colisión de culombio

Una colisión de Coulomb es una colisión elástica binaria entre dos partículas cargadas que interactúan a través de su propio campo eléctrico . Como ocurre con cualquier ley del cuadrado inverso , las trayectorias resultantes de las partículas en colisión son una órbita kepleriana hiperbólica . Este tipo de colisión es común en plasmas donde la energía cinética típica de las partículas es demasiado grande para producir una desviación significativa de las trayectorias iniciales de las partículas en colisión, y en su lugar se considera el efecto acumulativo de muchas colisiones. La importancia de las colisiones de Coulomb fue señalada por primera vez por Lev Landau en 1936, ^[1] quien también derivó la ecuación cinética correspondiente, conocida como ecuación cinética de Landau .

Tratamiento matemático simplificado para plasmas.

En un plasma, una colisión de Coulomb rara vez produce una gran desviación. Sin embargo, el efecto acumulativo de muchas colisiones de ángulos pequeños es a menudo mayor que el efecto de las pocas colisiones de ángulos grandes que ocurren, por lo que es instructivo considerar la dinámica de colisión en el límite de las deflexiones pequeñas.

Podemos considerar un electrón de carga y masa que pasa a una distancia con una velocidad de un ion estacionario de carga y masa mucho mayor . La fuerza perpendicular está en el punto más cercano y la duración del encuentro es aproximadamente . El producto de estas expresiones dividido por la masa es el cambio de velocidad perpendicular: ${\displaystyle -e}$ ${\displaystyle m_{e}}$ ${\displaystyle +Ze}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Ze^{2}/4\pi \epsilon _{0}b^{2}}$ ${\displaystyle b/v}$

${\displaystyle \Delta m_{e}v_{\perp }\approx {\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{vb}}}$

Tenga en cuenta que el ángulo de deflexión es proporcional a . Las partículas rápidas son "resbaladizas" y, por tanto, dominan muchos procesos de transporte. La eficiencia de las interacciones con velocidad igualada es también la razón por la que los productos de fusión tienden a calentar los electrones en lugar de (como sería deseable) los iones. Si hay presente un campo eléctrico, los electrones más rápidos sienten menos resistencia y se vuelven aún más rápidos en un proceso de "fuga". ${\displaystyle 1/v^{2}}$

Al pasar a través de un campo de iones con densidad , un electrón tendrá muchos encuentros de este tipo simultáneamente, con diversos parámetros de impacto (distancia al ion) y direcciones. El efecto acumulativo puede describirse como una difusión del momento perpendicular. La constante de difusión correspondiente se encuentra integrando los cuadrados de los cambios individuales en el momento. La tasa de colisiones con el parámetro de impacto entre y es , por lo que la constante de difusión está dada por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (b+\mathrm {d} b)}$ ${\displaystyle nv(2\pi b\mathrm {d} b)}$

${\displaystyle D_{v\perp }=\int \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}\,{\frac {1}{v^{2}b^{2}}}\,nv(2\pi b\,{\mathrm {d} }b)=\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\right)^{2}\,{\frac {2\pi n}{v}}\,\int {\frac {{\mathrm {d} }b}{b}}}$

Obviamente, la integral diverge hacia parámetros de impacto tanto pequeños como grandes. La divergencia en parámetros de impacto pequeños es claramente no física ya que, según los supuestos utilizados aquí, el momento perpendicular final no puede tomar un valor mayor que el momento inicial. Al establecer la estimación anterior igual a , encontramos que el límite inferior del parámetro de impacto es aproximadamente ${\displaystyle \Delta m_{e}v_{\perp }}$ ${\displaystyle mv}$

${\displaystyle b_{0}={\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {1}{m_{e}v^{2}}}}$

También podemos utilizarlo como estimación de la sección transversal para colisiones de gran ángulo. En algunas condiciones existe un límite inferior más estricto debido a la mecánica cuántica, a saber, la longitud de onda de De Broglie del electrón, donde es la constante de Planck . ${\displaystyle \pi b_{0}^{2}}$ ${\displaystyle h/m_{e}v}$ ${\displaystyle h}$

En parámetros de impacto grandes, la carga del ion está protegida por la tendencia de los electrones a agruparse en las proximidades del ion y otros iones para evitarlo. Por tanto, el límite superior del parámetro de impacto debería ser aproximadamente igual a la longitud de Debye :

