ 1μm.

A temperatura ambiente (20 °C o 70 °F), se puede considerar en el agua la relación: ^[14] donde $${\displaystyle \kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}}$$

• κ ⁻¹ se expresa en nanómetros (nm)
• I es la fuerza iónica expresada en molar (M o mol/L)

Existe un método para estimar un valor aproximado de la longitud de Debye en líquidos utilizando la conductividad, que se describe en la Norma ISO, ^[11] y el libro. ^[12]

En semiconductores

La longitud de Debye se ha vuelto cada vez más importante en el modelado de dispositivos de estado sólido a medida que las mejoras en las tecnologías litográficas han permitido geometrías más pequeñas. ^{[15] [16] [17]}

La longitud de Debye de los semiconductores se da: donde $${\displaystyle L_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k_{\rm {B}}T}{q^{2}N_{\rm {dop}}}}}}$$

• ε es la constante dieléctrica,
• k _B es la constante de Boltzmann,
• T es la temperatura absoluta en kelvin,
• q es la carga elemental, y
• N _dop es la densidad neta de dopantes (donantes o aceptores).

Cuando los perfiles de dopaje superan la longitud de Debye, los portadores mayoritarios ya no se comportan según la distribución de los dopantes, sino que una medida del perfil de los gradientes de dopaje proporciona un perfil "efectivo" que se ajusta mejor al perfil de la densidad de portadores mayoritarios.

En el contexto de los sólidos, puede requerirse la longitud de cribado de Thomas-Fermi en lugar de la longitud de Debye.

Véase también

• Longitud de Bjerrum
• Efecto Debye-Falkenhagen
• Oscilación de plasma
• Efecto de protección
• Efecto de cribado

Referencias

1. Debye, P.; Hückel, E. (2019) [1923]. "Zur Theorie der Elektrolyte. I. Gefrierpunktserniedrigung und verwandte Erscheinungen" [La teoría de los electrolitos. I. Depresión del punto de congelación y fenómeno relacionado]. Physikalische Zeitschrift . 24 (9). Traducido por Braus, Michael J.: 185–206.
2. Kirby, BJ (2010). Mecánica de fluidos a escala micro y nanométrica: transporte en dispositivos microfluídicos . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0.
3. Li, D. (2004). Electrocinética en microfluídica . Academic Press. ISBN 0-12-088444-5.
4. PC Clemmow y JP Dougherty (1969). Electrodinámica de partículas y plasmas. Redwood City CA: Addison-Wesley . pp. § 7.6.7, p. 236 y siguientes. ISBN 978-0-201-47986-7.^{[ enlace muerto permanente ]}
5. RA Robinson y RH Stokes (2002). Soluciones electrolíticas. Mineola, NY: Dover Publications . p. 76. ISBN. 978-0-486-42225-1.
6. Véase Brydges, David C.; Martin, Ph. A. (1999). "Sistemas de Coulomb a baja densidad: una revisión". Journal of Statistical Physics . 96 (5/6): 1163–1330. arXiv : cond-mat/9904122 . Código Bibliográfico :1999JSP....96.1163B. doi :10.1023/A:1004600603161. S2CID  54979869.
7. Meyer-Vernet N (1993) Aspectos del blindaje de Debye. Revista estadounidense de física 61, 249-257
8. Escande, DF, Bénisti, D., Elskens, Y., Zarzoso, D. y Doveil, F. (2018). Física básica del plasma microscópico a partir de la mecánica de N-cuerpos, Un homenaje a Pierre-Simon de Laplace, Reseñas de física moderna del plasma, 2, 1-68
9. IH Hutchinson Principios del diagnóstico del plasma ISBN 0-521-38583-0 
10. Kip Thorne (2012). «Capítulo 20: La cinética de partículas del plasma» (PDF) . Aplicaciones de la física clásica . Consultado el 7 de septiembre de 2017 .
11. Norma internacional ISO 13099-1, 2012, "Sistemas coloidales - Métodos para la determinación del potencial zeta - Parte 1: Fenómenos electroacústicos y electrocinéticos"
12. Dukhin, AS; Goetz, PJ (2017). Caracterización de líquidos, nanopartículas y micropartículas y cuerpos porosos mediante ultrasonidos . Elsevier. ISBN 978-0-444-63908-0.
13. Russel, WB; Saville, DA; Schowalter, WR (1989). Dispersiones coloidales . Cambridge University Press. ISBN 0-521-42600-6.
14. Israelachvili, J. (1985). Fuerzas intermoleculares y de superficie . Academic Press. ISBN 0-12-375181-0.
15. Stern, Eric; Robin Wagner; Fred J. Sigworth; Ronald Breaker; Tarek M. Fahmy; Mark A. Reed (1 de noviembre de 2007). "Importancia de la longitud de apantallamiento de Debye en sensores de transistores de efecto de campo de nanocables". Nano Letters . 7 (11): 3405–3409. Bibcode :2007NanoL...7.3405S. doi :10.1021/nl071792z. PMC 2713684 . PMID  17914853. 
16. Guo, Lingjie; Effendi Leobandung; Stephen Y. Chou (199). "Una memoria de semiconductor de óxido metálico de un solo electrón de silicio a temperatura ambiente con puerta flotante a escala nanométrica y canal ultraestrecho". Applied Physics Letters . 70 (7): 850. Bibcode :1997ApPhL..70..850G. doi :10.1063/1.118236.
17. Tiwari, Sandip; Farhan Rana; Kevin Chan; Leathen Shi; Hussein Hanafi (1996). "Efectos de carga única y confinamiento en memorias de nanocristales". Applied Physics Letters . 69 (9): 1232. Bibcode :1996ApPhL..69.1232T. doi :10.1063/1.117421.

Lectura adicional

• Goldston y Rutherford (1997). Introducción a la física del plasma . Filadelfia: Institute of Physics Publishing .
• Lyklema (1993). Fundamentos de la ciencia de interfases y coloides . Nueva York: Academic Press .