${\displaystyle \lambda _{D}={\sqrt {\frac {\epsilon _{0}kT_{e}}{n_{e}e^{2}}}}}$

logaritmo de culombio

Por tanto, la integral de produce el logaritmo de la relación entre los límites superior e inferior. Este número se conoce como logaritmo de Coulomb y se designa con o . Es el factor por el cual las colisiones de ángulo pequeño son más efectivas que las de ángulo grande. El logaritmo de Coulomb fue introducido de forma independiente por Lev Landau en 1936 ^[1] y Subrahmanyan Chandrasekhar en 1943. ^[2] Para muchos plasmas de interés, adopta valores entre y . (Para fórmulas convenientes, consulte las páginas 34 y 35 del formulario de plasma de NRL ). Los límites de la integral del parámetro de impacto no son nítidos, pero son inciertos por factores del orden de la unidad, lo que lleva a incertidumbres teóricas del orden de . Por esta razón, a menudo está justificado simplemente elegir la opción más conveniente . El análisis aquí produce las escalas y órdenes de magnitud. ^[3] ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle \ln \Lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 15}$ ${\displaystyle 1/\lambda }$ ${\displaystyle \lambda =10}$

Tratamiento matemático de plasmas que tienen en cuenta todos los parámetros de impacto.

Se puede realizar un tratamiento con N-cuerpos que tenga en cuenta todos los parámetros de impacto teniendo en cuenta algunos hechos simples. Los dos principales son: (i) El cambio anterior en la velocidad perpendicular es la aproximación de orden más bajo en 1/b de una deflexión de Rutherford completa. Por lo tanto, la teoría perturbativa anterior también se puede realizar utilizando esta deflexión completa. Esto hace que el cálculo sea correcto hasta los parámetros de impacto más pequeños donde se debe utilizar esta deflexión completa. (ii) El efecto del blindaje de Debye para parámetros de impacto grandes se puede acomodar utilizando un potencial de Coulomb protegido por Debye ( efecto de blindaje longitud de Debye ). Esto cancela la divergencia anterior en parámetros de impacto grandes. El logaritmo de Coulomb anterior resulta estar modificado por una constante de orden unidad. ^[4]

Historia

En la década de 1950, dos grupos del Laboratorio de Radiación de la Universidad de California en Berkeley estudiaron simultáneamente el transporte debido a colisiones en plasmas no magnetizados . Citaron los resultados de cada uno en sus respectivos artículos. ^{[5] [6]} La primera referencia trata de la parte del campo medio de la interacción mediante el uso de la teoría de perturbaciones en la amplitud del campo eléctrico. Dentro de las mismas aproximaciones, se proporcionó una derivación más elegante de los coeficientes de transporte por colisión utilizando la ecuación de Balescu-Lenard (ver Sec. 8.4 de ^[7] y Secs. 7.3 y 7.4 de ^[8] ). La segunda referencia utiliza la imagen de Rutherford de las colisiones de dos cuerpos. El cálculo de la primera referencia es correcto para parámetros de impacto mucho mayores que la distancia entre partículas, mientras que los de la segunda funcionan en el caso contrario. Ambos cálculos se extienden a toda la gama de parámetros de impacto introduciendo cada uno un único límite ad hoc, y no dos como en el tratamiento matemático simplificado anterior, pero los coeficientes de transporte dependen sólo logarítmicamente de ello; ambos resultados concuerdan y producen la expresión anterior para la constante de difusión.

Ver también

• dispersión de Rutherford

Referencias

1. Landau, LD (1936). "Ecuación cinética para el caso de interacción de culombio". Física. Z. Sowjetunion . 10 : 154-164.
2. Chandrasekhar, S. (1943). Fricción dinámica. I. Consideraciones generales: el coeficiente de fricción dinámica. Revista Astrofísica, 97, 255-262.
3. Huba, JD (2016). Formulario de plasma NRL (PDF) . La Oficina de Investigaciones Navales. págs. 31 y siguientes. Archivado desde el original (PDF) el 23 de diciembre de 2016 . Consultado el 19 de octubre de 2017 .
4. Escande DF, Elskens Y, Doveil F (2015) Derivación uniforme del transporte de colisión de Coulomb gracias al blindaje de Debye. Revista de Física del Plasma 81, 305810101
5. Gasiorowicz, S., Neuman, M. y Riddell, RJ Jr. 1956 Dinámica de medios ionizados. Física. Apocalipsis 101, 922–934
6. Rosenbluth, MN, MacDonald, WM y Judd, DL 1957 Ecuación de Fokker-Planck para una fuerza del cuadrado inverso. Física. Apocalipsis 107, 1–6.
7. Balescu, R. 1997 Dinámica estadística: materia fuera del equilibrio. Londres: Imperial College Press.
8. Hazeltine, RD y Waelbroeck, FL 2004 El marco de la física del plasma. Roca: Prensa de Westview

enlaces externos

• Efectos de la ionización [artículo de ApJ] por Gordon Emslie
• Formulario de plasma NRL 2013 ed. Archivado el 23 de diciembre de 2016 en Wayback Machine.